Gelanggang bertingkat

gelanggang sehingga grup aditif yang mendasarinya adalah jumlah langsung grup abelian

Dalam matematika, khususnya aljabar abstrak, gelanggang bertingkat adalah gelanggang sehingga grup aditif yang mendasarinya adalah jumlah langsung grup abelian dari . Himpunan indeks biasanya himpunan bilangan bulat nonnegatif atau himpunan bilangan bulat, namun berupa monoid. Dekomposisi jumlah langsung biasanya disebut sebagai gradasi atau bertingkat.

Sebuah modul bertingkat didefinisikan sama (lihat di bawah untuk definisi yang tepat). Ini menggeneralisasi ruang vektor bertingkat. Modul bertingkat yang juga merupakan gelanggang bertingkat disebut aljabar bertingkat. Gelanggang bertingkat juga dapat dilihat sebagai aljabar- bertingkat.

Asosiatif tidak penting (bahkan tidak digunakan sama sekali) dalam definisi gelanggang bertingkat; karenanya, gagasan tersebut juga berlaku untuk aljabar non-asosiatif; misalnya, apabila mempertimbangkan aljabar Lie bertingkat.

Sifat pertama

sunting

Umumnya, himpunan indeks dari gelanggang bertingkat seharusnya sebagai himpunan bilangan bulat non-negatif, kecuali ditentukan lain secara eksplisit. Ini adalah kasus dalam artikel ini.

Gelanggang bertingkat adalah gelanggang yang didekomposisi sebagai jumlah langsung

 

dari grup aditif, sehingga

 

untuk semua bilangan bulat non-negatif   dan  .

Sebuah elemen bukan nol dari   dikatakan sebagai homogen dari derajat  . Menurut definisi penjumlahan langsung, setiap elemen bukan nol   dari   apabila ditulis secara unik sebagai penjumlahan   dimana setiap   adalah 0 atau homogen dengan derajat  .   bukan nol adalah komponen homogen dari  .

Beberapa sifat dasar adalah:

  •   adalah subgelanggang dari  ; khususnya, identitas perkalian   adalah elemen homogen dengan derajat nol.
  • Untuk sembarang  ,   adalah modul- dua sisi, dan dekomposisi jumlah langsungnya adalah jumlah langsung modul- .
  •   adalah aljabar-  asosiatif.

Sebuah ideal   adalah homogen, jika untuk setiap  , komponen homogen   juga termasuk   (ekuivalen, jika itu adalah submodul bergradasi dari  ; lihat § Modul bertingkat). Perpotongan antara ideal homogen   dengan   adalah submodul-  dari   yang disebut bagian homogen derajat   dari  . Suatu ideal homogen adalah jumlah langsung dari bagian-bagiannya yang homogen.

Jika   adalah ideal homogen dua sisi dalam  , maka   juga merupakan gelanggang bertingkat, dekomposisi-nya sebagai

 

dimana   adalah bagian homogen dari derajat   dari  .

Contoh dasar

sunting
  • Setiap gelanggang (bukan bertingkat) R diberikan oleh bertingkat dengan  , dan   untuk i ≠ 0. Ini disebut trivial bertingkat pada R.
  • Gelanggang polinomial   dinilai oleh derajat: itu adalah jumlah langsung dari   yang terdiri dari polinomial homogen derajat i.
  • Misalkan S adalah himpunan semua elemen homogen bukan nol dalam ranah integral R bertingkat. Maka lokalisasi dari R pada S adalah gelanggang-  bertingkat.
  • Jika I ideal dalam gelanggang komutatif R, maka   adalah gelanggang bertingkat yang disebut gelanggang asosiatif bertingkat dari R sepanjang I; geometris tersebut adalah gelanggang koordinat dari kerucut normal sepanjang subvarietas didefinisikan oleh I.
  • Misalkan X adalah ruang topologi, Hi(X; R) grup kohomologi i dengan koefisien dalam gelanggang-R. Maka H*(X; R), gelanggang kohomologi X dengan koefisien dalam R, adalah gelanggang bertingkat grup dasar   dengan struktur perkalian yang diberikan oleh produk cangkir.

Modul bertingkat

sunting

Gagasan yang sesuai dalam teori modul adalah gagasan modul bertingkat, yaitu modul kiri atas gelanggang bertingkat R, sebagai

 

dan

 

Contoh: sebuah ruang vektor bertingkat adalah contoh modul bertingkat atas medan (dengan medan memiliki trivial bertingkat).

Contoh: sebuah gelanggang bertingkat adalah modul bertingkat atas sendiri. Suatu ideal dalam gelanggang bertingkat adalah homogen jika dan hanya jika adalah submodul bertingkat. annihilator dari modul bertingkat adalah ideal homogen.

Contoh: Diberikan ideal I dalam gelanggang komutatif R dan modul- R dari M, jumlah langsung   adalah modul bertingkat atas gelanggang bertingkat terkait  .

Morfisme   antara modul bertingkat, yang disebut morfisme bertingkat, adalah morfisme modul dasar; yaitu,  . Submodul bertingkat adalah submodul yang merupakan modul bertingkat dalam sendiri dan sedemikian rupa sehingga inklusi teori himpunan adalah morfisme modul bertingkat. Secara eksplisit, modul bertingkat N adalah submodul bertingkat M jika dan hanya jika adalah submodul M dan memenuhi  . Kernel dan citra morfisme modul bertingkat adalah submodul bertingkat.

Catatan: Untuk memberikan morfisme bergradasi dari gelanggang bertingkat ke gelanggang bertingkat lain dengan citra yang terletak di tengah sama dengan memberikan struktur aljabar bertingkat ke gelanggang terakhir.

Diberikan modul bertingkat  , putaran-  dari   adalah modul bertingkat yang ditentukan oleh  . (lih. gemal putaran Serre dalam geometri aljabar.)

Maka M dan N sebagai modul bertingkat. Jika   adalah morfisme modul, maka f dikatakan memiliki derajat d dengan  . Sebuah turunan eksterior bentuk diferensial dalam geometri diferensial adalah contoh dari morfisme yang memiliki derajat 1.

Invarian modul bertingkat

sunting

Diberikan modul bertingkat M atas gelanggang bertingkat komutatif R, apabila mengasosiasikan deret pangkat formal  :

 

(dengan asumsi   berhingga.) Ini disebut deret Hilbert–Poincaré dari M.

Modul bertingkat dikatakan kebangkitan hingga jika modul yang mendasarinya kebangkitan secara berhingga. Generator merupakan homogen dengan mengganti generator dengan bagian homogen.

Misalkan R adalah gelanggang polinomial  , k sebuah medan, dan M sebuah modul bertingkat yang dihasilkan secara hingga atas. Maka fungsi   disebut juga sebagai fungsi Hilbert dari M. Fungsi ini bertepatan dengan polinomial bernilai bilangan bulat untuk n besar yang disebut polinomial Hilbert dari M.

Aljabar bertingkat

sunting

Sebuah aljabar A atas gelanggang R adalah aljabar bertingkat jika dinilai sebagai gelanggang.

Dalam kasus biasa dimana gelanggang R tidak dinilai (khususnya jika R adalah medan), diberikan penilaian trivial (setiap elemen R adalah derajat 0). Jadi,   dan potongan bertingkat   adalah modul R.

Dalam kasus dimana gelanggang R juga merupakan gelanggang bertingkat, apabila memerlukan

 

Dengan kata lain, kita membutuhkan A untuk menjadi modul kiri bertingkat atas R.

Contoh aljabar bertingkat yang umum dalam matematika:

Aljabar bertingkat banyak digunakan dalam aljabar komutatif dan geometri aljabar, aljabar homologis, dan topologi aljabar. Salah satu contohnya adalah hubungan erat antara polinomial homogen dan varietas proyeksi (lih. gelanggang koordinat homogen).

Gelanggang bertingkat-G dan aljabar

sunting

Definisi di atas telah digeneralisasikan ke gelanggang yang dinilai menggunakan monoid G sebagai himpunan indeks. Sebuah gelanggang bertingkat-G R adalah gelanggang dengan dekomposisi jumlah langsung

 

sebagai

 

Elemen R yang terletak dalam   untuk beberapa   dikatakan sebagai homogen dari bertingkat i.

Gagasan "gelanggang bertingkat" didefinisikan sebelumnya sekarang menjadi hal yang sama dengan gelanggang bertingkat  , di mana   adalah monoid dari bilangan bulat non-negatif bawah penjumlahan. Definisi untuk modul dan aljabar bertingkat juga diperluas dengan mengganti himpunan indeks   dengan monoid G.

Catatan:

Contoh:

Antikomutatif

sunting

Beberapa gelanggang bertingkat (atau aljabar) memiliki struktur antikomutatif. Gagasan ini menggunakan homomorfisme dari monoid bertingkat sebagai monoid aditif  , medan dengan dua elemen. Secara khusus, monoid bertanda terdiri dari pasangan   dimana   adalah monoid dan   adalah homomorfisme dari monoid aditif. Sebuah antikomutatif gelanggang bertingkat-  adalah gelanggang A sebagai dinilai Γ sedemikian rupa sehingga:

 

untuk semua elemen homogen x dan y.

Contoh

sunting
  • Sebuah aljabar eksterior adalah contoh aljabar antikomutatif, dinilai sehubungan dengan struktur   dimana   adalah peta hasil bagi.
  • Sebuah aljabar superkomutatif (terkadang disebut gelanggang asosiatif komutatif miring) adalah hal yang sama dengan antikomutatif aljabar bertingkat- , dimana   adalah identitas endomorfisme dari struktur aditif  .

Monoid bertingkat

sunting

Secara intuitif, sebuah monoid bertingkat adalah himpunan bagian dari gelanggang bertingkat,  , yang dihasilkan oleh  , tanpa menggunakan bagian aditif. Artinya, himpunan elemen dari monoid bertingkat adalah  .

Secara formal, monoid bertingkat[1] adalah monoid  , dengan fungsi bertingkat   sehingga  . Perhatikan bahwa bertingkat   harus 0. Beberapa penulis meminta lebih lanjut bahwa   ketika m bukanlah identitas.

Dengan asumsi bertingkat elemen non-identitas bukan nol, jumlah elemen bertingkat n digunakan   dimana g adalah kardinalitas dari himpunan pembangkit G dari monoid. Oleh karena itu jumlah elemen gradasi n atau kurang   (untuk  ) atau  . Setiap elemen tersebut adalah produk dari paling banyak elemen n dari G, dan hanya   produk seperti itu ada. Demikian pula, elemen identitas tidak ditulis sebagai produk dari dua elemen non-identitas. Artinya, tidak ada pembagi satuan dalam monoid bergradasi seperti itu.

Deret pangkat indeks oleh monoid bertingkat

sunting

Gagasan ini memungkinkan untuk memperluas gagasan gelanggang deret pangkat. Alih-alih memiliki keluarga indeks sebagai  , indeks keluarga biasanya berupa monoid bertingkat, dengan asumsi bahwa jumlah elemen derajat n hingga, untuk setiap bilangan bulat n.

Secara lebih formal, biarkan   menjadi semigelanggang arbitrer dan   sebuah monoid bertingkat. Kemudian   menunjukkan semigelanggang dari deret pangkat dengan koefisien dalam K indeks oleh R. Elemen-elemennya adalah fungsi dari R hingga K. Jumlah dua elemen   didefinisikan berdasarkan titik, itu adalah fungsi   ke  . Dan hasil kali adalah fungsi   ke jumlah tak hingga  . Jumlah ini didefinisikan dengan benar (yaitu, hingga) karena, untuk setiap m, hanya sejumlah pasangan hingga (p, q) sedemikian pq = m.

Contoh

sunting

Dalam teori bahasa formal, diberikan alfabet A, monoid bebas kata atas A apabila sebagai monoid bertingkat, dimana bertingkat kata adalah panjangnya.

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Sakarovitch, Jacques (2009). "Part II: The power of algebra". Elements of automata theory. Diterjemahkan oleh Thomas, Reuben. Cambridge University Press. hlm. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177. 

Matsumura, H. (1989). "Teori 5 Dimensi Gelanggang bertingkat S3, fungsi Hilbert dan fungsi Samuel". Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 8. Diterjemahkan oleh Reid, M. (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71712-1. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-29. Diakses tanggal 2021-06-26.