Ideal (teori gelanggang)

menggeneralisasi himpunan bagian tertentu dari bilangan bulat, seperti bilangan genap atau kelipatan 3

Templat:Ring theory sidebar

Dalam teori gelanggang, sebuah cabang dari aljabar abstrak, ideal dari gelanggang adalah himpunan bagian khusus dari elemen. Ideal menggeneralisasi himpunan bagian tertentu dari bilangan bulat, seperti bilangan genap atau kelipatan 3. Penambahan dan pengurangan bilangan genap mempertahankan kemerataan, dan mengalikan bilangan genap dengan bilangan bulat lainnya menghasilkan bilangan genap lainnya; penutupan dan sifat absorpsi adalah sifat yang menentukan dari suatu ideal. Ideal dapat digunakan untuk gelanggang hasil bagi dengan cara yang sama di teori grup, subgrup normal dapat digunakan untuk grup hasil bagi.

Di antara bilangan bulat, yang ideal sesuai satu-untuk-satu dengan bilangan bulat non-negatif: dalam gelanggang, ideal adalah ideal pokok yang terdiri dari kelipatan satu bilangan non-negatif. Namun, dalam gelanggang lain, ideal mungkin tidak sesuai langsung dengan elemen gelanggang, dan sifat bilangan bulat tertentu, ketika digeneralisasikan ke gelanggang, lebih alami melekat pada ideal dari elemen. Misalnya, ideal prima gelanggang dianalogikan dengan bilangan prima, dan Teorema sisa bahasa Cina dapat digeneralisasikan menjadi ideal. Ada versi faktorisasi prima unik untuk ideal domain Dedekind (jenis gelanggang yang penting dalam teori bilangan).

Terkait, tetapi berbeda, konsep dari ideal dalam teori orde diturunkan dari gagasan ideal dalam teori gelanggang. Sebuah ideal pecahan adalah generalisasi dari suatu ideal, dan ideal biasa kadang-kadang disebut ideal integral untuk kejelasan.

SejarahSunting

Ernst Kummer menemukan konsep bilangan ideal yang berfungsi sebagai faktor "hilang" dalam bilangan ideal di mana faktorisasi; di sini kata "ideal" dalam arti berada dalam imajinasi saja, dalam analogi dengan benda "ideal" dalam geometri seperti titik pada tak terhingga.[1] Pada tahun 1876, Richard Dedekind menggantikan konsep Kummer yang tidak terdefinisi dengan rangkaian bilangan konkret, rangkaian yang disebut ideal, dalam edisi ketiga buku Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie, yang mana Dedekind telah menambahkan banyak suplemen.[1][2][3] Kemudian gagasan itu diperluas melampaui bilangan gelanggang ke pengaturan gelanggang polinomial dan gelanggang komutatif lainnya oleh David Hilbert dan terutama Emmy Noether.

Definisi dan motivasiSunting

Untuk gelanggang alternatif  , maka   jadilah grup aditif. Himpunan bagian   disebut kiri ideal dari   bila subgrup aditif dari   yang "menyerap perkalian dari kiri oleh elemen  "; artinya,   adalah kiri ideal bila memenuhi dua kondisi berikut:

  1.   adalah subgrup dari  
  2. Untuk   dan  , produk   adalah  .

Ideal kanan didefinisikan dengan "r xI" digantikan oleh "x rI". Ideal dua sisi adalah ideal kiri yang juga ideal kanan, dan kadang-kadang disebut ideal. Dalam bahasa modul, definisi berarti bahwa ideal kiri (resp. Kanan, dua sisi) dari R adalah kiri (resp. Kanan, bi-) submodul-R dari R ketika R dilihat sebagai modul R . Ketika R adalah gelanggang komutatif, definisi ideal kiri, kanan, dan dua sisi bertepatan, dan istilah ideal.

Untuk memahami konsep ideal, perhatikan bagaimana ideal muncul dalam konstruksi gelanggang "elemen modulo". Untuk konkretnya, lihat gelanggang ℤn dari bilangan bulat modulo bilangan bulat tertentu n ∈ ℤ (perhatikan bahwa ℤ adalah gelanggang komutatif). Pengamatan utama di sini adalah yang kita dapatkan ℤn dengan mengambil garis bilangan bulat ℤ dan berbagai bilangan bulat dapat diidentifikasi. Dalam melakukannya, kita harus memenuhi dua persyaratan: 1) n harus diidentifikasikan dengan 0 karena n kongruen dengan 0 modulo n , dan 2) struktur yang dihasilkan harus berupa gelanggang. Persyaratan kedua kita membuat identifikasi tambahan (yaitu, menentukan cara yang tepat di mana kita harus membungkus ℤ ). Gagasan tentang ideal muncul ketika kita mengajukan pertanyaan:

Apa himpunan pada bilangan bulat yang harus kita identifikasi dengan 0?

Jawabannya, himpunan nℤ = ( nm | m ∈ ℤ } dari semua bilangan bulat kongruen dengan 0 modulo n . Artinya, kita harus membungkus ℤ di sekitar, sehingga bilangan bulat..., n ⋅ −2, n ⋅ −1, n ⋅ +1, n ⋅ +2, ... akan sejajar dengan 0. Bila kita melihat sifat apa yang harus dipenuhi oleh himpunan ini untuk memastikannya ℤn adalah sebuah gelanggang, maka kita sampai pada definisi ideal. Memang, seseorang dapat secara langsung memverifikasi bahwa nℤ adalah ideal dari ℤ.

Remark. Identifikasi dengan elemen selain 0 juga perlu dilakukan. Misalnya, elemen dalam 1 + n harus diidentifikasi dengan 1, elemen dalam 2 + n harus diidentikkan dengan 2, dan seterusnya. Maka, secara ditentukan oleh nℤ karena ℤ adalah grup aditif.

Contoh dan sifatSunting

Beberapa hasil dinyatakan hanya untuk ideal kiri tetapi biasanya juga berlaku untuk ideal kanan dengan perubahan notasi yang sesuai.

  • Dalam gelanggang R , himpunan R itu sendiri membentuk ideal dua sisi dari R yang disebut unit ideal. Dilambangkan dengan   karena ini merupakan ideal dua sisi yang dihasilkan (lihat di bawah) oleh kesatuan  . Juga, himpunan   hanya terdiri dari identitas aditif 0R membentuk ideal dua sisi yang disebut nol ideal dan dilambangkan dengan  .[note 1] Setiap ideal (kiri, kanan atau dua sisi) berisi ideal nol dan terdapat dalam unit ideal.
  • Sebuah ideal (kiri, kanan atau dua sisi) yang bukan unit ideal disebut ideal proper (karena ini adalah himpunan bagian proper).[4] Catatan: ideal kiri   tepat jika dan hanya jika tidak mengandung elemen unit, karena jika   adalah elemen unit, maka   adalah  . Biasanya ada banyak cita-cita yang tepat. Faktanya, jika R adalah bidang miring, maka   adalah satu-satunya ideal dan sebaliknya: artinya, gelanggang bukan nol R adalah bidang miring jika   adalah satu-satunya ideal kiri (atau kanan). (Bukti: jika   adalah elemen bukan nol, maka ideal kiri utama   (lihat di bawah) adalah bukan nol dan dengan  ; yaitu,   untuk beberapa   bukan nol. Demikian pula,   untuk beberapa   bukan nol. Kemudian  .)
  • Bilangan bulat genap membentuk ideal dengan gelanggang   dari semua bilangan bulat; dilambangkan dengan  . Karena jumlah dari semua bilangan bulat genap, dan hasil kali dari bilangan bulat apa pun dengan bilangan bulat genap juga genap. Demikian pula, himpunan semua bilangan bulat habis dibagi dengan bilangan bulat tetap n adalah ideal dilambangkan  .
  • Himpunan dari semua polinomial dengan koefisien riil yang habis dibagi oleh polinomial x2 + 1 adalah ideal di atas semua polinomial.
  • Himpunan semua n-oleh-n matriks yang baris terakhirnya nol membentuk ideal kanan di ring semua matriks n-oleh-n. Ini bukanlah ideal kiri. Himpunan dari semua matriks n-oleh-n yang kolom terakhirnya nol membentuk ideal kiri tetapi bukan ideal kanan.
  • Gelanggang   dari semua fungsi kontinu s f dari   ke   di bawah perkalian pointwise berisi ideal dari semua fungsi kontinu f sehingga f(1) = 0. Ideal lain dalam   diberikan oleh fungsi-fungsi yang menghilang untuk argumen yang cukup besar, yaitu fungsi berkelanjutan f yang memiliki bilangan L > 0 seperti f(x) = 0 adalah Kesalahan ekspresi: Karakter tanda baca "'" tidak dikenal. > L.
  • Sebuah gelanggang disebut gelanggang sederhana jika bukan nol dan tidak memiliki dua sisi ideal selain  . Jadi, bidang miring sederhana dan gelanggang komutatif sederhana adalah bidang. Gelanggang matriks di atas bidang miring adalah gelanggang sederhana.

Jenis idealSunting

Untuk menyederhanakan deskripsi, semua gelanggang diasumsikan komutatif. Kasus non-komutatif dibahas secara rinci di artikel masing-masing.

Ideal penting karena mereka muncul sebagai inti dari homomorfisme gelanggang dan memungkinkan seseorang untuk menentukan gelanggang faktor. Berbagai jenis ideal dipelajari karena dapat digunakan untuk membangun berbagai jenis gelanggang faktor.

Operasi idealSunting

Jumlah dan produk ideal didefinisikan sebagai berikut. Untuk   dan  , kiri (resp. kanan) ideal dari sebuah gelanggang R , jumlahnya adalah

 ,

yang merupakan ideal kiri (resp. kanan), dan, jika   are two-sided,

 

yaitu produk adalah ideal yang dihasilkan oleh semua produk dalam bentuk ab dengan a adalah   dan b adalah  .

Catatan   adalah ideal kiri (resp. kanan) terkecil keduanya   and   (atau satuan  ), sedangkan produk   terkandung   dan  .

Hukum distributif berlaku untuk ideal dua sisi  ,

  •  ,
  •  .

Jika suatu perkalian diganti dengan sebuah persimpangan, hukum distributif parsial berlaku:

 

dimana kesetaraan jika   dengan   atau  .

Catatan: Jumlah dan ideal; dengan dua operasi sebagai gabung dan temu, himpunan semua ideal dari sebuah gelanggang membentuk sebuah lengkap kisi modular. Kisi pada umumnya bukan merupakan kisi distributif. Tiga operasi perpotongan, penjumlahan (atau penggabungan), dan hasil kali membuat himpunan ideal dari sebuah gelanggang komutatif menjadi sebuah kuantale.

Contoh operasi idealSunting

Dalam  

 

maka   adalah himpunan bilangan bulat yang dapat dibagi oleh   dan  .

Maka   dan  . Sehingga,

  •   dan  
  •  
  •  
  •   sedangkan  

Dalam perhitungan pertama, kita melihat pola umum untuk mengambil jumlah dari dua ideal yang dihasilkan hingga, itu adalah ideal yang dihasilkan oleh penyatuan generator mereka. Dalam tiga yang terakhir kami mengamati bahwa produk dan persimpangan setuju setiap kali dua ideal berpotongan dalam ideal nol. Perhitungan ini dapat diperiksa menggunakan Macaulay2.[6][7][8]

Radikal dari gelanggangSunting

Ideal muncul secara alamiah dalam pembelajaran modul, terutama yang berbentuk radikal.

Untuk kesederhanaan, kami bekerja dengan gelanggang komutatif tetapi, dengan beberapa perubahan, hasilnya juga berlaku untuk gelanggang non-komutatif.

Karena R menjadi gelanggang komutatif. Menurut definisi, ideal primitif dari R adalah annihilator dari a (bukan nol) sederhana modul- R . Radikal Jacobson   of R adalah persimpangan dari semua cita-cita primitif. Sama halnya,

 

Memang, jika   adalah modul sederhana dan x adalah elemen bukan nol di M , maka   dan  , berarti   adalah ideal maksimal. Sebaliknya jika   adalah ideal maksimal, maka   adalah annihilator dari modul sederhana  . Ada juga penokohan lain (buktinya tidak sulit):

 

Untuk gelanggang yang tidak perlu komutatif, ini adalah fakta umum bahwa   adalah elemen unit jika dan hanya jika   adalah (lihat link) dan karakterisasi terakhir ini menunjukkan bahwa radikal dapat didefinisikan baik dari segi ideal primitif kiri dan kanan.

Fakta sederhana namun penting berikut (lemma Nakayama) adalah bawaan dari definisi radikal Jacobson: jika M adalah modul sehingga  , maka M tidak menerima submodul maksimal, karena jika ada submodul maksimal  ,   dan  , sebuah kontradiksi. Karena bukan nol modul finiter hingga menerima submodul maksimal, khususnya, yang satu memiliki:

Jika   dan M dibuat tak terbatas  

Ideal maksimal adalah ideal utama dan begitulah yang dimilikinya

 

dimana perpotongan di sebelah kiri disebut nilradikal dari R . Ternyata,   juga himpunan elemen nilpoten dari R .

Jika R adalah gelanggang Artinian, maka   adalah nilpoten dan  . (Bukti: catatan pertama DCC menyiratkan   untuk beberapa n . Jika (DCC)   adalah ideal minimal yang terakhir, lalu  . Itu adalah,  , kontradiksi.)

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Beberapa penulis menyebut nol dan ideal unit gelanggang R itu ideal trivial dari R .

ReferensiSunting

  1. ^ a b John Stillwell (2010). Mathematics and its history. hlm. 439. 
  2. ^ Harold M. Edwards (1977). Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. hlm. 76. 
  3. ^ Everest G., Ward T. (2005). An introduction to number theory. hlm. 83. 
  4. ^ Lang 2005, Section III.2
  5. ^ Karena gelanggang komutatif sederhana adalah bidang. Lihat Lam (2001). A First Course in Noncommutative Rings. hlm. 39. 
  6. ^ "ideals". www.math.uiuc.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-01-16. Diakses tanggal 2017-01-14. 
  7. ^ "sums, products, and powers of ideals". www.math.uiuc.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-01-16. Diakses tanggal 2017-01-14. 
  8. ^ "intersection of ideals". www.math.uiuc.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2017-01-16. Diakses tanggal 2017-01-14. 

Pranala luarSunting