Kernel (aljabar linear)

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, kernel dari sebuah peta linear (linear map) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol. Artinya, bagi suatu peta linear L yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W, kernel dari L adalah himpunan semua elemen v dari V yang memenuhi persamaan L(v) = 0, dengan 0 menandakan vektor nol dari W. Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

$\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}$

Kernel juga dikenal dengan istilah null space atau nullspace.

Sifat

Kernel dan citra dari sebuah pemetaan linear L.

Kernel $L$ adalah suatu subruang linear dari domain $V$. Dalam peta linear $L\colon V\to W$, dua elemen di $V$ akan memiliki citra yang sama di $W$, jika dan hanya jika selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel $L$; atau secara matematis:

$L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0}$.

Hal ini mengakibatkan citra dari $L$ isomorfik ke ruang hasil bagi $V$ dengan kernel; atau secara matematis:

$\mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L)$.

Pada kasus $V$ memiliki dimensi yang hingga, hubungan ini menyiratkan teorema rank-nullity:

$\dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V)$.

Dalam hubungan ini, istilah rank merujuk pada besar dimensi citra dari $L$, sedangkan nullity merujuk pada besar dimensi kernel dari $L$.

Jika $V$ adalah ruang hasil kali dalam, hasil bagi $V/\ker(L)$ dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam $V$ dari $\ker(L)$. Ini adalah perumuman untuk operator linear dari ruang baris, atau kocitra dari sebuah matriks.

Representasi sebagai perkalian matriks

Misalkan peta linear $A$ diwakili oleh matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\!\times \!n$, dengan entri-entri berasal dari lapangan $K$ (biasanya $\mathbb {R}$ atau $\mathbb {C}$), dan beroperasi pada vektor kolom $\mathbf {x}$ dengan $n$ komponen di atas lapangan $K$. Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan $\mathbf {Ax} =\mathbf {0}$, dengan $\mathbf {0}$ adalah vektor nol. Dimensi dari kernel $A$ disebut nolitas dari $A$. Dengan menggunakan notasi himpunan, kernel $A$ dapat ditulis sebagai

$$\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|\mathbf {Ax} =\mathbf {0} \right\}.$$

Lebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan sistem persamaan linear:

$A\mathbf {x} =\mathbf {0} \iff {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$

Dengan demikian, anggota dari kernel dari $\mathbf {A}$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

Sifat subruang

Kernel dari matriks $A$ (dengan ordo $m\!\times \!n$) atas medan $K$ adalah subruang linear dari $\mathbf {K} ^{n}$. Artinya, kernel dari $A$, himpunan $\operatorname {Null} (A)$, mengikuti tiga sifat berikut:

1. $\operatorname {Null} (A)$ selalu memiliki vektor nol, karena $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$.
2. Jika $x\in \operatorname {Null} (A)$ dan $y\in \operatorname {Null} (A)$, maka $x+y\in \operatorname {Null} (A)$. Sifatnya mengikuti distributisi perkalian matriks terhadap penambahan.
3. Jika $x\in \operatorname {Null} (A)$ dan $c$ adalah sebuah skalar $c\in K$, maka $c\mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)$, karena $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Ruang baris matriks

Artikel utama: Rank–nullity theorem

Hasil kali $A\mathbf {x}$ ini dapat ditulis dalam bentuk darab bintik atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:

$A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}$.

Dalam hal ini, $\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m}$ menunjukkan baris matriks $A$. Ini mengikuti $\mathbf {x}$ adalah kernel dari $A$ , jika dan hanya jika $\mathbf {x}$ adalah ortogonal (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari $A$(karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari $0$).

Ruang baris, atau kocitra, dari matriks $A$ adalah rentang dari baris vektor $A$. Dengan alasan di atas, kernel dari $A$ adalah komplemen ortogonal untuk ruang baris. Artinya, vektor $\mathbf {x}$ terletak pada kernel dari $A$, jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris $A$.

Dimensi ruang baris $A$ disebut peringkat dari $A$, dan dimensi dari kernel $A$ disebut pembatalan $A$. Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan teorema

$\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n$.

Ruang null kiri

Ruang null kiri, atau kokernel, matriks $A$ terdiri dari semua kolom vektor $\mathbf {x}$ sehingga $\mathbf {x} ^{\top }A=\mathbf {0} ^{\top }$, di mana $\top$ menunjukkan transpose dari matriks. Ruang null kiri $A$ adalah sama dengan kernel $A^{\top }$. Ruang null kiri $A$ adalah pelengkap ortogonal untuk ruang kolom dari $A$, dan ganda ke kokernel dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri $A$ adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks A.

Sistem non-homogen persamaan linear

Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ atau ${\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$

Jika $\mathbf {u}$ dan $\mathbf {v}$ adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka

$A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} \,$

Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ terletak di kernel $A$.

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap $\mathbf {v}$ dan elemen sebarang dari kernel. Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ adalah

$\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\}$,

Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ adalah terjemahan geometri dari kernel $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ oleh vektor $\mathbf {v}$.

Contoh

• Jika $L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, maka kernel dari $L$ adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan linear. Seperti yang diilustrasikan di atas, jika $L$ adalah operator:

$L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$

maka kernel $L$ adalah serangkaian solusi untuk persamaan

${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$

• Misalkan $C[0,1]$ melambangkan ruang vektor semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval $[0,1]$, dan mendefinisikan $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$ berdasarkan kaidah

$L(f)=f(0.3)$,

maka kernel $L$ terdiri dari semua fungsi $f\in C[0,1]$ untuk $f(0.3)=0$.

• Misalkan $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, dan misalkan $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$ adalah operator diferensial:

$D(f)={\frac {df}{dx}}$,

maka kernel $D$ terdiri dari semua fungsi dalam $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua fungsi konstan.

• Misalkan $\mathbb {R} ^{\infty }$ menjadi hasil kali langsung dari banyaknya salinan $\mathbb {R}$, dan misalkan $s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty }$ adalah operator diferensiasi.

$s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ),$

maka kernel $s$ adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor $(x_{1},0,0,\dots )$.

• Jika $V$ adalah ruang hasil kali dalam dan $W$ adalah subruang, maka kernel dari proyeksi (aljabar linear) $V\to W$ adalah komplemen ortogonal untuk $W$ di $V$.

Perhitungan oleh eliminasi Gauss

Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh eliminasi Gauss.

Untuk tujuan ini, mengingat matriks $A$, ordo $m\!\times \!n$, membangun baris pertama ditambah matriks $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]$, di mana $I$ adalah matriks identitas $n\!\times \!n$.

Komputasi bentuk eselon kolom oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$. Basis dari kernel $A$ terdiri dalam kolom taknol $C$ sehingga kolom yang sesuai $B$ adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah nol.

Sebagai contoh, misalkan:

$A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right]$, maka $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]$.

Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks

$\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right]$

Tiga kolom terakhir B adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari C,

$\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$

adalah basis dari kernel $A$.

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]$ dikurangi ke $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan $P$ sehingga $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ dengan $B$ dalam bentuk eselon kolom. Jadi $AP=B$, $IP=C$, dan $AC=B$. Sebuah kolom vektor $v$ termasuk dalam kernel $A$ (yaitu $Av=0$) jika dan hanya $Bw=0,$ di mana $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ Ketika $B$ berada di bentuk eselon kolom, $Bw=0$, jika dan hanya jika entri bukan nol dari $w$ berpadanan dengan kolom nol dari $B.$ Mengalikan dengan $C$, salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya $v=Cw$ adalah kombinasi linear dari kolom yang sesuai dari $C.$

Komputasi titik mengambang

Untuk matriks yang entri-nya bilangan titik kambang, masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat bilangan titik kambang: karena kesalahan perbatasan, matriks titik kambang telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.

Lihat pula

• Kernel (aljabar)
• Himpunan nol
• Sistem persamaan linear
• Ruang baris dan kolom
• Reduksi baris
• Empat subruang dasar
• Ruang vektor
• Subruang linear
• Operator linear
• Ruang fungsi
• Altrnatif Fredholm

Bibliografi

Lihat pula: Aljabar linear § Bacaan lebih lanjut

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0. 
• Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7. 
• Meyer, Carl D. (2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 15 Agustus 2020. 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3. 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International. 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall. 
• Lang, Serge (1987). Linear Algebra. Springer. ISBN 9780387964126. 
• Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Kernel of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix