Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Invers trigonometric functions di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan.
(Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)
Fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi trigonometri (dengan domain yang terbatas). Dengan kata lain, fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan dan kosekan, dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain. Fungsi invers trigonometri deretng digunakan di bidang teknik, navigasi, fisika dan geometri.
Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi trigonometri terbalik juga dapat dihitung menggunakan deret pangkat, sebagai berikut. Untuk busur, deret dapat diturunkan dengan memperluas turunannya, , sebagai deret binomial, dan mengintegrasikan istilah demi istilah (menggunakan definisi integral seperti di atas). Deret untuk arctangen juga bisa diturunkan dengan memperluas turunan dalam sebuah deret geometris, dan menerapkan definisi integral di atas (lihat deret Leibniz).
Deret untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya dapat diberikan dalam hal ini sesuai dengan hubungan yang diberikan di atas. Sebagai contoh, , , dan seterusnya. Deret lainnya diberikan oleh:[1]
Dua alternatif dari deret pangkat untuk invers tangen adalah pecahan lanjutan umum berikut:
Yang kedua ini berlaku di bidang kompleks potong. Ada dua potongan, dari - i ke titik tak terhingga, menuruni sumbu imajiner, dan dari i ke titik tak terhingga, menuju berfungsi paling baik untuk bilangan real yang berjalan dari −1 hingga 1. Penyebut parsial adalah bilangan asli ganjil, dan pembilang parsial (setelah yang pertama) hanya (nz)2, dengan setiap kotak sempurna muncul sekali. Yang pertama dikembangkan oleh Leonhard Euler; yang kedua oleh Carl Friedrich Gauss menggunakan deret hipergeometrik Gaussian.
Integral tak tentu dari fungsi invers trigonometri
Nilai mutlak diperlukan untuk mengimbangi nilai negatif dan positif dari fungsi arcsekan dan arckosekan. Fungsi signum juga diperlukan karena nilai mutlak dalam turunan dari kedua fungsi tersebut, yang membuat dua solusi berbeda untuk nilai positif dan negatif x. Ini dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan definisi logaritmik dari fungsi hiperbolik invers:
Nilai mutlak dalam argumen fungsi arcosh menciptakan setengah negatif grafiknya, membuatnya identik dengan fungsi logaritmik signum yang ditunjukkan di atas.
Semua antiturunan ini dapat diturunkan menggunakan integrasi oleh bagian dan bentuk turunan sederhana yang ditunjukkan di atas.
^Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah;
tidak ditemukan teks untuk ref bernama Borwein_2004
^Hwang Chien-Lih (2005), "Derivasi dasar deret Euler untuk fungsi arktangen", The Mathematical Gazette, 89 (516): 469–470, doi:10.1017/S0025557200178404