Grup Galois

grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang

Dalam matematika, di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori Galois, Grup Galois dari jenis tertentu ekstensi bidang adalah grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan polinomial yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut teori Galois, dinamai demikian untuk menghormati Évariste Galois yang pertama kali dibahas.

Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah grup permutasi, lihat artikel di teori Galois.

Definisi

sunting

Misalkan   adalah perpanjangan dari bidang   (ditulis sebagai   dan dibaca "E di atas F "). Automorfisme dari   didefinisikan sebagai automorfisme dari   dari   secara searah. Dengan kata lain, automorfisme   adalah isomorfisme   sehingga   untuk  . Himpunan dari semua automorfisme   membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup ini terkadang dilambangkan dengan  

Jika   adalah ekstensi Galois, maka   disebut 'Galois group' dari  , dan biasanya dilambangkan dengan  .

Beberapa penulis merujuk   sebagai grup Galois untuk ekstensi arbitrer   dan menggunakan notasi yang sesuai, oleh Jacobson 2009.

Jika   bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari   terkadang didefinisikan sebagai  , di mana   adalah penutupan Galois dari  .

Grup Galois dari suatu polinomial

sunting

Definisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial  . Jika ada bidang   sedemikian rupa sehingga   menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier

 

di atas bidang  , maka grup Galois dari polinomial   didefinisikan sebagai grup Galois dari   di mana   minimal di antara semua bidang tersebut.

Struktur grup Galois

sunting

Teorema dasar teori Galois

sunting

Salah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari teorema fundamental teori Galois. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas  , ada bijection antara himpunan subbidang   dan subgrup   Kemudian,   diberikan oleh himpunan invarian dari   di bawah aksi  , jadi

 

Selain itu, jika   adalah subgrup normal maka  . Dan sebaliknya, jika   adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di   adalah grup normal.

Struktur kisi

sunting

Misalkan   adalah ekstensi Galois dari   dengan grup Galois   Bidang   dengan grup Galois   memiliki injeksi   yang merupakan isomorfisme  .[1]

Indruksi

sunting

Sebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois   where   maka isomorfisme dari grup Galois:

 

Contoh

sunting

Dalam contoh berikut   adalah bidang, dan   adalah bidang bilangan kompleks, riil, dan rasional. Notasi F(a) menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan adjunsi elemen a ke bidang F .

Alat komputasi

sunting

Kardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidang

sunting

Salah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois[2] dari ekstensi medan hingga adalah sebagai berikut: Polinomial  , maka   menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah,

 

Kriteria Eisenstein

sunting

Alat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari kriteria Eisenstein. Jika polinomial   faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi   grup Galois dari   dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap   karena grup Galois dari   adalah grup Galois dari  

Grup trivial

sunting

  merupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas.

Contoh lain dari grup Galois trivial adalah   Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari   urutan dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas.

Pertimbangkan bidang   Grup   hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena   bukan ekstensi norma, karena dua akar pangkat tiga lainnya dari  ,

  and  

hilang dari ekstensi, dengan kata lain K bukan bidang pemisah.

Properti

sunting

Arti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi teorema dasar teori Galois: subgrup tertutup (sehubungan dengan topologi Krull) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang.

Jika   adalah ekstensi Galois, maka   dapat diberi topologi, yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi grup tak hingga.

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :1
  2. ^ "Abstract Algebra" (PDF). hlm. 372–377. Diarsipkan (PDF) dari versi asli tanggal 2021-05-07. Diakses tanggal 2021-01-22. 

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting