Kalkulus matriks

Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.

Notasi

Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan x^T melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.

Kalkulus vektor

Artikel utama: Kalkulus vektor

Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rⁿ dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.

• Vektor singgung terhadap kurva x: R → Rⁿ adalah

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{x}} {\partial t} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial t} \\ \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial t} \\ \end{bmatrix}. }

• Gradien fungsi skalar f: Rⁿ → R

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \\ \end{bmatrix}. }

  Turunan berarah f ke arah v adalah

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \nabla_\mathbf{v} f = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\mathbf{v}.}

• Diferensial fungsi f: R^m → Rⁿ dideskripsikan oleh matriks Jacobi

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}. }

  Diferensial sepanjang f dari vektor v dalam R^m adalah

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle d\,\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{v}.}

Kalkulus matriks

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

• Vektor singgung kurva F: R → M(n,m)

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial t} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_{1,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{1,m}}{\partial t}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial F_{n,1}}{\partial t} & \cdots & \frac{\partial F_{n,m}}{\partial t}\\ \end{bmatrix}. }

• Gradien fungsi skalar f: M(n,m) → R

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,1}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial X_{n,m}}\\ \end{bmatrix}. }

  Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap X terbalik dibandingkan dengan urutan indeks X. Turunan berarah f ke arah matriks Y diberikan oleh

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \nabla_\mathbf{Y} f = \operatorname{tr} \left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \mathbf{Y}\right),}

  dengan tr melambangkan trace dari matriks.
• Diferensial atau turunan matriks dari fungsi Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle F: M(n,m) \Rightarrow M(p,q)} adalah unsur dari Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle M(p,q) \otimes M(m,n)} , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}= \begin{bmatrix} \frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,1}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,1}}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial\mathbf{F}}{\partial X_{1,m}} & \cdots & \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial X_{n,m}}\\ \end{bmatrix}, }

  Catat pula bahwa tiap ∂F/∂X_i,j adalah matriks p×q yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: m baris dan n kolom. Diferensial sepanjang F dari sebuah matriks Y berukuran n×m dalam M(n,m) adalah

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle d\mathbf{F}(\mathbf{Y}) = \operatorname{tr}\left(\frac{\partial\mathbf{F}} {\partial\mathbf{X}}\mathbf{Y}\right).}

  Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.

Persamaan identitas

Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

• Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{Z}} {\partial \mathbf{Y}} \frac{\partial \mathbf{Y}} {\partial \mathbf{X}}}

• Kaidah darab:

  Gagal mengurai (MathML dengan SVG atau PNG sebagai cadangan (disarankan untuk peramban dan alat aksesibilitas modern): Respons tak sah ("Math extension cannot connect to Restbase.") dari peladen "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \frac{\partial (\mathbf{Y}^T\mathbf{Z})}{\partial \mathbf{X}} = (\mathbf{Z}^T)\frac{\partial\mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}} + (\mathbf{Y}^T)\frac{\partial\mathbf{Z}}{\partial \mathbf{X}} }

Pranala luar

• (Inggris)Matrix calculus Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
• (Inggris)Matrix calculus Matrix Reference Manual, Imperial College London.
• (Inggris)The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.