Grup hasil bagi

Kelompok siklik dari "sisa" modulo n

Grup hasil bagi adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu dengan bantuan sebagai pembagi normal terbentuk. Maka dilambangkan dengan dan merupakan himpunan dari kelas minor.

Sebuah kohimpunan dengan akar uniti

KonstruksiSunting

Elemen-elemen dari   adalah kelas minor sehubungan dengan  , maka

 .

Koneksi batin   didefinisikan sebagai:

 .

Dengan bantuan properti pembagi normal   seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan   adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari   hingga  . Elemen netral dari   adalah   dan elemen terbalik ke   diberikan  .

Produk   setuju dengan produk kompleks   pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup   dari sebuah grup   adalah pembagi normal, jika untuk semua   persamaan  .

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor   tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari  . Angka ini disebut Indeks oleh   pada   dan dengan   ditunjuk. Jika   adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange  .

Bilangan bulat genap dan ganjilSunting

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka   sisa dari   saat membagi dengan  .
Kemudian   jika   adalah genap dan   when   adalah ganjil.
Menurut definisi  , inti dari  ,
ker( )  , adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka   ker( ).
Kemudian   adalah subgrup, karena identitasnya di  , which is  , dalam  ,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika   dan   berada di  ,   dalam   (penutupan)
dan jika   genap,   juga genap dan   berisi inversnya.
Menetapkan     / H  sebagai   ke  
dan   / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri;   / H .
Dengan cara yang telah kami tentukan  ,   adalah   jika   ganjil dan   jika   genap.
Jadi,   adalah isomorfisme dari   / H ke  .

Quotients dari grup LieSunting

Jika   adalah grup lie dan   adalah subgrup Lie normal  , hasil bagi   /   juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli   memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama   -bundel), dengan ruang dasar   /   dan serat  .

Untuk subgruo Lie non-normal  , ruang   /   dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana   bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup   ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen   /   banding  .[1]

Sifat universal dari grup hasil bagiSunting

Jika   adalah pembagi normal dari  , maka pemetaannya adalah   dengan   dengan kernel   a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup   mit   persis satu grup homomorfisme   mit   existiert.

Contoh: jika   proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka   Homomorfisme grup. Lalu grup lie   pada inti   dan   menghasilkan:

 

 

 

 

 

 .

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second Edition, theorem 21.17

ReferensiSunting