Grup siklik

Dalam teori grup, cabang dari aljabar abstrak, grup siklik atau grup monogen adalah grup yaitu dihasilkan oleh satu elemen. Artinya, ini adalah himpunan dari dapat dibalik elemen dengan satu asosiatif operasi biner, dan itu berisi elemen g sedemikian rupa sehingga setiap elemen grup dapat diperoleh dengan berulang kali menerapkan operasi grup ke g atau kebalikannya. Setiap elemen dapat ditulis sebagai pangkat g dalam notasi perkalian, atau sebagai kelipatan g dalam notasi aditif. Elemen g ini disebut generator grup.

Setiap grup siklik tak terbatas adalah isomorfik pada grup aditif dari Z, bilangan bulat. Setiap grup siklik hingga urutan n isomorfik ke grup aditif dari Z/nZ, bilangan bulat modulo n . Setiap grup siklik adalah grup abelian (artinya operasi grupnya adalah komutatif), dan setiap grup abelian dihasilkan secara terbatas adalah produk langsung dari grup siklik.

Setiap kelompok siklik dari urutan prime adalah kelompok sederhana yang tidak dapat dipecah menjadi kelompok-kelompok yang lebih kecil. Di klasifikasi grup sederhana hingga, salah satu dari tiga kelas tak hingga terdiri dari gugus siklik orde utama. Dengan demikian, grup siklik dari orde utama berada di antara blok-blok penyusun dari mana semua grup dapat dibangun.

Definisi dan notasi

Kompleks keenam keenam akar persatuan membentuk kelompok siklik dalam perkalian. Di sini z adalah generator, tetapi z² bukan, karena kekuatannya gagal menghasilkan pangkat ganjil z .

Untuk setiap elemen g dalam grup G , seseorang dapat membentuk subgrup dari semua pangkat bilangan bulat ⟨g⟩ = {g^k | k ∈ Z}, disebut 'subgrup siklik' dari g . urutan dari g adalah jumlah elemen dalam ⟨g⟩; yaitu, urutan elemen sama dengan urutan subgrup sikliknya.

Grup siklik adalah grup yang sama dengan salah satu subgrup sikliknya: G = ⟨g⟩ untuk beberapa elemen g , disebut generator .

Untuk grup siklik hingga G dengan urutan n kami memiliki G = {e, g, g², ... , gⁿ⁻¹}, di mana e adalah elemen identitas dan gⁱ = g^j jika i ≡ j ( mod n ); khususnya gⁿ = g⁰ = e, dan g⁻¹ = gⁿ⁻¹. Grup abstrak yang ditentukan oleh perkalian ini sering dilambangkan dengan C _n , dan kami mengatakan bahwa G adalah isomorfis ke grup siklik standar C_n. Grup seperti itu juga isomorfik Z/nZ, grup bilangan bulat modulo n dengan operasi penjumlahan, yang merupakan grup siklik standar dalam notasi aditif. Di bawah isomorfisme χ yang didefinisikan oleh χ(gⁱ) = i elemen identitas e sesuai dengan 0, hasil kali sesuai dengan jumlah, dan pangkat sesuai dengan kelipatan.

Misalnya, himpunan kompleks ke-6 akar kesatuan

$G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}{+}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}{-}{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}$

membentuk grup di bawah perkalian. Ini siklik, karena dihasilkan oleh akar primitif $z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:$ itu adalah, G = ⟨z⟩ = { 1, z, z², z³, z⁴, z⁵ } dengan z⁶ = 1. Di bawah perubahan huruf, ini isomorfik ke (secara struktural sama dengan) kelompok siklik standar orde 6, didefinisikan sebagai C₆ = ⟨g⟩ = { e, g, g², g³, g⁴, g⁵ } dengan perkalian g^j · g^k = g^{j+k (mod 6)}, seperti g⁶ = g⁰ = e. Grup pada isomorfik Z/6Z = {0,1,2,3,4,5} dengan operasi penambahan modulo 6, dengan z^k dan g^k sesuai dengan k . Sebagai contoh, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) sesuai dengan z¹ · z² = z³, dan 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponds to z² · z⁵ = z⁷ = z¹, dan seterusnya. Setiap elemen menghasilkan subgrup sikliknya sendiri, seperti ⟨z²⟩ = { e, z², z⁴ } dari urutan 3, isomorfik pada C₃ dan Z/3Z; dan ⟨z⁵⟩ = { e, z⁵, z¹⁰ = z⁴, z¹⁵ = z³, z²⁰ = z², z²⁵ = z } = G, sehingga z ⁵ memiliki urutan 6 dan merupakan generator alternatif G .

Alih-alih notasi hasil bagi Z/nZ, Z/(n), atau Z/n, beberapa penulis menunjukkan grup siklik berhingga sebagai Z_n, tetapi ini bertentangan dengan notasi teori bilangan, di mana Z_p menunjukkan gelanggang bilangan p -adic, atau pelokalan pada prime ideal.

Grup siklik tak hingga

p1, (*∞∞)	p11g, (22∞)
Dua grup dekorasi bersifat isomorfik terhadap Z. Dengan satu generator, p1 memiliki terjemahan dan p11g memiliki pantulan luncuran.

On the other hand, in an infinite cyclic group G = ⟨g⟩, the powers g^k give distinct elements for all integers k, so that G = { ... , g⁻², g⁻¹, e, g, g², ... }, and G is isomorphic to the standard group C = C_∞ and to Z, the additive group of the integers. An example is the first frieze group. Here there are no finite cycles, and the name "cyclic" may be misleading.

Untuk menghindari kebingungan ini, Bourbaki memperkenalkan istilah grup monogen untuk grup dengan generator tunggal dan "grup siklik" yang dibatasi berarti grup monogen terbatas, menghindari istilah "grup siklik tak terbatas".

Contoh

Contoh grup siklik dalam simetri rotasi

C1	C2	C3
C4	C5	C6

Bilangan bulat dan penambahan modular

Himpunan bilangan bulat Z, dengan operasi penjumlahan, membentuk grup. Ini adalah grup siklik tak terbatas, karena semua bilangan bulat dapat ditulis dengan menambahkan atau mengurangkan bilangan tunggal 1 berulang kali. Dalam grup ini, 1 dan −1 adalah satu-satunya generator. Setiap grup siklik tak terbatas isomorfik untuk Z.

Untuk setiap bilangan bulat positif n , himpunan bilangan bulat modulo n , sekali lagi dengan operasi penjumlahan, membentuk grup siklik hingga, dilambangkan Z/nZ. Bilangan bulat modular i adalah generator grup ini jika i relatif prima hingga n , karena elemen ini dapat menghasilkan semua elemen lain dari grup melalui penambahan bilangan bulat. (Jumlah generator tersebut adalah φ ( n ), di mana φ adalah Fungsi total Euler.) Setiap grup siklik hingga G isomorfik Z/nZ, where n = |G| adalah urutan grup.

Operasi penambahan pada integer dan integer modular, digunakan untuk mendefinisikan grup siklik, adalah operasi penambahan cincin komutatif, juga dilambangkan dengan Z dan Z/nZ atau Z/(n). Jika p adalah prima, maka Z/pZ adalah bidang terbatas, dan biasanya dilambangkan dengan 'F' _p atau GF( p ) untuk bidang Galois.

Perkalian modular

Artikel utama: Grup perkalian bilangan bulat modulo n

Untuk setiap bilangan bulat positif n , himpunan bilangan bulat modulo n yang relatif prima ke n ditulis sebagai (Z/nZ)^×; itu membentuk grup di bawah operasi perkalian. Grup ini tidak selalu siklik, tetapi menjadi begitu setiap kali n adalah 1, 2, 4, sebuah pangkat dari bilangan prima ganjil, atau dua kali pangkat dari bilangan prima ganjil (barisan A033948 pada OEIS). Ini adalah kelompok perkalian dari satuan dari cincin Z/nZ; ada φ ( n ) di antaranya, di mana lagi φ adalah fungsi total Euler. Sebagai contoh, (Z/6Z)^× = {1,5}, dan karena 6 adalah dua kali bilangan prima ganjil, ini adalah grup siklik. Sebaliknya, (Z/8Z)^× = {1,3,5,7} adalah grup Klein 4 dan bukan siklik. Dimana (Z/nZ)^× berbentuk siklik, generatornya disebut akar primitif modulo n .

Untuk bilangan prima p , grup (Z/pZ)^× selalu siklik, terdiri dari elemen bukan nol dari bidang terbatas dengan urutan p . Lebih umum lagi, setiap subkelompok terbatas dari kelompok perkalian dari bidang adalah siklik.

Rotasi simetri

Artikel utama: Simetri rotasi

Himpunan simetri rotasi dari sebuah poligon membentuk grup siklik berhingga. Jika ada n cara berbeda untuk memindahkan poligon ke dirinya sendiri dengan rotasi (termasuk rotasi nol) maka grup simetri ini isomorfik ke Z/nZ. Dalam tiga dimensi atau lebih tinggi terdapat grup simetri hingga siklik, tapi yang tidak semuanya rotasi di sekitar sumbu, melainkan rotoreflection.

Grup dari semua rotasi dari lingkaran S¹ (grup lingkaran, juga dilambangkan dengan S¹) adalah bukan siklik, karena tidak ada rotasi tunggal yang kekuatan integernya menghasilkan semua rotasi. Faktanya, grup siklik tak terbatas C_∞ adalah dapat dihitung, sedangkan S ¹ tidak. Kelompok rotasi menurut sudut rasional dapat dihitung, tetapi tetap tidak siklik.

Teori Galois

Sebuah n akar persatuan adalah bilangan kompleks yang pangkat n nya adalah 1, akar dari [[polynomial] ] xⁿ − 1. Himpunan semua akar kesatuan n membentuk kelompok urutan siklik n dalam perkalian. Misalnya, polinomial z³ − 1 factors as (z − 1)(z − ω)(z − ω²), dimana ω = e^2πi/3; the set {1, ω, ω²} = {ω⁰, ω¹, ω²} membentuk kelompok siklik dalam perkalian. Grup Galois dari ekstensi bidang dari bilangan rasional yang dihasilkan oleh akar kesatuan n membentuk grup yang berbeda, isomorfik ke grup perkalian (Z/nZ)^× urutan φ ( n ), yang merupakan siklus untuk beberapa tetapi tidak semua n (lihat di atas).

Ekstensi bidang disebut ekstensi siklik jika grup Galoisnya adalah siklik. Untuk bidang karakteristik nol, ekstensi tersebut adalah subjek teori Kummer, dan terkait erat dengan solvabilitas oleh radikal. Untuk perpanjangan bidang hingga karakteristik p , grup Galoisnya selalu terbatas dan siklik, yang dihasilkan oleh kekuatan Frobenius mapping. Sebaliknya, diberi bidang hingga F dan grup siklik hingga G , ada ekstensi bidang hingga F yang grup Galoisnya adalah G .

Subgrup

Artikel utama: Teorema dasar grup siklik

Semua subgrup dan grup hasil bagi dari grup siklik adalah siklik. Secara khusus, semua subgrup Z berbentuk ⟨m⟩ = mZ, dengan m bilangan bulat positif. Semua subgrup ini berbeda satu sama lain, dan terpisah dari grup trivial {0} = 0Z, mereka semua isomorfik sampai Z. Kisi subgrup dari Z isomorfik dengan ganda dari kisi bilangan asli yang diurutkan oleh terbagi. Jadi, karena bilangan prima p tidak memiliki pembagi nontrivial, pZ adalah subgrup yang tepat maksimal, dan grup hasil bagi Z/pZ adalah sederhana; sebenarnya, sebuah gugus siklik adalah sederhana jika dan hanya jika urutannya adalah bilangan prima.

Semua grup hasil bagi Z/nZ terbatas, dengan pengecualian Z/0Z = Z/{0}. Untuk setiap pembagi positif d dari n , grup hasil bagi Z/nZ memiliki tepat satu subgrup orde d , yang dihasilkan oleh kelas residu dari n / d . Tidak ada subgrup lain.

Properti tambahan

Setiap grup siklik adalah abelian. Artinya, operasi grupnya adalah komutatif: gh = hg (untuk g dan h pada G ). Ini jelas untuk grup penambahan integer dan modular karena r + s ≡ s + r (mod n), dan mengikuti untuk semua grup siklik karena semuanya isomorfik untuk grup standar ini. Untuk grup urutan siklik terbatas n , gⁿ adalah elemen identitas untuk setiap elemen g . Ini lagi mengikuti dengan menggunakan isomorfisma ke penambahan modular, karena kn ≡ 0 (mod n) untuk setiap integer k . (Ini juga berlaku untuk kelompok umum ordo n , karena Teorema Lagrange.)

Untuk kekuatan utama p^k, grup Z/p^kZ disebut grup siklik primer. teorema fundamental dari grup abelian menyatakan bahwa setiap grup abelian yang dihasilkan tak hingga adalah produk langsung hingga dari grup siklik tak hingga dan utama.

Karena grup siklik adalah abelian, setiap kelas konjugasi nya terdiri dari satu elemen. Oleh karena itu, sekelompok siklik urutan n memiliki kelas konjugasi n .

Jika d adalah pembagi dari n , maka jumlah elemen dalam Z/nZ yang memiliki urutan d adalah φ ( d ), dan jumlah elemen yang urutannya membagi d persis d . Jika G adalah grup terbatas di mana, untuk setiap n > 0, G berisi paling banyak n elemen urutan yang membagi n , lalu G harus siklik. Urutan elemen m pada Z/nZ adalah n/ gcd(n,m).

Jika n dan m adalah coprime, maka produk langsung dari dua grup siklik Z/nZ dan Z/mZ isomorfik ke grup siklik Z/nmZ, dan kebalikannya juga berlaku: ini adalah salah satu bentuk Teorema sisa Tionghoa. Sebagai contoh, Z/12Z isomorfik terhadap produk langsung Z/3Z × Z/4Z di bawah isomorfisme ( k mod 12) → (k mod 3, k mod 4); tetapi tidak isomorfik Z/6Z × Z/2Z, di mana setiap elemen memiliki keteraturan paling banyak 6.

Jika p adalah bilangan prima, maka setiap grup dengan elemen p adalah isomorfik ke grup sederhana Z/pZ. Bilangan n disebut bilangan siklik jika Z/nZ adalah satu-satunya kelompok urutan n , yang benar kapan tepatnya gcd(n,φ(n)) = 1. Bilangan siklik mencakup semua bilangan prima, tetapi ada juga yang komposit seperti 15. Namun, semua bilangan siklik adalah ganjil kecuali 2. Bilangan siklik tersebut adalah:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (barisan A003277 pada OEIS)

Definisi segera menyiratkan bahwa grup siklik memiliki presentasi grup C_∞ = Templat:Langlex | Templat:Rangle and C_n = Templat:Langlex | xⁿTemplat:Rangle untuk hingga n .

Objek terkait

Representasi

teori representasi dari kelompok siklik adalah kasus dasar penting untuk teori representasi dari grup hingga yang lebih umum. Dalam kasus kompleks, representasi grup siklik terurai menjadi jumlah langsung dari karakter linear, membuat hubungan antara teori karakter dan teori representasi menjadi transparan. Dalam kasus karakteristik positif, representasi tak terurai dari kelompok siklik membentuk model dan dasar induktif untuk teori representasi kelompok dengan subgrup Sylow siklik dan lebih umum representasi.

Grafik Cyle

Informasi lebih lanjut: Grafik Cyle (aljabar)

Grafik Cyle mengilustrasikan berbagai siklus grup dan sangat berguna dalam memvisualisasikan struktur grup hingga kecil. Grafik siklus untuk grup siklik hanyalah grafik melingkar, dengan urutan grup sama dengan jumlah node. Generator tunggal mendefinisikan grup sebagai jalur arah pada grafik, dan generator terbalik mendefinisikan jalur mundur. Jalur sepele (identitas) dapat digambar sebagai loop tetapi biasanya disembunyikan. Z₂ terkadang digambar dengan dua tepi melengkung sebagai multigraf.

Grup siklik Z _n , orde n , adalah satu siklus yang digambarkan secara sederhana sebagai poligon bersisi n dengan elemen pada simpulnya.

Grafik Cyle hingga urutan 24

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6 = Z3×Z2	Z7	Z8
Z9	Z10 = Z5×Z2	Z11	Z12 = Z4×Z3	Z13	Z14 = Z7×Z2	Z15 = Z5×Z3	Z16
Z17	Z18 = Z9×Z2	Z19	Z20 = Z5×Z4	Z21 = Z7×Z3	Z22 = Z11×Z2	Z23	Z24 = Z8×Z3

Grafik Cayley

Artikel utama: Grafik melingkar

Grafik Paley urutan 13, grafik melingkar yang dibentuk sebagai grafik Cayley dari Z/13 dengan genset {1,3,4}

Grafik Cayley adalah grafik yang ditentukan dari pasangan ( G , S ) di mana G adalah grup dan S adalah kumpulan generator untuk grup; itu memiliki simpul untuk setiap elemen grup, dan tepi untuk setiap produk elemen dengan generator. Dalam kasus grup siklik hingga, dengan generator tunggalnya, grafik Cayley adalah grafik Cycle, dan untuk grup siklik tak hingga dengan generatornya, grafik Cayley adalah grafik jalur tak terhingga ganda. Namun, grafik Cayley juga dapat ditentukan dari kumpulan generator lain. Grafik Cayley dari grup siklik dengan genset sembarang disebut grafik sirkulant. Grafik ini dapat direpresentasikan secara geometris sebagai satu set titik yang berjarak sama pada lingkaran atau garis, dengan setiap titik terhubung ke tetangga dengan jarak yang sama satu sama lain. Mereka adalah persis grafik verteks-transitif yang grup simetri termasuk grup siklik transitif.

Endomorfisme

Gelanggang endomorfisme dari grup abelian Z/nZ adalah isomorfis menjadi Z/nZ dirinya sebagai gelanggang. Di bawah isomorfisme ini, angka r sesuai dengan endomorfisme Z/nZ yang memetakan setiap elemen ke jumlah salinan r darinya. Ini adalah bijeksi jika dan hanya jika r coprime dengan n , jadi grup automorfisme dari Z/nZ isomorfik ke grup unit (Z/nZ)^×.

Demikian pula, gelanggang endomorfisme dari grup aditif Z isomorfik ke gelanggang Z. Kelompok automorfismenya adalah isomorfik terhadap kelompok satuan gelanggang Z, yaitu untuk ({−1, +1}, ×) ≅ C₂.

Produk Tensor dan Hom dari grup siklik

Produk tensor Z/mZ ⊗ Z/nZ dapat ditunjukkan menjadi isomorfik Z / gcd(m, n)Z. Sehingga kita bisa membentuk kumpulan group homomorfisme dari Z/mZ pada Z/nZ, dilambangkan hom(Z/mZ, Z/nZ), yang merupakan grup.

Untuk produk tensor, ini adalah konsekuensi dari fakta umum bahwa R/I ⊗_R R/J ≅ R/(I + J), di mana R adalah komutatif gelanggang dengan satuan dan I dan J adalah ideal dari gelanggang. Untuk kelompok Hom, ingatlah bahwa itu isomorfik ke subgrup Z / nZ terdiri dari unsur-unsur urutan membagi m . Subkelompok itu adalah siklus keteraturan gcd(m, n), yang melengkapi buktinya.

Lihat pula

• Grafik Cycle (grup)
• Modul siklik
• Pengayak siklik
• Grup Prüfer ( analog tak terhingga)
• Grup lingkaran ( tak terhitung tak terbatas analog)

Catatan Kaki

Referensi

• Alonso, J. M.; et al. (1991), "Notes on word hyperbolic groups", Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990) (PDF), River Edge, NJ: World Scientific, Corollary 3.6, MR 1170363, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2013-04-25, diakses tanggal 2013-11-26 
• Alspach, Brian (1997), "Isomorphism and Cayley graphs on abelian groups", Graph symmetry (Montreal, PQ, 1996), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 497, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., hlm. 1–22, ISBN 978-0-792-34668-5, MR 1468786 
• Aluffi, Paolo (2009), "6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups", Algebra, Chapter 0, Graduate Studies in Mathematics, 104, American Mathematical Society, hlm. 82–84, ISBN 978-0-8218-4781-7 
• Bourbaki, Nicolas (1998-08-03) [1970], Algebra I: Chapters 1-3, Elements of Mathematics, 1 (edisi ke-softcover reprint), Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-64243-5 
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980), Generators and Relations for Discrete Groups, New York: Springer-Verlag, hlm. 1, ISBN 0-387-09212-9 
• Lajoie, Caroline; Mura, Roberta (November 2000), "What's in a name? A learning difficulty in connection with cyclic groups", For the Learning of Mathematics, 20 (3): 29–33, JSTOR 40248334 
• Cox, David A. (2012), Galois Theory, Pure and Applied Mathematics (edisi ke-2nd), John Wiley & Sons, Theorem 11.1.7, p. 294, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9 
• Gallian, Joseph (2010), Contemporary Abstract Algebra (edisi ke-7th), Cengage Learning, Exercise 43, p. 84, ISBN 978-0-547-16509-7 
• Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge University Press, hlm. 18, ISBN 978-0-521-83531-2, Z_n is simple iff n is prime. 
• Jungnickel, Dieter (1992), "On the uniqueness of the cyclic group of order n", American Mathematical Monthly, 99 (6): 545–547, doi:10.2307/2324062, JSTOR 2324062, MR 1166004 
• Fuchs, László (2011), Partially Ordered Algebraic Systems, International series of monographs in pure and applied mathematics, 28, Courier Dover Publications, hlm. 63, ISBN 978-0-486-48387-0 
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), The Theory of Finite Groups: An Introduction, Universitext, Springer, hlm. 50, ISBN 978-0-387-40510-0 
• Motwani, Rajeev; Raghavan, Prabhakar (1995), Randomized Algorithms, Cambridge University Press, Theorem 14.14, p. 401, ISBN 978-0-521-47465-8 
• Ore, Øystein (1938), "Structures and group theory. II", Duke Mathematical Journal, 4 (2): 247–269, doi:10.1215/S0012-7094-38-00419-3, hdl:10338.dmlcz/100155 , MR 1546048 
• Rotman, Joseph J. (1998), Galois Theory, Universitext, Springer, Theorem 62, p. 65, ISBN 978-0-387-98541-1 
• Stallings, John (1970), "Groups of cohomological dimension one", Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., hlm. 124–128, MR 0255689 
• Stewart, Ian; Golubitsky, Martin (2010), Fearful Symmetry: Is God a Geometer?, Courier Dover Publications, hlm. 47–48, ISBN 978-0-486-47758-9 
• Vilfred, V. (2004), "On circulant graphs", dalam Balakrishnan, R.; Sethuraman, G.; Wilson, Robin J., Graph Theory and its Applications (Anna University, Chennai, March 14–16, 2001), Alpha Science, hlm. 34–36, ISBN 8173195692 
• Vinogradov, I. M. (2003), "§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES", Elements of Number Theory, Mineola, NY: Dover Publications, hlm. 105–132, ISBN 0-486-49530-2, diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09, diakses tanggal 2020-12-16 

Bacaan lebih lanjut

• Herstein, I. N. (1996), Abstract algebra (edisi ke-3rd), Prentice Hall, hlm. 53–60, ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019 

Pranala luar

• Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html Diarsipkan 2023-05-31 di Wayback Machine.
• An introduction to cyclic groups Diarsipkan 2009-02-02 di Wayback Machine.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Cyclic Group". MathWorld. 
• Cyclic groups of small order on GroupNames Diarsipkan 2023-08-09 di Wayback Machine.