Barisan

daftar tersusun atas elemen dalam matematika
(Dialihkan dari Urutan)

Dalam matematika, barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai suatu daftar benda (seperti bilangan, fungsi, peubah acak, dsb) yang diatur dalam suatu urutan tertentu[1]. Tiap-tiap benda dalam barisan diberi nomor urut atau indeks untuk menunjukkan tempatnya benda tersebut dalam barisan itu. Benda dengan indeks i disebut suku ke-i. Banyak suku dalam barisan (mungkin tak terhingga) disebut panjang barisan.

Bilangan segitiga membentuk barisan

Berbeda dengan himpunan, urutan suku dalam barisan sangat penting. Seperti barisan huruf (S, E, U, L G, I) adalah berbeda dengan barisan huruf (G, E ,U, L, I, S) walau himpunan nilai keduanya sama-sama {E, G, I, L, S, U}. Unsur yang tepat sama dapat muncul berulang kali pada tempat berbeda dalam suatu barisan. Seperti dalam barisan bilangan Fibonacci, angka 1 muncul pada suku pertama dan kedua.

Secara lebih tepat, suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi dengan daerah asalnya adalah bilangan asli[2].

Kebanyakan suku-suku barisan dibariskan menurut pola tertentu, yang dapat dirumuskan seperti barisan aritmatika dan barisan geometri, atau yang dibentuk dengan aturan tertentu seperti barisan Fibonacci dan barisan bilangan prima. Namun secara umum barisan tidak perlu mengikut pola tertentu.

Penulisan barisanSunting

Barisan secara sederhana dapat dibayangkan sebagai daftar benda-benda yang berbaris. Masing-masing anggota barisan disebut suku dan masing-masing suku lazim ditulis dengan lambang  , yaitu dengan huruf kecil dengan tikabawah sebagai melambangkan nomor urut suku tersebut. Secara lebih persis, barisan adalah aturan yang mengaitkan bilangan asli ke anggota suatu himpunan, yakni   dikaitkan dengan  ,   dikaitkan dengan  , dan seterusnya. Barisan itu sendiri biasa dituliskan dengan lambang   atau  [3] atau  [4].

Penentuan barisanSunting

Barisan dapat ditentukan dengan beberapa cara. Yaitu dengan:

  • mendaftar seluruh sukunya apabila mungkin apalagi untuk barisan hingga atau mendaftarkan beberapa suku-suku awalnya,
  • menyuratkan rumus suku umumnya,
  • relasi perulangan
  • menerangkannya dengan kalimat.

Mendaftarkan suku-sukunyaSunting

 
Sepuluh rumus barisan dengan suku awal   dengan suku keempat yang berbeda diperoleh dengan interpolasi sukubanyak Lagrange.

Bila suatu barisan itu hingga dan sedikit bilangan sukunya, maka baik juga untuk mendaftarkan seluruh anggotanya. Sebagai contoh, barisan aritmatika dengan suku awalnya 3, bedanya 7, dan banyak sukunya lima, dapat ditulis sebagai  . Kalau barisan itu hingga namun bilangan sukunya lumayan banyak, pendaftaran lansung dapat dilakukan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, tanda titik tiga, dan beberapa suku akhirnya, seperti  . Jika barisan itu tak hingga, biasanya ditulis beberapa suku kemudian diikuti tanda titik tiga, contohnya seperti barisan   yang merupakan barisan bilangan genap.

Kelemahan cara ini adalah pola yang dimaksudkan mesti diduga oleh pembaca. Dugaan paling lazim untuk barisan   adalah barisan bilangan asli  . Padahal boleh jadi yang dimaksud adalah barisan  . Contoh lain pula, misal diketahui beberapa suku awal barisan yaitu   Antara dugaan yang mungkin adalah  . Namun boleh jadi juga barisan sebenar yang dimaksudkan adalah barisan digit-digit pi, yaitu  . Menemukan pola untuk beberapa suku awal yang diketahui adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mempelajari barisan.

Menyuratkan rumus suku umumnyaSunting

Antara jalan keluar permasalahan pola barisan adalah dengan menentukan barisan dengan rumus suku umum barisan tersebut. Seperti suku

  • barisan balikan kuadrat bilangan asli dirumuskan sebagai  ,
  • barisan Barisan tanda dirumuskan sebagai  .
  • barisan aritmatika dengan suku awal   dan beda dua suku berurutan   dirumuskan sebagai  ,
  • barisan geometri dengan suku awal   dan perbandingan dua suku berurutan   dirumuskan sebagai  .

Relasi perulanganSunting

 
Spiral rasio emas, yang dibentuk dengan pengubinan dengan persegi-persegi yang membentuk barisan Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,21,..)

Beberapa barisan juga dapat didefinisikan secara rekursif. Yakni, suatu suku pada barisan itu ditentukan oleh suku-suku sebelumnya. Beberapa contoh barisan yang biasa dinyatakan dengan relasi perulangan adalah barisan Fibonacci   dengan syarat awal   dan   Juga barisan Recamán yang didefinisikan dengan

 
Barisan aritmatika dan barisan geometri pula dapat dirumuskan secara rekursif, yaitu  . untuk barisan aritmatika, dan   untuk barisan geometri.

Penerapan barisanSunting

Barisan dengan pola tersurat dapat menjadi jalan untuk mempelajari pengertian fungsi[5], ruang, dan struktur matematika lainnya khususnya dengan sifat-sifat kekonvergenan barisan tak hingga. Sifat-sifat barisan tak hingga yang konvergen menuju suat nilai menjadi pengantar bagi teori limit, yang menjadi landasan bagi berbagai bidang kajian analisis matematis, seperti pengertian limit fungsi, pengertian turunan, dan pengertian integral Riemman.

Barisan sendiri banyak muncul dalam penyelesaian masalah pencacahan.

Sifat barisanSunting

Kemonotonan barisanSunting

Suatu barisan dikatakan:

  • monoton naik apabila untuk sebarang bilangan bulat   berlaku  ,
  • monoton naik sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat   berlaku  ,
  • monoton turun apabila untuk sebarang bilangan bulat   berlaku  ,
  • monoton turun sejati apabila untuk sebarang bilangan bulat   berlaku  ,

Barisan terbatasSunting

Suatu barisan dikatakan terbatas di atas jika ada nilai   sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku  . Suatu barisan dikatakan terbatas di bawah jika ada nilai   sedemikian sehingga untuk semua suku barisan itu berlaku  . Suatu barisan dikatakan terbatas jika barisan itu terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Kekonvergenan barisanSunting

Secara sederhana, apabila himpunan daerah hasil suatu barisan telah dilengkapi suatu fungsi jarak, barisan   dikatakan konvergen menuju   jika suku-suku barisan itu semakin kecil jaraknya dengan   ketika indeksnya semakin besar. Barisan dikatakan divergen apabila berlaku sebaliknya. Barisan yang suku-sukunya saling mendekati satu sama lain ketika bilangan indeksnya makin besar disebut barisan Cauchy. Menentukan kekonvergenan barisan adalah satu di antara kegiatan menarik dalam mentelaah barisan.

Lihat jugaSunting

JenisSunting

Konsep terkaitSunting

OperasiSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Spiegel, Murray R. (1986). Teori dan soal-soal matematika dasar. Diterjemahkan oleh Drs. Kasir Iskandar, M.Sc. Jakarta: Erlangga. OCLC 975000500. 
  2. ^ Afidah Khairunnisa (2018). Matematika Dasar. Depok: Rajawali Pers. ISBN 978-979-769-764-8. 
  3. ^ Hendra Gunawan (2016). Pengantar Analisis Real. Bandung: Penerbit ITB. ISBN 978-602-7861-58-9. 
  4. ^ Endang Cahya; Makbul Muksar (2011). Analisis Real. Tanggerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-979-011-674-0. 
  5. ^ Julan Hernadi (2015). Analisis Real Elementer: dengan Ilustrasi Grafis dan Numerik. Jakarta: Erlangga. ISBN 978-602-298-591-4. 

Pranala luarSunting