Variabel (matematika)

Di dalam matematika, variabel atau peubah adalah nilai yang dapat berubah dalam suatu cakupan soal atau himpunan operasi yang diberikan. Sebaliknya, konstanta adalah nilai yang tidak berubah, meskipun sering kali tidak diketahui atau tidak ditentukan.^[1] Konsep konstanta dan variabel adalah fundamental bagi banyak cabang matematika dan terapannya. Suatu "konstanta" dalam konteks ini janganlah dikaburkan dengan konstanta matematika, yakni suatu bilangan tertentu yang tidak bergantung kepada cakupan soal yang diberikan.

Variabel terikat dan variabel bebas

Variabel kemudian dibedakan menjadi variabel terikat dan variabel bebas. Variabel bebas dipandang sebagai masukan (input) bagi suatu sistem dan dapat diambil pada sembarang nilai secara bebas. Variabel terikat adalah nilai-nilai yang berubah sebagai dampak dari perubahan nilai-nilai lain dalam sistem tersebut.^[2]

Ketika satu nilai sepenuhnya ditentukan oleh nilai lain, maka nilai yang ditentukan itu disebut fungsi dari nilai lain. Dalam kasus ini nilai fungsi merupakan variabel terikat dan nilai lain adalah variabel bebas. Notasi f(x) digunakan untuk nilai fungsi f dengan x menyatakan variabel bebas. Sama halnya, notasi seperti f(x, y, z) dapat digunakan ketika beberapa variabel bebas tidak sama satu dengan yang lainnya.^[3]

Hubungan variabel dan variasi

Bervariasi, dalam konteks variabel matematika, tidak melulu berarti perubahan seiring waktu, melainkan bergantung pada konteks di mana variabel digunakan. Variabel dapat berkonteks langsung pada ekspresi di mana variabel muncul, seperti dalam kasus variabel perjumlahan atau variabel-variabel yang merancang argumen suatu fungsi terdefinisi. Konteks variabel dapat juga lebih luas dari itu, misalnya ketika variabel digunakan untuk merancang suatu nilai yang muncul dalam sebuah hipotesis diskusi. Dalam beberapa kasus, justru tidak bervariasi sama sekali, dan nama-nama alternatif yang dapat digunakan untuk menggantikan "variabel", di antaranya: parameter merupakan nilai yang tetap (atau dibikin tetap) dalam pernyataan soal yang sedang dikaji (meskipun nilainya dapat diketahui secara tersurat), anu merupakan variabel yang diperkenalkan untuk mewakili suatu nilai konstanta yang pada mulanya tidak diketahui, tetapi menjadi diketahui dengan menyelesaikan (beberapa) persamaan untuknya, dan tak-tertentu merupakan lambang yang tidak harus mewakili hal lain selain nilai abstrak yang dikandungnya. Dalam semua kasus ini, istilah "variabel" sering kali masih digunakan, karena aturan untuk manipulasi lambang-lambang ini sama saja.

Contoh

Jika seseorang mendefinisikan fungsi f dari bilangan real ke bilangan real oleh

f(x)=x^{2}+\sin(x+4)\

maka x adalah variabel yang mewakili argumen fungsi yang didefinisikan, yang dapat berupa bilangan real mana saja. Dalam identitas

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}\

variabel i adalah variabel perjumlahan yang pada gilirannya merancang bilangan bulat 1, 2, ..., n (di sini i juga merupakan indeks karena variasinya berada pada himpunan nilai-nilai diskret) sedangkan n adalah parameter (karena n tidak bervariasi dalam rumus ini).

Dalam teori polinom, sebuah polinom berderajat 2 pada umumnya ditulis sebagai ax² + bx + c, di mana a, b, dan c disebut koefisien (mereka, yakni semua parameter yang ditinjau soal, dianggap tidak berubah), sedangkan x disebut variabel. Pada saat mempelajari polinom ini untuk fungsi polinomnya, x mewakili argumen fungsi. Pada saat mempelajari polinom sebagai objek di dalamnya, x dikatakan tak-tertentu, dan sering kali ditulis dengan huruf kapital untuk menunjukkan status ini.

Rumus-rumus fisika seperti E = mc² atau PV = nRT (persamaan gas ideal) tidak melibatkan ide matematika tentang variabel, karena kuantitas E, m, P, V, n, dan T digunakan untuk merancang sifat-sifat tertentu (energi, massa, tekanan, volume, kuantitas, suhu) sistem fisika.

Notasi

Di dalam matematika, nama-nama lambang-tunggal untuk variabel adalah norma. Setelah abad ke-17, filsuf dan matematikawan Prancis, René Descartes, abjad-abjad awal alfabet, misalnya a, b, dan c biasa digunakan untuk konstanta; dan akhir alfabet, misalnya x, y, z, dan t digunakan untuk variabel.^[1] Dalam dokumen matematika, variabel dan konstanta biasanya dicetak miring.^[4]

Cabang-cabang dan terapan-terapan tertentu matematika biasanya memiliki kesepakatan penamaan tertentu untuk variabel. Variabel-variabel yang memiliki peran atau arti serupa sering kali disajikan dalam abjad-abjad yang berdekatan. Misalnya, tiga sumbu ruang koordinat tiga dimensi telah disepakati sebagai x, y, dan z, sedangkan variabel acak di dalam statistika biasanya ditulis X, Y, dan Z. Di dalam fisika, nama-nama variabel ditentukan luas oleh besaran yang mereka wakili, namun terdapat berbagai kesepakatan yang muncul.

Suatu kesepakatan yang kerap diikuti dalam peluang dan statistika adalah penggunaan X, Y, dan Z untuk nama-nama variabel acak, dan variabel-variabel itu digantikan oleh x, y, z untuk keluaran sampel atau pengamatan variabel-variabel acak itu. Lambang-lambang yang ditulis belakangan (abjad kecil) merupakan variabel matematika biasa. Lambang-lambang yang ditulis lebih awal (abjad besar) sebenarnya mewakili fungsi-fungsi dari ruang sampel (himpunan keluaran atomik) dari percobaan ke bilangan asli (biasanya demikian). Kesepakatan lainnya yang kadang-kadang digunakan di dalam statistika adalah pelambangan nilai-nilai populasi statistik tertentu menggunakan abjad kecil (atau besar) Yunani, sedangkan taksiran kuantitas-kuantitas berbasis sampel itu dilambangkan oleh abjad besar (atau kecil) dari alfabet latin.

Pengenalan umum

Variabel digunakan dalam kalimat terbuka. Misalnya, dalam rumus x + 1 = 5, x adalah variabel yang mewakili bilangan "anu". Variabel sering kali dinyatakan dalam abjad Yunani atau Romawi dan dapat digunakan dengan lambang khusus lainnya.

Di dalam matematika, variabel bersifat penting, karena variabel membolehkan hubungan kuantitatif dinyatakan menurut cara yang umum. Jika kita dipaksa menggunakan nilai yang sebenarnya, maka hubungan tersebut hanya akan berlaku dalam himpunan situasi yang lebih sempit. Misalnya:

Menyatakan definisi matematika untuk menentukan suatu bilangan yang besarnya dua kali lipat dari SEMBARANG bilangan berhingga lainnya:

2(x) = x + x atau x * 2

Kini, hal-hal yang perlu kita lakukan untuk menentukan kelipatan dua dari suatu bilangan adalah mengganti x dengan sembarang bilangan yang kita kehendaki.

2(1) = 1 + 1 = 2 atau 1 * 2
2(3) = 3 + 3 = 6 atau 3 * 2
2(55) = 55 + 55 = 110 atau 55 * 2
dst.

Jadi, dalam contoh ini, variabel x adalah "pengganti" untuk setiap bilangan. Satu hal yang penting yang kita asumsikan adalah bahwa nilai x tidak berubah, meskipun kita tidak tahu bilangan apakah x itu. Tetapi dalam beberapa algoritme, jelas, akan mengubah x, dan terdapat beraneka cara untuk melambangkannya jika kita maksudkan sebagai nilai-lama, nilai-baru (dan seterusnya), pada umumnya tidak diketahui, tetapi mungkin (misalnya) bilangan yang lebih kecil daripada yang lain.

Kesepakatan penamaan

Matematika punya banyak kesepakatan. Yang berikut ini adalah beberapa di antaranya. Banyak lambang digunakan atas dasar kesepakatan yang berbeda-beda, tetapi mereka sebenarnya dapat mewakili suatu konstanta atau fungsi tertentu, alih-alih variabel.

a, b, c, dan d (kadang-kadang diteruskan sampai e atau f) biasanya memainkan peran yang serupa atau dibuat untuk mewakili ide-ide paralel dalam suatu konteks matematika. Mereka sering kali menyatakan konstanta atau koefisien, misalnya dalam polinom atau persamaan, yang sepenuhnya tak-tentu.
a₀, a₁, a₂, ... memainkan peran yang serupa, akan terlalu banyak huruf yang diperlukan manakala disajikan dalam huruf-huruf tunggal, dan ini mustahil.
f dan g (kadang-kadang h) biasanya menyatakan fungsi.
i, j, dan k (kadang-kadang l atau h) sering kali digunakan untuk menyatakan bilangan bulat atau indeks dalam keluarga berindeks.
a_i sering kali digunakan untuk menyatakan suku ke-i pada suatu barisan.
l dan w sering kali diguanakan untuk menyatakan panjang dan lebar suatu bangun.
m dan n biasanya melambangkan bilangan bulat dan biasanya memainkan peran serupa atau dibuat untuk menyatakan ide-ide paralel dalam suatu konteks matematika, misalnya tentang dimensi.
- n biasanya menyatakan bilangan bulat yang tetap, seperti banyaknya benda atau derajat persamaan.
p, q, dan r biasanya memainkan peran serupa atau dibuat untuk menyatakan ide-ide paralel dalam suatu konteks matematika.
- p dan q sering kali menyatakan bilangan prima atau bilangan prima relatif, atau, dalam statistika, probabilitas.
r sering kali menyatakan suku sisa atau modulus.
r, s, dan t biasanya memainkan peran serupa atau dibuat untuk menyatakan ide-ide paralel dalam suatu konteks matematika.
u dan v biasanya memainkan peran serupa atau dibuat untuk menyatakan ide-ide paralel dalam suatu konteks matematika, misalnya menyatakan verteks (teori graf).
w, x, y, dan z biasanya memainkan peran serupa atau dibuat untuk menyatakan ide-ide paralel dalam suatu konteks matematika, misalnya menyatakan 'anu' dalam suatu persamaan.
x, y, dan z biasanya menyatakan tiga sistem koordinat Kartesius untuk suatu titik dalam geometri Euklides. Seterusnya, mereka digunakan untuk menamai sumbu yang bersesuaian.
- z biasanya menyatakan bilangan kompleks, atau, dalam statistika, variat acak normal.
$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\theta$ , dan $\phi$ digunakan untuk menyatakan ukuran sudut.
$\epsilon$ digunakan untuk menyatakan sembarang bilangan positif yang cukup kecil.
- $\epsilon$ dan $\delta$ digunakan untuk menyatakan dua bilangan positif yang cukup kecil.
$\lambda$ digunakan untuk nilai eigen.
$\sigma$ sering kali melambangkan jumlah, atau, dalam statistika, simpangan baku.

Lihat pula

Referensi

^ ^a ^b Edwards Art. 4
^ Edwards Art. 5
^ Edwards Art. 6
^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0, 9781615302192, page 71

J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. hlm. 1 ff.

[E004-1] Edwards Art. 4

[2] Edwards Art. 5

[3] Edwards Art. 6

[4] William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0, 9781615302192, page 71

[1]

[2]

[3]

[4]