Aljabar non-asosiatif

Sebuah aljabar non-asosiatif^[1] (atau aljabar distributif) adalah aljabar atas medan dimana operasi perkalian biner tidak beranggap sebagai asosiatif. Artinya, struktur aljabar A adalah aljabar non-asosiatif atas medan K jika itu adalah ruang vektor atas K dan kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-K pada A × A → A yang mungkin atau mungkin tidak asosiatif. Contohnya termasuk aljabar Lie, aljabar Jordan, oktonion, dan ruang Euklidean tiga dimensi kelengkapan dengan operasi produk silang. Karena perkalian tidak mengasumsikan asosiatif, penggunaan tanda kurung untuk menunjukkan urutan perkalian diperlukan. Misalnya, ekspresi (ab)(cd), (a(bc))d dan a(b(cd)) apabila semua dapat menghasilkan jawaban yang berbeda.

Meskipun penggunaan "non-asosiatif" ini berarti bahwa asosiatif tidak mengasumsikan, itu tidak berarti bahwa asosiatif tidak diperbolehkan. Dengan kata lain, "non-asosiatif" berarti "belum tentu asosiatif", seperti halnya "non-komutatif" berarti "belum tentu komutatif" untuk gelanggang nonkomutatif.

Aljabar adalah unital atau uniter jika memiliki elemen identitas e dengan ex = x = xe untuk semua x dalam aljabar. Misalnya, oktonion adalah unital, namun aljabar Lie bukan unital.

Struktur aljabar nonasosiatif dari A dipelajari dengan asosiasi dengan aljabar asosiatif lain yang merupakan subaljabar dari aljabar penuh endomorfisme-K pada A sebagai ruang vektor K. Dua seperti itu adalah aljabar turunan dan (asosiatif) aljabar menyelubungi, yang terakhir dalam arti "aljabar asosiatif terkecil A".

Lebih umum, beberapa penulis mempertimbangkan konsep aljabar non-asosiatif atas gelanggang komutatif R: Sebuah modul-R kelengkapan dengan operasi perkalian biner bilinear-R.^[2] Jika sebuah struktur memenuhi semua aksioma gelanggang selain dari asosiatif (misalnya, aljabar R), maka secara alami adalah sebuah aljabar- $\mathbb {Z}$ , jadi beberapa penulis menyebut aljabar- $\mathbb {Z}$ non-asosiatif sebagai gelanggang non-asosiatif.

Aljabar dengan identitas sunting

Struktur seperti gelanggang dengan dua operasi biner dan tidak ada batasan lain adalah kelas yang luas, yang terlalu umum untuk dipelajari. Untuk alasan ini, jenis aljabar non-asosiatif yang terkenal memenuhi identitas, atau sifat, yang menyederhanakan perkalian. Ini termasuk yang berikut.

Sifat biasa sunting

Misalkan $x$ , $y$ dan $z$ menyatakan elemen arbitrer aljabar $A$ atas medan $K$ . Misal pangkat ke bilangan bulat positif (bukan nol) didefinisikan secara rekursif oleh $x 1 ≝ x$ dan lainnya $x n +1 ≝ x n x$ ^[3] (pangkat kanan) atau $x n +1 ≝ xx n$ ^[4]^[5] (pangkat kiri) tergantung pada penulis.

Unital: apabila terdapat elemen $e$ sehingga $ex = x = xe$ ; dalam hal ini kita dapat mendefinisikan $x 0 ≝ e$ .
Asosiatif: $(xy) z = x (yz)$ .
Komutatif: $xy = yx$ .
Antikomutatif:^[6] $xy = - yx$ .
Identitas Jacobi:^[6]^[7] $(xy) z + (yz) x + (zx) y = 0$ atau $x (yz) + y (zx) + z (xy) = 0$ tergantung pada penulisannya.
Identitas Jordan:^[8]^[9] $(x 2 y) x = x 2 (yx)$ atau $(xy) x 2 = x (yx 2)$ tergantung pada penulisannya.
Alternatif:^[10]^[11]^[12] $(xx) y = x (xy)$ (alternatif kiri) dan $(yx) x = y (xx)$ (alternatif kanan).
Fleksibel:^[13]^[14] $(xy) x = x (yx)$ .
Asosiasi pangkat ke-n pada n ≥ 2: x^n−kx^k = xⁿ untuk semua bilangan bulat k sehingga 0 < k < n.
- Asosiatif pangkat ketiga: $x 2 x = xx 2$ .
- Asosiatif pangkat keempat: $x 3 x = x 2 x 2 = xx 3$ (bandingkan dengan komutatif pangkat empat di bawah).
Asosiatif pangkat:^[4]^[5]^[15]^[16]^[3] subaljabar yang dihasilkan oleh elemen adalah asosiatif, yaitu, asosiasi pangkat $n$ untuk semua $n \geq 2$ .
Pangkat komutatif ke-n pada n ≥ 2: x^n−kx^k = x^kx^n−k untuk semua bilangan bulat k sehingga 0 < k < n.
- Komutatif pangkat ketiga: $x 2 x = xx 2$ .
- Komutatif pangkat keempat: $x 3 x = xx 3$ (bandingkan dengan asosiatif pangkat keempat atas).
Komutatif pangkat: subaljabar yang dihasilkan oleh elemen apa pun adalah komutatif, yaitu, komutatif pangkat $n$ untuk semua $n \geq 2$ .
Nilpoten dari indeks $n \geq 2$ : produk dari elemen $n$ , dalam asosiasi, tidak untuk beberapa elemen $n -1$ : $x 1 x 2 \dots x n = 0$ dan terdapat elemen $n -1$ sehingga $y 1 y 2 \dots y n -1 \neq 0$ untuk asosiasi tertentu.
Nol dari indeks $n \geq 2$ : pangkat asosiatif dan $x n = 0$ dan apabila elemen $y$ sehingga $y n -1 \neq 0$ .

Relasi diantara sifat sunting

Untuk $K$ dari karakteristik:

Asosiatif adalah alternatif.
Setiap dua dari tiga sifat alternatif kiri, alternatif kanan, dan fleksibel, adalah yang ketiga.
- Jadi, alternatif adalah fleksibel.
Alternatif adalah identitas Jordan.^[17]^[a]
Komutatif adalah fleksibel.
Antikomutatif adalah fleksibel.
Alternatif adalah pangkat asosiatif.^[a]
Fleksibel adalah pangkat asosiatif ketiga.
Pangkat asosiatif kedua dan pangkat komutatif kedua adalah hakiki.
Pangkat asosiatif ketiga dan pangkat komutatif ketiga adalah ekuivalen.
Pangkat asosiasi ke- $n$ adalah pangkat komutatif ke- $n$ .
Nok dari indeks 2 adalah antikomutatif.
Nol dari indeks 2 adalah identitas Jordan.
Nilpoten indeks 3 adalah identitas Jacobi.
Nilpoten indeks $n$ adalah nol indeks $N$ dengan $2 \leq N \leq n$ .
Unital dan nol indeks $n$ bukan kompatibel.

Jika $K \neq GF(2)$ atau $dim(A) \leq 3$ :

Identitas Jordan dan komutatif adalah pangkat asosiatif.^[18]^[19]^[20]^{[butuh rujukan]}

Jika $char(K) \neq 2$ :

Alternatif kanan adalah pangkat asosiatif.^[21]^[22]^[23]^[24]
- Demikian pula, alternatif kiri adalah kekuatan asosiatif.
Unital dan identitas Jordan adalah fleksibel.^[25]
Identitas Jordan dan fleksibel adalah pangkat asosiatif.^[26]
Komutatif dan antikomutatif adalah nilpoten indeks 2.
Antikomutatif adalah nol dari indeks 2.
Unital dan antikomutatif bukan kompatibel.

Jika $char(K) \neq 3$ :

Unital dan identitas Jacobi bukan kompatibel.

Jika $char(K) \notin {2,3,5$ }:

Komutatif dan $x 4 = x 2 x 2$ (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan pangkat asosiatif keempat) adalah pangkat asosiatif.^[27]

Jika $char(K) = 0$ :

Pangkat asosiatif ketiga dan $x 4 = x 2 x 2$ (salah satu dari dua identitas yang mendefinisikan pangkat asosiatif keempat) adalah pangkat asosiatif.^[28]

Jika $char(K) = 2$ :

Komutatif dan antikomutatif adalah ekuivalen.

Asosiasi sunting

Asosiasi pada A adalah peta multilinear-K $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ diberikan oleh

[x, y, z] = (xy) z - x (yz)

.

Ini mengukur tingkat nonasosiasi dari $A$ , dan apabila digunakan untuk mengekspresikan beberapa kemungkinan identitas yang dipenuhi oleh A.

Misalkan $x$ , $y$ dan $z$ menyatakan elemen aljabar sebarang.

Asosiatif: $[x, y, z] = 0$ .
Alternatif: [x,x,y] = 0 (alternatif kiri) dan [y,x,x] = 0 (alternatif kanan).
- Ini menyatakan bahwa mengubah dua suku maka hal itu mengubah tanda: $[x, y, z] = -[x, z, y] = -[z, y, x] = -[y, x, z]$ ; konversinya hanya berlaku jika $char(K) \neq 2$ .
Fleksibel: [x,y,x] = 0.
- Ini menyatakan bahwa mengubah istilah ekstrem mengubah tanda: $[x, y, z] = -[z, y, x]$ ; konversinya hanya berlaku jika $char(K) \neq 2$ .
Identitas Jordan:^[29] $[x 2, y, x] = 0$ atau $[x, y, x 2] = 0$ tergantung penulisannya.
Pangkat asosiatif ketiga: $[x, x, x] = 0$ .

Inti adalah himpunan elemen yang terkait dengan semua elemen lain:^[30] yaitu, $n$ di A sebagai

[n, A, A] = [A, n, A] = [A, A, n] = {0}

.

Inti adalah subgelanggang asosiatif dari A.

Pusat sunting

Pusat dari A adalah himpunan elemen komutatif dan terkait dengan suatu di A, yang merupakan perpotongan dari

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

dengan inti. Ternyata untuk elemen C(A) cukup dua himpunan $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ adalah $\{0\}$ untuk yang ketiga juga merupakan himpunan nol.

Contoh sunting

Ruang Eullides R³ dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar yang antikomutatif dan bukan asosiatif. Produk silang juga memenuhi identitas Jacobi.
Aljabar Lie adalah aljabar yang memenuhi antikomutatifitas dan identitas Jacobi.
Aljabar medan vektor pada lipatan terdiferensiasi (jika K adalah R atau bilangan kompleks C) atau sebuah variasi aljabar (untuk umum K);
Aljabar Jordan adalah aljabar yang memenuhi hukum komutatif dan identitas Jordan.^[9]
Setiap aljabar asosiatif memunculkan aljabar Lie dengan menggunakan komutator sebagai tanda kurung Lie. Sebenarnya setiap aljabar Lie apabila dikonstruksi dengan cara ini, atau merupakan subaljabar dari aljabar Lie yang dibuat dengan cara ini.
Setiap aljabar asosiatif pada medan karakteristik selain 2 memunculkan aljabar Jordan dengan mendefinisikan perkalian yang baru x*y = (xy+yx)/2. Berbeda dengan kasus aljabar Lie, tidak semua aljabar Jordan dapat dibuat dengan cara ini. Apabila yang bisa disebut khusus.
Aljabar alternatif adalah aljabar yang memenuhi sifat alternatif. Contoh aljabar alternatif yang paling penting adalah oktonion (aljabar atas riil), dan generalisasi oktonion atas medan lain. Semua aljabar asosiatif adalah alternatif. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif riil dengan dimensi hingga, aljabar pembagian (lihat di bawah) adalah riil, kompleks, kuaternion dan oktonion.
Pangkat aljabar asosiatif, adalah aljabar yang memenuhi pangkat identitas asosiatif. Contohnya mencakup semua aljabar asosiatif, semua aljabar alternatif, aljabar Jordan pada medan selain GF(2) (lihat bagian sebelumnya), dan sedenion.
Aljabar kuaternion hiperbolik atas R, yang merupakan aljabar eksperimental sebelum adopsi ruang Minkowski untuk relativitas khusus.

Lebih banyak kelas aljabar:

Aljabar bertingkat. Ini mencakup sebagian besar aljabar yang menarik bagi aljabar multilinear, seperti aljabar tensor, aljabar simetris, dan aljabar eksterior pada ruang vektor yang diberikan. Aljabar bertingkat dapat digeneralisasi ke aljabar filter.
Aljabar pembagian, dimana terdapat invers perkalian. Aljabar pembagian alternatif dimensi hingga atas medan bilangan riil diklasifikasikan. Ini adalah bilangan riil (dimensi 1), bilangan kompleks (dimensi 2), kuaternion (dimensi 4), dan oktonion (dimensi 8). Kuaternion dan oktonion tidak komutatif. Dari aljabar ini, semuanya asosiatif kecuali oktonion.
Aljabar kuadrat, yang mengartikan xx = re + sx, untuk beberapa elemen r dan s di medan dasar, dan e unital untuk aljabar. Contohnya mencakup semua aljabar alternatif dimensi hingga, dan aljabar matriks riil 2-kali-2. Hingga isomorfisme, satu-satunya alternatif, aljabar riil kuadrat tanpa pembagi nol adalah riil, kompleks, kuaternion, dan oktonion.
Aljabar Cayley–Dickson (dimana K adalah R), yang dimulai dengan:
- C (aljabar komutatif dan asosiatif);
- Kuaternion H (aljabar asosiatif);
- oktonion (sebuah aljabar alternatif);
- sedenion, dan barisan tak hingga dari aljabar Cayley-Dickson (pangkat aljabar asosiatif).
Aljabar hiperkompleks adalah aljabar unital R dimensi-hingga, sehingga termasuk aljabar Cayley-Dickson dan lainnya.
Aljabar Poisson dipertimbangkan dalam kuantisasi geometrik. Apabila membawa dua perkalian, mengubahnya menjadi aljabar komutatif dan aljabar Lie dengan cara yang berbeda.
Aljabar genetik adalah aljabar non-asosiatif yang digunakan dalam genetika matematika.
Sistem rangkap tiga

Sifat sunting

Ada beberapa sifat yang mungkin familiar dari teori gelanggang, atau dari aljabar asosiatif, yang tidak selalu benar untuk aljabar non-asosiatif. Tidak seperti kasus asosiatif, elemen dengan invers perkalian (dua sisi) mungkin juga merupakan pembagi nol. Misalnya, semua elemen bukan-nol dari sedenion memiliki invers dua sisi, namun beberapa di antaranya juga merupakan pembagi nol.

Aljabar non-asosiatif bebas sunting

Aljabar non-asosiatif bebas pada himpunan X atas medan K didefinisikan sebagai aljabar dengan basis yang terdiri dari semua monomial non-asosiatif, produk formal hingga dari elemen kurung penahan X. Produk dari monomial u, v dengan (u)(v). Aljabar adalah unital apabila jika mengambil produk kosong sebagai monomial.^[31]

Kurosh membuktikan bahwa setiap subaljabar dari aljabar non-asosiatif bebas adalah bebas.^[32]

Aljabar terkait sunting

Sebuah aljabar A atas medan-K khususnya adalah ruang vektor-K dan dengan demikian apabila mempertimbangkan aljabar asosiatif End_K(A) dari endomorfisme ruang vektor linear-K dari A. Apabila mengasosiasikan struktur aljabar pada A dua subaljabar End_K(A), aljabar turunan dan (asosiatif) sampul aljabar.

Aljabar turunan sunting

Sebuah turunan pada A adalah peta-D dengan sifat

D(x\cdot y)=D(x)\cdot y+x\cdot D(y)\ .

Turunan pada A sebagai bentuk subruang Der_K(A) di End_K(A). Komutator dari dua turunan merupakan turunan terus, sehingga braket Lie diberikan oleh Der_K(A) struktur aljabar Lie.^[33]

Sampul aljabar sunting

Ada peta linear L dan R yang melekat pada setiap elemen a dari aljabar A:^[34]

L(a):x\mapsto ax;\ \ R(a):x\mapsto xa\ .

Sampul aljabar asosiatif atau aljabar perkalian dari A adalah aljabar asosiatif yang dihasilkan oleh peta linear kiri dan kanan.^[29]^[35] pusat dari A adalah pemusat aljabar sampul dalam aljabar endomorfisme End_K(A). Sebuah aljabar adalah pusat jika pusat massanya terdiri dari kelipatan skalar K dari identitas.^[16]

Beberapa identitas yang mungkin dipenuhi oleh aljabar non-asosiatif dapat dengan mudah diekspresikan dalam bentuk peta linear:^[36]

Komutatif: setiap L(a) sama dengan kesesuaian R(a);
Asosiatif: setiap L komuter dengan R;
Fleksibel: setiap L(a) komutatif dengan R(a);
Jordan: setiap L(a) komutatif dengan R(a²);
Alternatif: setiap L(a)² = L(a²) dan juga untuk kanan.

Wakilan kuadrat Q didefinisikan oleh:^[37]

Q(a):x\mapsto 2a\cdot (a\cdot x)-(a\cdot a)\cdot x\

atau ekuivalen

Q(a)=2L^{2}(a)-L(a^{2})\ .

Artikel tentang aljabar sampul universal menjelaskan konstruksi kanonik dari aljabar sampul, serta teorema tipe-PBW. Untuk aljabar Lie, aljabar bungkus tersebut memiliki sifat universal, yang tidak berlaku, secara umum, untuk aljabar non-asosiatif. Contoh yang terkenal adalah, aljabar Albert, aljabar Jordan tidak menyampul oleh konstruksi kanonik dari aljabar yang sampul untuk aljabar Jordan.

Lihat pula sunting

Daftar aljabar
Magma non-asosiatif komutatif, yang memunculkan aljabar non-asosiatif

Kutipan sunting

^ Schafer 1995, Bab 1.
^ Schafer 1995, hlm. 1.
^ ^a ^b Albert 1948a, hlm. 553.
^ ^a ^b Schafer 1995, hlm. 30.
^ ^a ^b Schafer 1995, hlm. 128.
^ ^a ^b Schafer 1995, hlm. 3.
^ Okubo 2005, hlm. 12.
^ Schafer 1995, hlm. 91.
^ ^a ^b Okubo 2005, hlm. 13.
^ Schafer 1995, hlm. 5.
^ Okubo 2005, hlm. 18.
^ McCrimmon 2004, hlm. 153.
^ Schafer 1995, hlm. 28.
^ Okubo 2005, hlm. 16.
^ Okubo 2005, hlm. 17.
^ ^a ^b Knus et al. 1998, hlm. 451.
^ Rosenfeld 1997, hlm. 91.
^ Jacobson 1968, hlm. 36.
^ Schafer 1995, hlm. 92.
^ Kokoris 1955, hlm. 710.
^ Albert 1948b, hlm. 319.
^ Mikheev 1976, hlm. 179.
^ Zhevlakov et al. 1982, hlm. 343.
^ Schafer 1995, hlm. 148.
^ Bremner, Murakami & Shestakov 2013, hlm. 18.
^ Bremner, Murakami & Shestakov 2013, hlm. 18–19, fact 6.
^ Albert 1948a, hlm. 554, lemma 4.
^ Albert 1948a, hlm. 554, lemma 3.
^ ^a ^b Schafer 1995, hlm. 14.
^ McCrimmon 2004, hlm. 56.
^ Rowen 2008, hlm. 321.
^ Kurosh 1947, hlm. 237–262.
^ Schafer 1995, hlm. 4.
^ Okubo 2005, hlm. 24.
^ Albert 2003, hlm. 113.
^ McCrimmon 2004, hlm. 57.
^ Koecher 1999, hlm. 57.

Catatan sunting

^ ^a ^b Ini mengikuti dari teorema Artin.

Referensi sunting

Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Structure of algebras. American Mathematical Society Colloquium Publ. 24 (edisi ke-Corrected reprint of the revised 1961). New York: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901.
Albert, A. Adrian (1948a). "Power-associative rings". Transactions of the American Mathematical Society. 64: 552–593. doi:10.2307/1990399  . ISSN 0002-9947. JSTOR 1990399. MR 0027750. Zbl 0033.15402.
Albert, A. Adrian (1948b). "On right alternative algebras". Annals of Mathematics. 50: 318–328. doi:10.2307/1969457. JSTOR 1969457.
Bremner, Murray; Murakami, Lúcia; Shestakov, Ivan (2013) [2006]. "Chapter 86: Nonassociative Algebras" (PDF). Dalam Hogben, Leslie. Handbook of Linear Algebra (edisi ke-2nd). CRC Press. ISBN 978-1-498-78560-0.
Herstein, I. N., ed. (2011) [1965]. Some Aspects of Ring Theory: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Varenna (Como), Italy, August 23-31, 1965. C.I.M.E. Summer Schools. 37 (edisi ke-reprint). Springer-Verlag. ISBN 3-6421-1036-3.
Jacobson, Nathan (1968). Structure and representations of Jordan algebras. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-821-84640-7. MR 0251099.
Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001.
Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian, ed. The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Lecture Notes in Mathematics. 1710. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513.
Kokoris, Louis A. (1955). "Power-associative rings of characteristic two". Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 6 (5): 705–710. doi:10.2307/2032920  .
Kurosh, A.G. (1947). "Non-associative algebras and free products of algebras". Mat. Sbornik. 20 (62). MR 0020986. Zbl 0041.16803.
McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras. Universitext. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b97489. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001. Errata.
Mikheev, I.M. (1976). "Right nilpotency in right alternative rings". Siberian Mathematical Journal. 17 (1): 178–180. doi:10.1007/BF00969304.
Okubo, Susumu (2005) [1995]. Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511524479. ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001.
Rosenfeld, Boris (1997). Geometry of Lie groups. Mathematics and its Applications. 393. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002.
Rowen, Louis Halle (2008). Graduate Algebra: Noncommutative View. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-8408-5.
Schafer, Richard D. (1995) [1966]. An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601.
Zhevlakov, Konstantin A.; Slin'ko, Arkadii M.; Shestakov, Ivan P.; Shirshov, Anatoly I. (1982) [1978]. Rings that are nearly associative. Diterjemahkan oleh Smith, Harry F. ISBN 0-12-779850-1.

[FOOTNOTESchafer1995Bab_1-1] Schafer 1995, Bab 1.

[FOOTNOTESchafer19951-2] Schafer 1995, hlm. 1.

[FOOTNOTEAlbert1948a553-3] Albert 1948a, hlm. 553.

[FOOTNOTESchafer199530-4] Schafer 1995, hlm. 30.

[FOOTNOTESchafer1995128-5] Schafer 1995, hlm. 128.

[FOOTNOTESchafer19953-6] Schafer 1995, hlm. 3.

[FOOTNOTEOkubo200512-7] Okubo 2005, hlm. 12.

[FOOTNOTESchafer199591-8] Schafer 1995, hlm. 91.

[FOOTNOTEOkubo200513-9] Okubo 2005, hlm. 13.

[FOOTNOTESchafer19955-10] Schafer 1995, hlm. 5.

[FOOTNOTEOkubo200518-11] Okubo 2005, hlm. 18.

[FOOTNOTEMcCrimmon2004153-12] McCrimmon 2004, hlm. 153.

[FOOTNOTESchafer199528-13] Schafer 1995, hlm. 28.

[FOOTNOTEOkubo200516-14] Okubo 2005, hlm. 16.

[FOOTNOTEOkubo200517-15] Okubo 2005, hlm. 17.

[FOOTNOTEKnusMerkurjevRostTignol1998451-16] Knus et al. 1998, hlm. 451.

[FOOTNOTERosenfeld199791-17] Rosenfeld 1997, hlm. 91.

[FOOTNOTEJacobson196836-19] Jacobson 1968, hlm. 36.

[FOOTNOTESchafer199592-20] Schafer 1995, hlm. 92.

[FOOTNOTEKokoris1955710-21] Kokoris 1955, hlm. 710.

[FOOTNOTEAlbert1948b319-22] Albert 1948b, hlm. 319.

[FOOTNOTEMikheev1976179-23] Mikheev 1976, hlm. 179.

[FOOTNOTEZhevlakovSlin'koShestakovShirshov1982343-24] Zhevlakov et al. 1982, hlm. 343.

[FOOTNOTESchafer1995148-25] Schafer 1995, hlm. 148.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318-26] Bremner, Murakami & Shestakov 2013, hlm. 18.

[FOOTNOTEBremnerMurakamiShestakov201318–19fact_6-27] Bremner, Murakami & Shestakov 2013, hlm. 18–19, fact 6.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_4-28] Albert 1948a, hlm. 554, lemma 4.

[FOOTNOTEAlbert1948a554lemma_3-29] Albert 1948a, hlm. 554, lemma 3.

[FOOTNOTESchafer199514-30] Schafer 1995, hlm. 14.

[FOOTNOTEMcCrimmon200456-31] McCrimmon 2004, hlm. 56.

[FOOTNOTERowen2008321-32] Rowen 2008, hlm. 321.

[FOOTNOTEKurosh1947237–262-33] Kurosh 1947, hlm. 237–262.

[FOOTNOTESchafer19954-34] Schafer 1995, hlm. 4.

[FOOTNOTEOkubo200524-35] Okubo 2005, hlm. 24.

[FOOTNOTEAlbert2003113-36] Albert 2003, hlm. 113.

[FOOTNOTEMcCrimmon200457-37] McCrimmon 2004, hlm. 57.

[FOOTNOTEKoecher199957-38] Koecher 1999, hlm. 57.

[Artin-18] Ini mengikuti dari teorema Artin.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[a]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]