Bentuk tak tentu

Dalam kalkulus dan cabang lain analisis matematika, batasan yang melibatkan kombinasi aljabar fungsi dalam variabel independen sering kali dapat dievaluasi dengan mengganti fungsi; jika ekspresi yang diperoleh setelah substitusi ini tidak memberikan informasi yang cukup untuk menentukan batas aslinya, maka dikatakan menganggap file Bentuk tak tentu. Lebih khusus lagi, bentuk tak tentu adalah ekspresi matematika yang melibatkan nilai , dan , diperoleh dengan menerapkan teorema limit aljabar dalam proses mencoba menentukan nilai limit, which gagal untuk membatasi nilai limit tersebut pada satu nilai tertentu dan dengan demikian belum menentukan nilai limit tersebut.[1][2] Istilah ini awalnya diperkenalkan oleh murid Cauchy Moigno di pertengahan abad ke-19.

Ada tujuh bentuk tak tentu yang biasanya dipertimbangkan dalam literatur:[2]

Contoh paling umum dari bentuk tak tentu terjadi saat menentukan batas rasio dua fungsi, di mana kedua fungsi ini cenderung nol dalam batas, dan disebut sebagai "bentuk tak tentu dari ". Contohnya, sebagai pendekatan nilai , rasio dari , , dan saat menentukan , , dan dari nilai masing-masing. Dalam setiap kasus, jika batas pembilang dan penyebut diganti, ekspresi yang dihasilkan adalah nilai , yang tidak ditentukan. Dengan cara berbicara yang santai, dapat menerima nilai-nilainya , , atau , dan mudah untuk membuat contoh serupa yang batasannya adalah nilai tertentu.

Jadi, mengingat bahwa dua fungsi dan keduanya mendekat sebagai mendekati beberapa nilai limit , fakta itu saja tidak memberikan informasi yang cukup untuk mengevaluasi limit

Tidak setiap ekspresi aljabar yang tidak terdefinisi sesuai dengan bentuk tak tentu. Contohnya ekspresi tidak ditentukan sebagai bilangan real tetapi tidak sesuai dengan bentuk tak tentu, karena batas apa pun yang memunculkan bentuk ini akan menyimpang hingga tak terhingga.[3]

Ekspresi yang muncul dengan cara lain selain dengan menerapkan teorema aljabar batas dapat mengambil bentuk yang sama sebagai salah satu bentuk tak tentu. Namun, tidaklah tepat menyebut ungkapan ini sebagai "bentuk tak tentu" di luar konteks penentuan batas. Kasus yang paling umum adalah , yang mungkin, misalnya, muncul dari penggantian dari dalam persamaan . Ekspresi ini tidak terdefinisi, seperti pembagian dengan nol pada umumnya. Kasus lainnya adalah ekspresi . Apakah ekspresi ini dibiarkan tidak terdefinisi, atau ditentukan sama , tergantung pada bidang aplikasi dan mungkin berbeda antar penulis. Untuk lebih lanjut, lihat artikel Nol pangkat nol. Catat itu dan ekspresi lain yang melibatkan tak terhingga bukan bentuk tak tentu.

Mengevaluasi bentuk tak tentuSunting

Kata sifat tak tentu menyiratkan bahwa batas tidak ada, seperti yang ditunjukkan oleh banyak contoh di atas. Dalam banyak kasus, eliminasi aljabar, aturan L'Hôpital, atau metode lain dapat digunakan untuk memanipulasi ekspresi sehingga batas dapat dievaluasi.[1]

Contohnya ekspresi   dapat disederhanakan menjadi   pada titik mana pun selain  . Jadi, batas ekspresi ini sebagai   pendekatan   (yang hanya bergantung pada titik dekat  , bukan pada   diri sendiri) adalah batas  , yang mana  . Sebagian besar contoh lain di atas juga dapat dievaluasi menggunakan penyederhanaan aljabar.

Setara infinitesimalSunting

Ketika dua variabel   dan   berkumpul ke nol pada titik yang sama dan  , mereka disebut setara sangat kecil (equiv.  ).

Apalagi jika variabel   dan   seperti itu   dan  , then:

 

Berikut ini bukti singkatnya:

Misalkan ada dua infinitesimals yang setara   and  .

 

Untuk evaluasi bentuk tak tentu  , seseorang dapat memanfaatkan fakta-fakta berikut tentang ekuivalen infinitesimal:[4]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

For example:

 

Dalam Aturan L'HôpitalSunting

Aturan L'Hôpital adalah metode umum untuk mengevaluasi bentuk tak tentu   dan  . Aturan ini menyatakan bahwa (dalam kondisi yang sesuai)

 

darimana   dan   adalah turunan dari   and  . (Perhatikan bahwa aturan ini tidak berlaku untuk ekspresi  ,  , dan seterusnya, karena ekspresi ini bukanlah bentuk tak tentu.) Turunan ini akan memungkinkan seseorang untuk melakukan penyederhanaan aljabar dan akhirnya mengevaluasi limit.

Aturan L'Hôpital juga dapat diterapkan ke bentuk tak tentu lainnya, pertama menggunakan transformasi aljabar yang sesuai. Misalnya untuk mengevaluasi formulir 00:

 

Daftar bentuk tak tentuSunting

Tabel berikut mencantumkan bentuk tak tentu yang paling umum, dan transformasi untuk menerapkan aturan l'Hôpital.

Bentuk tak tentu Syarat-syarat Transformasi menjadi nilai   Transformasi menjadi nilai  
00  
 
      
       
       
       
       
       

ReferensiSunting

  1. ^ a b "Daftar Istilah Definitif dari Jargon Matematika Tinggi - Tidak Pasti". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 2019-12-02. 
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. "Tidak pasti". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2019-12-02. 
  3. ^ "Undefined vs Indeterminate dalam Matematika". www.cut-the-knot.org. Diakses tanggal 2019-12-02. 
  4. ^ "Tabel setara infinitesimal" (PDF). Vaxa Software.