Grup dihedral

grup dari simetri dari poligon beraturan, yang meliputi rotasi dan refleksi

Dalam matematika, grup dihedral adalah grup dari simetri dari poligon beraturan,[1][2] yang meliputi rotasi dan refleksi. Gugus dihedral adalah contoh paling sederhana dari gugus hingga, dan mereka memainkan peran penting dalam teori grup, geometri, dan kimia.

Grup simetri dari kepingan salju adalah D6, simetri dihedral, sama seperti untuk segi enam biasa.

Notasi untuk grup dihedral berbeda dalam geometri dan aljabar abstrak. Dalam geometri, Dn atau Dihn mengacu pada kesimetrian n-gon, segrup urutan 2n. Dalam aljabar abstrak, D2n mengacu pada grup dihedral yang sama ini.[3] Konvensi geometris digunakan dalam artikel ini.

DefinisiSunting

ElemenSunting

 
Enam sumbu refleksi dari segi enam beraturan

Poligon beraturan dengan   sisi memiliki   simetri yang berbeda:   simetri rotasi dan   simetri refleksi. Biasanya, kami mengambil   di sini. Rotasi s dan refleksi yang terkait membuat grup dihedral  . Jika   ganjil, setiap sumbu simetri menghubungkan titik tengah dari satu sisi ke simpul yang berlawanan. Jika   genap, ada   sumbu simetri yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan dan   sumbu simetri yang menghubungkan simpul yang berlawanan. Dalam kedua kasus tersebut, ada   sumbu simetri dan elemen   dalam grup simetri.[4] Refleksi dalam satu sumbu simetri diikuti dengan refleksi di sumbu simetri lain menghasilkan rotasi melalui dua kali sudut antar sumbu.[5]

Gambar berikut menunjukkan efek dari enam belas elemen   pada tanda berhenti:

 

Baris pertama menunjukkan efek dari delapan rotasi, dan baris kedua menunjukkan efek dari delapan refleksi, dalam setiap kasus bekerja pada tanda berhenti dengan orientasi seperti yang ditunjukkan di kiri atas.

Struktur grupSunting

Seperti pada objek geometris lainnya, komposisi dari dua kesimetrian poligon beraturan juga merupakan simetri dari objek ini. Dengan komposisi kesimetrian untuk menghasilkan kesimetrian lain sebagai operasi biner, hal ini memberikan kesimetrian poligon struktur aljabar dari grup berhingga.[6]

 
Komposisi kedua pantulan ini adalah sebuah rotasi.

Tabel Cayley berikut ini menunjukkan efek komposisi dalam grup D3 (kesimetrian sebuah segitiga sama sisi). r 0 menunjukkan identitas; r1 dan r 2 menunjukkan rotasi berlawanan arah jarum jam masing-masing sebesar 120° dan 240°, dan s 0 , s 1 dan s 2 </ sub > menunjukkan pantulan melintasi tiga garis yang ditunjukkan pada pi yang berdekatan

r0 r1 r2 s0 s1 s2
r0 r0 r1 r2 s0 s1 s2
r1 r1 r2 r0 s1 s2 s0
r2 r2 r0 r1 s2 s0 s1
s0 s0 s2 s1 r0 r2 r1
s1 s1 s0 s2 r1 r0 r2
s2 s2 s1 s0 r2 r1 r0

Sebagai contoh, s2s1 = r1, karena refleksi s 1 diikuti oleh refleksi s 2 menghasilkan rotasi 120°. Urutan elemen yang menunjukkan komposisi adalah dari kanan ke kiri, yang mencerminkan konvensi bahwa elemen tersebut bekerja pada ekspresi di sebelah kanannya. Operasi komposisi bukanlah komutatif.[6]

Secara umum, grup Dn memiliki elemen r 0 , ..., rn−1 dan s0, ..., sn−1, dengan komposisi yang diberikan oleh rumus berikut:

 

Dalam semua kasus, penambahan dan pengurangan subskrip harus dilakukan dengan menggunakan aritmetika modular dengan modulus n .

Representasi matriksSunting

 
Simetri segi lima ini adalah transformasi linear bidang sebagai ruang vektor.

Jika kita memusatkan poligon beraturan di titik asal, maka elemen dari kelompok dihedral bertindak sebagai transformasi linear dari bidang. Ini memungkinkan kita merepresentasikan elemen D n sebagai matriks, dengan komposisi perkalian matriks. Ini adalah contoh dari representasi grup (2 dimensi).

Misalnya, unsur-unsur dari kelompok D4 dapat diwakili oleh delapan matriks berikut:

 

Secara umum, matriks untuk elemen D n memiliki bentuk sebagai berikut:

 

rk adalah matriks rotasi, yang menyatakan rotasi berlawanan arah jarum jam melalui sudut 2πk/n. sk adalah refleksi melintasi garis yang membentuk sudut πk/n dengan sumbu x .

Definisi lainnyaSunting

Definisi ekuivalen lebih lanjut dari Dn adalah:

  • Grup automorfisme dari grafik hanya terdiri dari sebuah siklus dengan simpul n (jika n ≥ 3).
  • Grup dengan presentasi
     
    Dari presentasi kedua berikut itu Dn termasuk dalam kelas Coxeter group s.
  • Produk setengah langsung dari grup siklik Zn dan Z2, dengan Z2 bertindak Zn oleh inversi (dengan demikian, Dn selalu memiliki subgrup normal isomorfik ke grup Zn). Znφ Z2 isomorfik untuk Dn jika φ(0) adalah identitas dan φ(1) adalah inversi.

Grup dihedral kecilSunting

 
Contoh subkelompok dari simetri dihedral heksagonal

D1 adalah isomorfik menjadi Z2, grup siklik dari order 2.

D2 adalah isomorfik menjadi K4, Klein empat grup.

D1 dan D2 karena:

  • D1 dan D2 adalah satu-satunya grup dihedral abelian. Jika tidak, Dn adalah non-abelian.
  • Dn adalah subgrup dari grup simetris Sn dari n ≥ 3. Maka 2n > n! dari n = 1 atau n = 2, untuk nilai-nilai ini, Dn terlalu besar untuk dijadikan subgrup.
  • Grup automorfisme dalam dari D2 adalah trivial, sedangkan untuk nilai genap lainnya n, maka Dn / Z2.

grafik siklus dari grup dihedral terdiri dari siklus n elemen dan siklus 2 elemen n . Titik gelap pada grafik siklus di bawah dari berbagai grup dihedral mewakili elemen identitas, dan simpul lainnya adalah elemen lain dari grup. Sebuah siklus terdiri dari kekuatan berturut-turut dari salah satu elemen yang terhubung ke elemen identitas.

Grafik siklus
D1 = Z2 D2 = Z22 = K4 D3 D4 D5
         
         
D6 = D3 × Z2 D7 D8 D9 D10 = D5 × Z2
D3 = S3 D4
   

Grup dihedral sebagai grup simetri dalam 2D dan grup rotasi dalam 3DSunting

Contoh grup abstrak Dn, dan cara yang umum untuk memvisualisasikannya, adalah kelompok isometri bidang Euklidean yang menjaga asal tetap. Grup ini membentuk salah satu dari dua rangkaian diskrit grup titik dalam dua dimensi. Dn terdiri dari n rotasi dari kelipatan 360°/n tentang asal, dan refleksi melintasi garis n melalui titik asal, membuat sudut kelipatan 180°/n satu sama lain. Ini adalah kelompok simetri dari sebuah poligon beraturan dengan sisi n (untuk n ≥ 3; ini meluas ke kasus n = 1 dan n = 2 di mana kita memiliki bidang dengan masing-masing titik offset dari "pusat" dari "1-gon" dan "2-gon" atau ruas garis).

Dn adalah dihasilkan dengan rotasi r urutan n dan refleksi s dari urutan 2 sedemikian rupa

 

Dalam istilah geometris: di cermin, rotasi tampak seperti rotasi terbalik.

Dalam istilah bilangan kompleks: perkalian dengan   dan konjugasi kompleks.

Dalam bentuk matriks, dengan pengaturan

 

dan mendefinisikan   dan   dari   kita dapat menulis aturan produk untuk  Dn sebagai

 

(Bandingkan rotasi dan pantulan koordinat.)

Grup dihedral D 2 dihasilkan oleh rotasi r 180 derajat, dan pantulan melintasi sumbu x . Elemen D 2 kemudian dapat direpresentasikan sebagai {e, r, s, rs}, di mana e adalah identitas atau transformasi nol dan rs adalah refleksi melintasi sumbu y .

 
Empat elemen D2 (sumbu x vertikal di sini)

D2 adalah isomorfik ke grup empat Klein.

Untuk n > 2, operasi rotasi dan refleksi secara umum tidak perjalanan dan D n bukan abelian; Misalnya, di D4, rotasi 90 derajat diikuti oleh refleksi menghasilkan hasil yang berbeda dari refleksi diikuti oleh rotasi 90 derajat.

 
D4 nonabelian (sumbu x vertikal di sini).

Jadi, di luar aplikasi mereka yang jelas untuk masalah simetri di bidang, grup ini adalah salah satu contoh paling sederhana dari kelompok non-abelian, dan dengan demikian sering muncul contoh tandingan yang mudah untuk teorema yang dibatasi untuk grup abelian.

2n elemen dari Dn dapat ditulis sebagai e, r, r2, ... , rn−1, s, r s, r2s, ... , rn−1s. Pertama n elemen yang terdaftar adalah rotasi dan elemen n yang tersisa adalah refleksi-sumbu (semuanya memiliki urutan 2). Produk dari dua rotasi atau dua refleksi adalah rotasi; produk dari rotasi dan refleksi adalah refleksi.

Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan Dn menjadi subkelompok dari O(2), yaitu kelompok rotasi (tentang asal) dan refleksi (melintasi sumbu melalui asal) dari bidang. Namun, notasi Dn juga digunakan untuk subgrup SO(3) yang juga merupakan jenis kelompok abstrak Dn: kelompok simetri yang tepat dari poligon beraturan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi (jika n ≥ 3). Sosok seperti itu dapat dianggap sebagai benda padat biasa yang merosot dengan jumlah muka yang dihitung dua kali. Oleh karena itu, ini juga disebut dihedron (Yunani: padat dengan dua sisi), yang menjelaskan nama grup dihedral (dalam analogi dengan tetrahedral , oktahedral dan grup icosahedral , mengacu pada kelompok simetri yang tepat dari tetrahedron, oktahedron, dan ikosahedron reguler).

SifatSunting

Properti dari grup dihedral Dn dengan n ≥ 3 bergantung pada apakah n genap atau ganjil. Misalnya, pusat dari Dn hanya terdiri dari identitas jika n ganjil, tetapi jika n genap pusat memiliki dua elemen, yaitu identitas dan elemen rn/2 (with Dn sebagai subgrup dari O(2), maka; karena perkalian skalar dengan −1, jelas bahwa ia berpindah-pindah dengan transformasi linier apa pun).

Dalam kasus isometri 2D, ini terkait dengan penambahan inversi, memberikan rotasi dan cermin di antara yang sudah ada.

Untuk n dua kali angka ganjil, kelompok abstrak Dn isomorfik dengan produk langsung dari Dn / 2 dan Z2. Umumnya, jika m membagi n , maka Dn memiliki n/m subgrup jenis Dm, dan satu subgrup ℤm. Oleh karena itu, jumlah total subgrup dari Dn (n ≥ 1), adalah sama dengan d(n) + σ(n), dimana d(n) adalah banyaknya pembagi positif dari n dan σ(n) adalah jumlah dari pembagi positif dari n . Lihat daftar grup kecil untuk kasus n ≤ 8.

Gugus dihedral orde 8 (D 4 ) adalah contoh terkecil dari grup yang bukan T-grup. Salah satu dari dua subgrup Klein empat grup (yang normal di D 4 ) memiliki subgrup orde-2 subgrup normal yang dihasilkan oleh refleksi (flip) di D4, tetapi subgrup ini tidak normal di D4.

Kelas konjugasi refleksiSunting

Semua refleksi adalah konjugasi satu sama lain jika n ganjil, tetapi mereka jatuh ke dalam dua kelas konjugasi jika n genap. Jika kita memikirkan isometri dari n - gon biasa: untuk ganjil n ada rotasi dalam grup antara setiap pasangan cermin, sedangkan untuk genap n hanya setengah dari cermin dapat dicapai dari satu dengan rotasi ini. Secara geometris, dalam poligon ganjil setiap sumbu simetri melewati puncak dan sisi, sedangkan dalam poligon genap ada dua set sumbu, masing-masing sesuai dengan kelas konjugasi: yang melewati dua simpul dan yang melewati dua sisi.

Secara aljabar, ini adalah turunan dari konjugasi Teorema Sylow (untuk n ganjil): untuk n ganjil, setiap refleksi, bersama dengan identitas, membentuk subgrup orde 2, yang merupakan Sylow 2-subgrup (2 = 21 is the maximum power of 2 dividing 2n = 2[2k + 1]), sedangkan untuk n genap, urutan 2 subgrup ini bukan subgrup Sylow karena 4 (pangkat lebih tinggi dari 2) membagi urutan grup.

Untuk n bahkan ada automorfisme luar yang menukar dua jenis pantulan (benar, kelas automorfisme luar, yang semuanya terkonjugasi oleh automorfisme dalam).

GeneralisasiSunting

Ada beberapa generalisasi penting dari grup dihedral:

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld. 
  2. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  3. ^ "Dihedral Groups: Notation". Math Images Project. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2016-03-20. Diakses tanggal 2016-06-11. 
  4. ^ Cameron, Peter Jephson (1998), Introduction to Algebra, Oxford University Press, hlm. 95, ISBN 9780198501954 
  5. ^ Toth, Gabor (2006), Glimpses of Algebra and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 98, ISBN 9780387224558 
  6. ^ a b Lovett, Stephen (2015), Abstract Algebra: Structures and Applications, CRC Press, hlm. 71, ISBN 9781482248913 

Pranala luarSunting

Weisstein, Eric W. "Dihedral Group". MathWorld. 

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D3". MathWorld. 

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D4". MathWorld. 

  • (Inggris)

Weisstein, Eric W. "Dihedral Group D5". MathWorld. 

  • (Inggris)

Davis, Declan. "Dihedral Group D6". MathWorld.