Grup divisibel

grup abelian di mana setiap elemen dapat, dalam arti tertentu, dibagi dengan bilangan bulat positif, atau lebih tepatnya, setiap elemen adalah kelipatan n untuk setiap bilangan bulat positif n

Dalam matematika, terutama di bidang teori grup, grup divisibel atau disebut juga grup yang dapat dibagi adalah grup abelian di mana setiap elemen dapat, dalam arti tertentu, dibagi dengan bilangan bulat positif, atau lebih tepatnya, setiap elemen adalah kelipatan n untuk setiap bilangan bulat positif n. Grup terpisahkan penting dalam memahami struktur grup abelian, terutama karena mereka adalah grup abelian injektif.

Definisi sunting

Grup abelian   adalah divisibel jika, untuk setiap bilangan bulat positif   dan setiap  , disana terdapat   adalah  .[1] Kondisi yang setara adalah: untuk bilangan bulat positif  ,  , karena keberadaan   untuk setiap   dan   menyiratkan bahwa  , dan ke arah lain   benar untuk setiap kelompok. Kondisi ketiga yang setara adalah bahwa grup abelian   dapat dibagi jika dan hanya jika   adalah objek injeksi dalam kategori grup abelian]; untuk alasan ini, grup yang dapat dibagi kadang-kadang disebut grup injektif.

Grup abelian adalah  -habis dibagi untuk bilangan prima   jika untuk  , terdapat   sehingga  . Sama halnya, grup abelian adalah  -habis dibagi jika dan hanya jika  .

Contoh sunting

  • Bilangan rasional   membentuk kelompok yang dapat dibagi di bawah penambahan.
  • Lebih umum lagi, grup aditif yang mendasari dari setiap ruang vektor di atas habis dibagi  .
  • Setiap hasil bagi dari grup yang dapat dibagi habis. Jadi, habis dibagi  .
  • Kompenen prima-p   pada  , yang mana isomorfik ke p -grup kuasiklik habis dibagi  .
  • Grup perkalian dari bilangan kompleks   is divisible.
  • Setiap grup abelian eksistensial tertutup (dalam pengertian teori model) dapat dibagi.

Sifat sunting

  • Jika grup yang dapat dibagi adalah subkelompok dari grup abelian maka itu adalah penjumlahan langsung dari grup abelian itu.[2]
  • Setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi.[3]
  • Grup yang dapat dibagi non-sepele bukan dihasilkan secara terbatas.
  • Selanjutnya, setiap grup abelian dapat disematkan dalam grup yang dapat dibagi sebagai subgrup penting dengan cara yang unik.[4]
  • Sebuah grup abelian habis dibagi jika dan hanya jika itu adalah habis dibagi- p untuk setiap prima p .
  • Misalkan   menjadi gelanggang. Jika   adalah grup yang dapat dibagi, maka   adalah injektif dalam kategori dari modul .[5]

Teorema struktur grup habis sunting

Karena G menjadi grup yang dapat dibagi. Kemudian subgrup torsi Tor(G) dari G habis dibagi. Karena grup yang dapat dibagi adalah modul injeksi.

 

Sebagai hasil bagi dari grup yang dapat dibagi, G/Tor(G) habis dibagi. Selain itu, ini bebas torsi. Jadi, ini adalah ruang vektor di atas Q dan ada himpunan I sehingga

 

Struktur subgrup torsi lebih sulit ditentukan, tetapi dapat dilihat[6][7] bahwa untuk semua bilangan prima p ada   sedemikian rupa sehingga

 

dimana   adalah komponen utama Tor(G).

Jadi, jika P adalah himpunan bilangan prima,

 

Kardinalitas dari himpunan I dan Ip untuk p 'P' secara unik ditentukan oleh grup G .

Amplop injektif sunting

Seperti yang dinyatakan di atas, setiap grup abelian A dapat disematkan secara unik dalam grup yang dapat dibagi D sebagai subgrup penting. Grup yang dapat dibagi D ini adalah amplop injektif dari A , dan konsep ini adalah injeksi hull dalam kategori grup abelian.

Lihat pula sunting

Catatan sunting

  1. ^ Griffith, p.6
  2. ^ Hall, p.197
  3. ^ Griffith, p.17
  4. ^ Griffith, p.19
  5. ^ Lang, p. 106
  6. ^ Kaplansky 1965.
  7. ^ Fuchs 1970.

Referensi sunting