Subgrup

subset dari grup matematika yang membentuk grup itu sendiri

Di teori grup, cabang matematika, diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H. Ini biasanya dilambangkan HG, dibaca sebagai "H adalah subgrup dari G".

Coset dan teorema Lagrange

sunting

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : HaH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a1 ~ a2 jika dan hanya jika a1−1a2 ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,

 

dimana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.[1][2]

Contoh: Subgrup Z8

sunting

Maka G jadikan grup siklik ke Z8 maka hasil elemen

 

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, dimana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.

Contoh: Subgrup S4 (grup simetris pada 4 elemen)

sunting

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z2. These small subgroups are not counted in the following list.

 
The symmetric group S4 showing all permutations of 4 elements
All 30 subgroups
Simplified

12 elements

sunting
 
The alternating group A4 showing only the even permutations

Subgroups:
 
      

8 elements

sunting
 
Dihedral group of order 8

Subgroups:
   
 
 
Dihedral group of order 8

Subgroups:
   
 
 
Dihedral group of order 8

Subgroups:
   

6 elements

sunting
 
Symmetric group S3

Subgroup: 
 
Symmetric group S3

Subgroup: 
 
Symmetric group S3

Subgroup: 
 
Symmetric group S3

Subgroup: 

4 elements

sunting
 
Klein four-group
 
Klein four-group
 
Klein four-group
 
Klein four-group
 
Cyclic group Z4
 
Cyclic group Z4
 
Cyclic group Z4

3 elements

sunting
 
Cyclic group Z3
 
Cyclic group Z3
 
Cyclic group Z3
 
Cyclic group Z3

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Melihat sebuah didactic proof in this video.
  2. ^ S., Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. hlm. 90. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264. 

Referensi

sunting