Teorema nilai purata

Teorema nilai purata atau teorema nilai rata-rata menyatakan bahwa pada sembarang bagian kurva mulus, terdapat paling tidak satu titik di mana turunan (kemiringan) kurva tersebut sama dengan (sejajar terhadap) "rata-rata" turunan bagian kurva tersebut.[1] Teorema ini digunakan untuk membuktikan berbagai teorema lain tentang fungsi pada suatu selang, yang dimulai dengan anggapan tentang turunan pada titik-titik di selang tersebut.

Untuk setiap fungsi kontinu pada selang tertutup [ab] dan terdiferensialkan pada selang terbuka (ab) terdapat paling tidak satu c adalam selang (ab) sedemikian rupa sehingga garis yang menghubungkan titik-titik ujung selang (secant) [ab] sejajar terhadap garis singgung (tangent) pada c.

Teorema ini dapat dipahami dengan menerapkannya pada gerakan: bila sebuah mobil menempuh jarak 100 km dalam satu jam, sehingga rata-rata kecepatannya dalam waktu itu adalah 100 km/jam, maka pada suatu waktu dalam perjalanan itu laju sesaat mobil haruslah tepat 100 km/jam.

Versi awal teorema ini pertama kali diperikan oleh Parameshvara (1370–1460) dari mazhab astronomi dan matematika Kerala dalam komentarnya tentang Govindasvāmi and Bhaskara II.[2] Bentuk modern teorema nilai rata-rata dinyatakan oleh Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Teorema nilai rata-rata merupakan salah satu hasil terpenting dalam kalkulus diferensial, dan juga salah satu teorema penting dalam analisis matematika, dan esensial dalamm membuktikan teorema dasar kalkulus.

SejarahSunting

Kasus khusus teorema ini pertama kali dijelaskan oleh Parameshvara (1370–1460), dari Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala di India, dalam komentarnya tentang Govindasvāmi dan Bhāskara II.[3] Suatu bentuk teorema terbatas dibuktikan oleh Michel Rolle pada tahun 1691; hasilnya adalah apa yang sekarang dikenal sebagai Teorema Rolle, dan terbukti hanya untuk polinomial, tanpa teknik kalkulus. Teorema nilai rata-rata dalam bentuk modernnya dinyatakan dan dibuktikan oleh Augustin Louis Cauchy pada tahun 1823.[4]

Pernyataan formalSunting

 
Fungsi   mencapai kemiringan garis potong antara   dan   sebagai turunan pada intinya  .
 
Mungkin juga ada beberapa garis singgung sejajar dengan garis potong.
Misalkan f: [a, b] → R adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a, b], and dan terdiferensialkan pada selang terbuka (a, b), di mana a < b. Maka terdapat suatu c dalam (a, b) sehingga
 

Teorema nilai rata-rata adalah generalisasi teorema Rolle, yang menganggap f(a) = f(b), sehingga ruas kanan persamaan di atas adalah nol.

Teorema nilai rata-rata masih sahih dalam keadaan yang lebih umum. Kita hanya perlu mengasumsikan bahwa f:[a, b] → R adalah kontinu dalam selang [a, b], dan untuk setiap x dalam (a, b), limitnya adalah

 

ada sebagai bilangan terhingga atau sama dengan +∞ atau −∞. Bila berhingga, limit tersebut sama dengan f' (x). Contoh versi teorema ini berlaku diberikan oleh fungsi riil akar kubik yang memetakan x ke x1/3, yang turunannya mengarah ke takhingga di titik asal.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak berlaku bila fungsi terdiferensialkan itu bernilai kompleks, alih-alih bernilai riil. Sebagai contoh, definisikan   untuk semua x bernilai riil. Maka

 ,

sedangkan

 .

BuktiSunting

Pernyataan (ƒ(b) − ƒ(a)) / (b − a) memberikan kemiringan garis yang menghubungkan titik (aƒ(a)) dan (bƒ(b)), yang merupakan garis sekan (tali busur) grafik fungsi f, sementara ƒ ′(x) memberikan kemiringan garis singgung kurva di titik (xƒ(x)). Maka teorema nilai purata menyebutkan bahwa kita dapat menemukan titik yang berada di antara titik-titik ujung garis sekan tersebut sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis sekan.


Definisikan g(x) = ƒ(x) − rx, di mana r adalah konstanta. Karena ƒ kontinu pada [ab] dan terdiferensialkan pada(ab), hal yang sama juga berlaku buat g. Kita sekarang ingin memilih r sedemikian sehingga g memenuhi syarat teorema Rolle, yaitu

 

Menurut teorema Rolle, karena g kontinu, dan g(a) = g(b), terdapat suatu c dalam (ab) sedemikian sehingga g ′(c) = 0, dan dari persamaan g(x) = ƒ(x) − rx berarti

 

seperti yang hendak dibuktikan.

Teorema nilai purata untuk integralSunting

RujukanSunting

Pranala luarSunting