Magma (aljabar)

jenis dasar dari struktur aljabar dengan operasi biner

Dalam aljabar abstrak, magma, biner[1] atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Struktur aljabar antara magma dan grup.

Sejarah dan istilahSunting

Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937).[2] Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah groupoid adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.[3]

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):

"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata groupoid digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah magma digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."[4]

Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.[5]

DefinisiSunting

Magma adalah himpunan   dengan operasi   dimana elemen   ke elemen  . Simbol   adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi   menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai magma atau aksioma ketertutupan):

Untuk  ,   dan  , hasil operasi   adalah  .

Dan dalam notasi matematika:

 .

Jika   operasi parsial, maka   disebut magma parsial[6] atau disebut juga grupoid parsial.[6][7]

Morfisme magmaSunting

Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi,  , memetakan magma   ke magma  , yang dimana operasi biner:

 

dimana   dan   menunjukkan operasi biner pada   dan  .

Notasi dan kombinatorikSunting

Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi   dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:

 

Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran,  . Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:

 .

Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis  . Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis  , di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi   dari operator magma dari bilangan Catalan,  . Jadi,  , yang mana hanya pernyataan   dan   adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi:  :  ,  ,  ,  , dan  .

Terdapat   magma dengan elemen   adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).[8]

Magma bebasSunting

Magma bebas,  , himpunan   adalah magma yang digunakan untuk   (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada   dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:

 
 
 

  dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif   dengan tanda kurung dipertahankan.[9]

Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen  . Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal, jika   adalah fungsi dari   ke magma,  , maka perluasan dari   ke morfisme magma,  

 .

Jenis magmaSunting

Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:

Grup semu
Magma di mana pembagian selalu mungkin
Gelung
Kuasigrup dengan elemen identitas
Semigrup
Magma yang dimana operasinya asosiatif
Semigrup balikan
Semigrup dengan balikan.
Semikisi
Semigrup operasinya komutatif dan idempoten
Monoid
Semigrup dengan elemen identitas
Grup
Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
Grup Abelian
Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.

Penggolongan berdasarkan sifatSunting

Struktur grup
Totalitasα Asosiatif Identitas Invers Komutativitas
Semigrupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grupoid Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Kuasigrup Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Magma Unital Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Loop Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Semigrup invers Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan Dibutuhkan
Grup Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Tidak dibutuhkan
Grup Abelian Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan Dibutuhkan
Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Magma  , dengan  , disebut

Medial
Jika identitas,  
Semimedial kiri
Jika identitas,  
Semimedial kanan
Jika identitas,  
Semimedial
Jika keduanya semimedial kiri dan kanan
Distributif kiri
Jika memenuhi identitas,  
Distributif kanan
Jika memenuhi identitas,  
Autodistributif
Jika keduanya distributif kiri dan kanan
Komutatif
Jika memenuhi identitas,  
Idempoten
Jika identitas,  
Unipoten
Jika identitas,  
Nolpoten
Jika identitas,  [10]
Alternatif
Jika identitas   dan  
Daya-asosiatif
Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
Fleksibel
jika  
Semigrup, atau asosiatif
Jika identitas,  
Uner kiri
Jika identitas,  
Uner kanan
Jika identitas,  
Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nol
Jika identitas,  
Unital
Jika memiliki elemen identitas

Kategori magmaSunting

Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan funktor inklusi: HimpunanMed ↪ Mag sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi:  .

Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.

Karena himpunan satuan   adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.[11]

PerampatanSunting

Lihat grup n-er.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics 
  2. ^ Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362 
  3. ^ Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1 
  4. ^ Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7 
  5. ^ Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5 
  6. ^ a b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9 
  7. ^ Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1 
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld. 
  9. ^ Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5 
  10. ^ Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60 
  11. ^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0. 

Bacaan lebih lanjutSunting