Notasi untuk diferensiasi

Notasi untuk diferensiasi tidak seragam dalam kalkulus diferensial, karena ada beberapa notasi untuk derivatif suatu fungsi atu variabel dependen yang telah diusulkan oleh para matematikawan. Kegunaan setiap notasi berbeda menurut konteksnya dan kadang kala bermanfaat untuk menggunakan lebih dari satu notasi pada konteks tertentu. Notasi paling umum untuk diferensiasi adalah seperti di bawah ini.

Notasi LeibnizSunting

dy
dx
d 2y
dx2

Notasi asli yang digunakan oleh Gottfried Leibniz biasa dipakai dalam matematika. Umumnya persamaan y = f(x) dianggap sebagai hubungan fungsional antara variabel dependen y dan variabel independen x. Dalam hal ini turunannya dapat ditulis:

 

Fungsi yang nilainya pada x adalah turunan dari f pada x ditulis sebagai berikut

 

Turunan lebih tinggi ditulis sebagai

 

untuk turunan ke-n dari y = f(x). Dalam sejarahnya, ini berasal dari fakta bahwa, misalnya, turunan ketiga adalah:

 

yang dapat ditulis pula (membuka tanda kurung pada denominator) sebagai:

 

seperti di atas.

Dalam notasi Leibniz nilai turunan y pada titik x = a dapat ditulis dengan dua cara:

 

Notasi Leibniz mengizinkan penetapan suatu variabel untuk diferensiasi (dalam denominator). Ini sangat bermanfaat ketika mempertimbangkan turunan parsial. Jika membuat kaidah rantai mudah diingat dan dikenali:

 

Dalam formulasi kalkulus dala, istilah limit, simbol du dipakai dalam arti yang berbeda-beda oleh berbagai penulis.

Sejumlah penulis tidak memberi makna pada du itu sendiri, tetapi hanya sebagai bagian dari simbol du/dx.

Yang lain mendefinisikan dx sebagai variabel independen, dan menggunakan d(x + y) = dx + dy dan d(x·y) = dx·y + x·dy sebagai aksioma formal untuk diferensiasi.

Notasi LagrangeSunting

f ʹ(x)  f ʺ(x)

Salah satu notasi modern yang paling umum untuk diferensiasi diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dengan memakai tanda primus (prime mark): ketiga turunan pertama f ditulis sebagai

  untuk turunan pertama,
  untuk turunan kedua,
  untuk turunan ketiga.

Setelah itu, sejumlah penulis meneruskan dengan memakai angka Romawi seperti f IV untuk turunan keemp;at f, sedangkan yang lain memakai ordinal derivatif dalam tanda kurung, sehingga turunan keempat f dapat ditulis sebagai f (4). Notasi terakhir ini dapat dengan mudah diteruskan ke turunan keberapapun, sehingga turunan ke-n dari f ditulis f (n).

Notasi EulerSunting

Dx y D2f

Notasi Euler ditulis menggunakan operator diferensial, yang diberi simbol D, mengawali suatu fungsi sehingga turunan fungsi f ditulis sebagai

  untuk turunan pertama,
  untuk turunan kedua, dan
  untuk turunan ke-n, dengan bilangan bulat positif n berapapun.

Bilamana menghitung turunan variabel dependen y = f(x) umumnya ditambahkan variabel independen x sebagai subskrip pada notasi D, sehingga menjadi notasi alternatif

  untuk turunan pertama,
  untuk turunan kedua, dan
  untuk turunan ke-n, dengan bilangan bulat positif n berapapun.

Notasi NewtonSunting

ẋ ẍ

Notasi Newton untuk diferensiasi (juga disebut "notasi titik" atau dot notation untuk diferensiasi) memakai tanda titik di atas variabel dependen dan sering digunakan untuk turunan waktu misalnya kecepatan

 

percepatan

 

dan seterusnya.

Turunan parsialSunting

fx  fxy

Bilamana hendak menulis jenis diferensiasi yang lebih spesifik, misalnya dalam kalkulus multivariasi atau analisis tensor, notasi-notas lain juga digunakan.

Untuk fungsi f(x), turunan dapat ditulis dengan subskrip variabel independen:

 
 

Ini sangat berguna dalam menghitung turunan parsial suatu fungsi dengan beberapa variabel.

∂f
∂x

Notasi dalam kalkulus vektorSunting

Kalkulus vektor berfokus pada diferensiasi dan integrasi suatu bidang vektor atau skalar secara khusus dalam suatu ruang Euklidean tiga dimensi, dan menggunakan notasi khusus untuk diferensiasi. Dalam suatu sistem koordinat Kartesius o-xyz, yang melambangkan bidang vektor A ditulis  , dan bidang skalar   ditulis  .

Pertama, sebuah operator diferensial, atau suatu operator Hamilton yang juga disebut del memuat perlambangan definisi suatu vektor,

 

dimana istilah perlambangan ini mencerminkan bahwa operator ∇ juga diperlakukan sebagai suatu vektor biasa.

φ
  • Gradien: gradien   dari bidang skalar   adalah sebuah vektor, yang ditulis dengan perlambangan perkalian ∇ dan bidang skalar  ,
 
∇∙A
  • Divergensi: divergensi   dari bidang vektor A adalah suatu skalar, yang ditulis dengan perlambangan produk skalar ∇ dan vektor A,
 
2φ
  • Laplacian: Laplacian   sebuah bidang skalar   adalah suatu skalar, yang ditulis dengan perlambangan perkalian skalar2 dan bidang skalar φ,
 
di mana,   disebut operator Laplacian.
∇×A
  • Rotasi: rotasi  , atau  , sebuah bidang vektor A adalah suatu vektor, yang ditulis dengan perlambangan perkalian silang ∇ dan vektor A,
 

Banyak operasi turunan simbolis dapat digeneralisasi langsung dengan operator gradian dalam sistem koordinat Kartesius. Misalnya, kaidah hasil kali dengan variabel tunggal mempunyai analog langsung dalam perkalian bidang skalar melalui penggunaan operator gradien, sebagaimana dalam

 

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

Pranala luarSunting