Matriks Jacobi

Dalam kalkulus vektor, matriks Jacobi atau matriks Jacobian adalah matriks berisi semua turunan parsial pertama dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Matriks ini dinamai dengan nama matematikawan Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Beberapa notasi untuk matriks ini adalah Df, J_f, $\nabla \mathbf {f}$, dan ${\tfrac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}$. Jika matriks ini berupa matriks persegi, yakni ketika fungsi memiliki banyak variabel yang sama dengan banyak komponen vektor yang dihasilkannya, determinan matriks ini disebut sebagai determinan Jacobi atau determinan Jacobian. Matriks dan determinan (jika ada) umumnya hanya disebut sebagai Jacobian di dalam literatur.

Matriks Jacobi merepresentasikan diferensial dari fungsi f di setiap titik f terdiferensialkan. Jika fungsi terdiferensialkan di titik x, matriks ini dapat digunakan untuk menghasilkan fungsi linear terbaik yang menghampiri nilai fungsi di sekitar x. Fungsi linear ini disebut sebagai turunan atau turunan total dari f di x. Jika materiks Jacobi berbentuk persegi, determinannya memberikan informasi penting mengenai sifat lokal dari f. Determinan Jacobi juga muncul dalam proses perubahan variabel integral lipat.

Pada fungsi multivariabel bernilai real, yakni ketika $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , matriks Jacobi tereduksi menjadi vektor baris $\nabla ^{\mathrm {T} }f$. Vektor ini adalah transpos dari gradien f, sehingga $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$. Pada kasus yang lebih khusus, yakni fungsi satu variabel bernilai real, f : R → R, matriks Jacobi tereduksi menjadi turunan dari fungsi f.

Matriks Jacobi

Matriks Jacobi dari fungsi multivariabel bernilai vektor memperumum konsep gradien fungsi multivariabel bernilai real; yang selanjutnya merupakan perumuman dari konsep turunan fungsi satu variabel bernilai real. Misalkan $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ adalah fungsi yang semua turunan parsial pertamanya terdefinisi di $\mathbb {R} ^{n}$. Fungsi ini memetakan titik $\mathbf {x}$ di $\mathbb {R} ^{n}$ dengan vektor $\mathbf {f} (\mathbf {x} )$ di $\mathbb {R} ^{m}$. Matriks Jacobi $\mathbf {J}$ dari fungsi $\mathbf {f}$ didefinisikan sebagai matriks berukuran $m\times n$ adalah matriks yang elemen ke-(i,j)-nya adalah ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$, atau secara eksplisit,

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.$

Simbol $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ menyatakan vektor baris hasil transpos dari gradien fungsi komponen ke-$i$. Beberapa penulis mendefinisikan matriks Jacobi sebagai transpos dari bentuk yang disajikan di atas. Jika fungsi terdiferensialkan di suatu titik, diferensialnya dapat digunakan untuk menyusun matriks Jacobi. Tetapi fungsi tidak perlu terdiferensialkan supaya matriks Jacobinya terdefinisi, karena hanya turunan-turunan parsial pertama dari fungsi yang perlu terdefinisi.

Untuk setiap titik $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}$ dimana fungsi $\mathbf {f}$ terdiferensialkan, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai ukuran perubahan yang dilakukan fungsi di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, jika $\mathbf {f} (x,\,y)$ digunakan untuk mentransformasi sebuah gambar secara mulus, matriks Jacobi $\mathbf {J_{f}} (x,\,y)$ menjelaskan bagaimana gambar di lingkungan titik $(x,\,y)$ berubah bentuk. Transformasi linear yang direpresentasikan oleh $\mathbf {J_{f}} (\mathbf {p} )$ adalah hampiran linear terbaik dari nilai fungsi $\mathbf {f}$ di sekitar $\mathbf {p}$, dalam artian

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{dengan }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

dengan $o(||\mathbf {x} -\mathbf {p} ||)$ adalah besaran yang menuju nol jauh lebih cepat daripada jarak antara $\mathbf {x}$ dan $\mathbf {p}$ ketika $\mathbf {x}$ bergerak menuju $\mathbf {p}$. Hampiran ini tereduksi menjadi polinomial Taylor untuk fungsi satu variabel bernilai real, yakni

$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{dengan }}x\to p)$.

Akibatnya, matriks Jacobi dapat dianggap sebagai "turunan pertama" dari fungsi multivariabel bernilai vektor. Pada kasus fungsi multivariabel bernilai skalar, matriks Jacobi dari gradien fungsi tersebut dikenal sebagai matriks Hesse; matriks ini dapat dianggap sebagai "turunan kedua" dari fungsi, sedangkan gradien dianggap sebagai "turunan pertama".

Komposisi dua fungsi yang terdiferensialkan, misalnya $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ dan $\mathbf {g} :\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{k}$, memenuhi sifat aturan rantai. Dalam hal ini, $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ untuk titik $\mathbf {x}$ di $\mathbb {R} ^{n}$.

Determinan Jacobi

Fungsi $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ memiliki matriks Jacobi berupa matriks persegi, sehingga matriks tersebut juga memiliki determinan. Determinan ini disebut dengan determinan Jacobi, determinan Jacobian, atau Jacobian. Determinan Jacobi di suatu titik memberikan informasi penting mengenai perilaku fungsi $\mathbf {f}$ di sekitar titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi terdiferensialkan secara mulus memiliki invers di sekitar titik $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}$, jika determinan Jacobi di $\mathbf {p}$ tidak bernilai 0. Contoh itu adalah teorema invers fungsi. Lebih lanjut, jika determinan Jacobi di $\mathbf {p}$ bernilai positif, maka fungsi $\mathbf {f}$ akan mempertahankan orientasi di sekitar $\mathbf {p}$. Sebaliknya jika determinan tersebut bernilai negatif, maka fungsi $\mathbf {f}$ membalikkan orientasi. Nilai mutlak dari determinan Jacobi di $\mathbf {p}$ memberikan besaran perubahan volume di sekitar $\mathbf {p}$ akibat pemetaan oleh $\mathbf {f}$; ini adalah alasan determinan Jacobi muncul dalam rumus subtitusi integral.

Determinan Jacobi digunakan dalam membuat variabel subtitusi ketika menghitung integral lipat fungsi atas suatu daerah di domain fungsi tersebut. Dalam penerapan ini, determinan Jacobi digunakan sebagai faktor pengali pada integral, yang mengoreksi perubahan koordinat akibat subtitusi variabel. Determinan Jacobi juga digunakan untuk menentukan kestabilan titik kesetimbangan pada sistem persamaan diferensial, dengan memberikan hampiran perilaku fungsi di sekitar titik kesetimbangan. Hal ini digunakan contohnya untuk menentukan kestabilan kesetimbangan tanpa-penyakit pada permodelan penyakit (disease modelling).

Contoh

Contoh 1

Misalkan sebuah fungsi $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ yang memetakan $(x,\,y)\mapsto (f_{1}(x,y),\,f_{2}(x,y))$ lewat persamaan

$$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.$$

Fungsi-fungsi komponen dari $\mathbf {f}$ adalah $f_{1}(x,y)=x^{2}y$ dan $f_{2}(x,y)=5x+\sin y$, sehingga matriks Jacobi dari $\mathbf {f}$ adalah

$$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}$$

dan determinan Jacobi dari fungsi adalah

$$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.$$

Contoh 2

Contoh ini menunjukkan bahwa matriks Jacobi tidak perlu berupa matriks persegi. Matriks Jacobi dari fungsi $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{4}$ dengan komponen-komponen

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$

adalah

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$

Contoh 3

Berikut adalah penggunaan determinan Jacobi dalam perubahan koordinat polar-Kartesius pada integral lipat. Transformasi koordinat polar $(r,\,\varphi )$ ke koordinat Kartesius $(x,\,y)$ dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{+}\times [0,2\pi )\to \mathbb {R} ^{2}$ dengan komponen

$${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}$$

Matriks Jacobi dari fungsi transformasi tersebut adalah

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$

dan determinannya sama dengan $r$. Determinan ini digunakan sebagai faktor koreksi ketika mengubah sistem koordinat yang digunakan integral:

$$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$$

Contoh 4

Contoh ini meninjau efek perubahan orientasi fungsi dan hubungannya dengan determinan Jacobi. Determinan Jacobi dari fungsi $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ dengan komponen-komponen

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$

adalah

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

Dari determinan ini terlihat bahwa $\mathbf {F}$ membalikkan orientasi pada titik-titik dengan tanda $x_{1}$ dan $x_{2}$ yang sama. Fungsi juga dapat diinvers secara lokal, kecuali pada titik-titik dengan $x_{1}=0$ atau $x_{2}=0$. Secara intuitif, jika $\mathbf {F}$ diterapkan pada suatu objek kecil berdimensi tiga di titik $(1,\,2,\,3)$, orientasi objek tersebut akan terbalik, dan volume objek tersebut akan mengembang kurang lebih $40\times 1\times =80$ kali volume semula.

Bacaan lebih lanjut

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (edisi ke-3). Berlin: Springer. hlm. 305–330. ISBN 3-540-60988-1. 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (edisi ke-Second). New York: Springer. hlm. 412–420. ISBN 0-387-96058-9. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 

Pranala luar

• Mathworld Penjelasan lebih teknis mengenai matriks dan determinan Jacobi