Operator (matematika)

Halaman ini berisi artikel tentang operator di matematika. Untuk penggunaan yang lain, lihat Operator.

Artikel ini bukan mengenai simbol yang menandakan operasi matematika maupun simbol matematika.

Dalam matematika, operator umumnya adalah suatu pemetaan atau fungsi yang bertindak pada elemen-elemen suatu ruang untuk menghasilkan elemen-elemen dari suatu ruang yang baru. Tidak ada definisi umum untuk operator, namun istilah ini sering digunakan untuk menandakan fungsi yang domainnya berupa suatu himpunan berisi fungsi-fungsi atau objek-objek dengan suatu struktur tertentu. Selain itu, domain dari sebuah operator umumnya sulit untuk dideskripsikan secara eksplisit, dan terkadang dapat diperumum ke objek-objek yang sejenis.

Istilah operator juga digunakan untuk menyatakan simbol dari suatu operasi matematika. Hal ini berhubungan dengan istilah "operator" di pemrograman, lihat operator (pemrograman).

Operator linear

Artikel utama: Peta linear

Operator yang paling sering dijumpai adalah operator linear. Misalkan $U$ dan $V$ adalah ruang vektor atas medan $K$. Sebuah pemetaan $A:U\to V$ dikatakan linear bila

$$A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}$$

Untuk semua $\mathbf {x} ,\,\mathbf {y}$ di $U$ dan untuk semua $\alpha ,\,\beta$ di $K.$ Definisi ini mengartikan operator linear mengawetkan semua operasi ruang vektor; dalam artian kapan operator linear diterapkan pada operasi penjumlahan dan perkalian skalar, tidak akan mengubah hasil perhitungan. Dalam istilah yang lebih teknis, operator linear adalah morfisme antar ruang vektor.