Ukuran (matematika)

  1. ALIH Templat:Periksa terjemahan
.

Dalam matematika, konsep ukuran umumnya merujuk pada pengertian seperti "panjang", "luas" dan "volume".

Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Selain itu ukuran juga penting dalam teori peluang.

DefinisiSunting

Misalkan   ruang terukur, yaitu   suatu himpunan dan   sebuah aljabar σ pada  . Fungsi   sebuat ukuran, jika memenuhi sifat-sifat:

  1.   untuk semua  .
  2.  .
  3.   untuk semua   yang saling asil ( yaitu   untuk semua  ).

Anggota dari   dikatakan himpunan terukur.

Selain itu,   disebut ruang ukuran.

ContohSunting

Ukuran LebesgueSunting

Ukuran Lebesgue di   suatu perumuman dari panjang. Panjang interval   atau   didefinisikan  . Sekarang misalkan   suatu himpunan bagian. Keluarga interval   dikatakan meliputi   apabila  . Ukuran luar   didefinisikan sebagai

 

Tepatnya,   yang didefinisikan untuk semua himpunan bagian   dari   bukan ukuran karena itu tidak memenuhi sifat-3 definisi ukuran.

Himpunan   dikatakan terukur (atau terukur Lebesgue) apabila untuk setiap   terdapat himpunan tertutup   dan himpunan terbuka   sedemikian sehingga  . Sekarang misalkan   adalah keluarga himpunan terukur. Tepatnya,   aljabar sigma dan fungsi   yang dibatasi pada   ukuran. Ukuran itu dikenal sebagai Ukuran Lebesgue (di  ) dan dilambangkan dengan  .

Ukuran penghitunganSunting

Misalnya   suatu himpunan dan   himpunan kunasa, yakni   keluarga semua himpunan bagian dari  . Jelas,   aljabar sigma. Untuk  , nilai   definisikan sebagai jumlah unsur himpunan  . Fungsi itu   dikenal sebagai ukuran penghitungan di  .

ReferensiSunting