Kernel (aljabar linear)

sebuah peta linear (Linear map) atau Pemetaan linier, dan dikenal juga dengan istilah null space atau nullspace, adalah set atau himpunan vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol

Dalam matematika, khususnya aljabar linear dan fungsi analisis, kernel dari sebuah peta linear (linear map) adalah himpunan semua vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol.[1][2] Artinya, bagi suatu peta linear L yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W, kernel dari L adalah himpunan semua elemen v dari V yang memenuhi persamaan L(v) = 0, dengan 0 menandakan vektor nol dari W.[3] Hal ini dinyatakan secara simbolis sebagai:

Kernel juga dikenal dengan istilah null space atau nullspace.

SifatSunting

 
Kernel dan citra dari sebuah pemetaan linear L.

Kernel   adalah suatu subruang linear dari domain  .[3][4] Dalam peta linear  , dua elemen di   akan memiliki citra yang sama di  , jika dan hanya jika selisih kedua elemen tersebut juga terletak di dalam kernel  ; atau secara matematis:

 .

Hal ini mengakibatkan citra dari   isomorfik ke ruang hasil bagi   dengan kernel; atau secara matematis:

 .

Pada kasus   memiliki dimensi yang hingga, hubungan ini menyiratkan teorema rank-nullity:

 .

Dalam hubungan ini, istilah rank merujuk pada besar dimensi citra dari  , sedangkan nullity merujuk pada besar dimensi kernel dari  .[5]

Jika   merupakan ruang hasil kali dalam, hasil bagi   dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam   dari  . Ini adalah perumuman untuk operator linear dari ruang baris, atau kocitra dari sebuah matriks.

Representasi sebagai perkalian matriksSunting

Misalkan peta linear   diwakili oleh matriks   berukuran  , dengan entri-entri berasal dari lapangan   (biasanya   atau  ), dan beroperasi pada vektor kolom   dengan   komponen di atas lapangan  . Kernel dari peta linear ini adalah himpunan solusi dari persamaan  , dengan   adalah vektor nol. Dimensi dari kernel   disebut nolitas dari  . Dengan menggunakan notasi himpunan, kernel   dapat ditulis sebagai

 
Lebih lanjut, persamaan matriks tersebut setara dengan sistem persamaan linear:
 

Dengan demikian, anggota dari kernel dari   adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan di atas.

Sifat subruangSunting

Kernel dari matriks   (dengan ordo  ) atas medan   adalah subruang linear dari  . Artinya, kernel dari  , himpunan  , mengikuti tiga sifat berikut:

  1.   selalu memiliki vektor nol, karena  .
  2. Jika   dan  , maka  . Sifatnya mengikuti distributisi perkalian matriks terhadap penambahan.
  3. Jika   dan   adalah sebuah skalar  , maka  , karena  .

Ruang baris matriksSunting

Hasil kali   ini dapat ditulis dalam bentuk darab bintik atau titik hasil kali dari vektor sebagai berikut:

 .

Dalam hal ini,   menunjukkan baris matriks  . Ini mengikuti   adalah kernel dari   , jika dan hanya jika   adalah ortogonal (atau tegak lurus) untuk setiap baris vektor dari  (karena ortogonal didefinisikan sebagai memiliki titik hasil kali dari  ).

Ruang baris, atau kocitra, dari matriks   adalah rentang dari baris vektor  . Dengan alasan di atas, kernel dari   adalah komplemen ortogonal untuk ruang baris. Artinya, vektor   terletak pada kernel dari  , jika dan hanya jika tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris  .

Dimensi ruang baris   disebut peringkat dari  , dan dimensi dari kernel   disebut pembatalan  . Jumlah ini terkait dengan urutan pembatalan teorema

 .[5]

Ruang null kiriSunting

Ruang null kiri, atau kokernel, matriks   terdiri dari semua kolom vektor   sehingga  , di mana   menunjukkan transpose dari matriks. Ruang null kiri   adalah sama dengan kernel  . Ruang null kiri   adalah pelengkap ortogonal untuk ruang kolom dari  , dan ganda ke kokernel dari transformasi linear terkait. Kernel, Ruang baris, kolom ruang, dan ruang kosong di sebelah kiri   adalah empat subruang fundamental terkait dengan matriks A.

Sistem non-homogen persamaan linearSunting

Kernel juga memainkan peran dalam solusi untuk sistem non-homogen persamaan linear:

  atau  

Jika   dan   adalah dua kemungkinan solusi untuk persamaan di atas, maka

 

Dengan demikian, perbedaan dua solusi untuk persamaan   terletak di kernel  .

Ini mengikuti bahwa setiap solusi untuk persamaan   dapat dinyatakan sebagai jumlah solusi tetap   dan elemen sebarang dari kernel. Artinya, solusi yang ditetapkan ke persamaan   adalah

 ,

Secara geometrik, ini mengatakan bahwa solusi diatur untuk   adalah terjemahan geometri dari kernel   oleh vektor  .

ContohSunting

  • Jika  , maka kernel dari   adalah solusi yang ditetapkan ke sistem persamaan linear. Seperti yang diilustrasikan di atas, jika   adalah operator:
 
maka kernel   adalah serangkaian solusi untuk persamaan
 
  • Misalkan   melambangkan ruang vektor semua fungsi bernilai riil kontinu pada interval  , dan mendefinisikan   berdasarkan kaidah
 ,
maka kernel   terdiri dari semua fungsi   untuk  .
  • Misalkan   menjadi ruang vektor dari banyaknya fungsi terdiferensialkan  , dan misalkan   adalah operator diferensial:
 ,
maka kernel   terdiri dari semua fungsi dalam   yang turunannya adalah nol, yaitu himpunan semua fungsi konstan.
  • Misalkan   menjadi hasil kali langsung dari banyaknya salinan  , dan misalkan   adalah operator diferensiasi.
 
maka kernel   adalah subruang berdimensi satu yang terdiri dari semua vektor  .

Perhitungan oleh eliminasi GaussSunting

Sebuah basis aljabar linear dari kernel matriks dapat dihitung oleh eliminasi Gauss.

Untuk tujuan ini, mengingat matriks  , ordo  , membangun baris pertama ditambah matriks  , dimana   adalah matriks identitas  .

Komputasi bentuk eselon kolom oleh eliminasi Gauss (atau metode lain yang sesuai), akan mendapatkan matriks  . Basis dari kernel   terdiri dalam kolom taknol   sehingga kolom yang sesuai   adalah matriks atau kolom nol.

Sebenarnya, perhitungan dapat dihentikan segera setelah matriks atas di bentuk eselon kolom: sisa perhitungan terdiri dalam mengubah dasar ruang vektor yang dihasilkan oleh kolom yang bagian atas adalah nol.

Sebagai contoh, misalkan:

 , maka  .

Tempatkan bagian atas di bentuk eselon kolom dengan operasi kolom pada seluruh matriks

 

Tiga kolom terakhir B adalah kolom nol. Oleh karena itu, tiga vektor terakhir dari C,

 

adalah basis dari kernel  .

Bukti bahwa metode menghitung kernel: karena operasi kolom sesuai dengan pasca-perkalian oleh matriks terbalikkan, fakta bahwa   dikurangi ke   berarti bahwa ada ada matriks terbalikkan   sehingga   dengan   dalam bentuk eselon kolom. Jadi  ,  , dan  . Sebuah kolom vektor   termasuk dalam kernel   (yaitu  ) jika dan hanya   dimana   Ketika   berada di bentuk eselon kolom,  , jika dan hanya jika entri bukan nol dari   berpadanan dengan kolom nol dari   Mengalikan dengan  , salah satunya dapat disimpulkan bahwa ini adalah kasus jika dan hanya   adalah kombinasi linear dari kolom yang sesuai dari  

Komputasi titik mengambangSunting

Untuk matriks yang entri-nya bilangan titik kambang, masalah komputasi kernel masuk akal hanya untuk matriks yang jumlah baris sama dengan peringkat bilangan titik kambang: karena kesalahan perbatasan, matriks titik kambang telah hampir selalu peringkat penuh, bahkan ketika peringkat matriks pendekatannya jauh lebih kecil.[6]

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Null". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2019-08-01. Diakses tanggal 15 Agustus 2020. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Kernel". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020. 
  3. ^ a b "Kernel (Nullspace) | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020. 
  4. ^ Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang's lecture.
  5. ^ a b Weisstein, Eric W. "Rank-Nullity Theorem". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 15 Agustus 2020. 
  6. ^ "Archived copy" (PDF). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-08-29. Diakses tanggal 15 Agustus 2020. 

BibliografiSunting

Pranala luarSunting