Matriks simetrik

Untuk matriks dengan simetri atas lapangan bilangan kompleks, lihat Matriks Hermite.

Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks $A$didefinisikan matriks simetrik jika $A=A^{\text{T}}$. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal $a_{ij}$ menyatakan elemen matriks $A$ pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Matriks $A$ simetrik jika dan hanya jika untuk setiap $i,\,j$ berlaku $a_{ij}=a_{ji}$.

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran $3\times 3$ :

$A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}$

Sifat

Sifat dasar

• Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik

• Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks $A$ dan $B$, matriks $AB$ bersifat simetrik jika dan hanya jika $A$ dan $B$ saling komutatif, yakni, jika $AB=BA$.

• Untuk bilangan bulat $n$, $A^{n}$ matriks simetrik jika $A$ matriks simetrik.

• Jika $A^{-1}$ ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika $A$ simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal ${\mbox{Mat}}_{n}$ menyatakan ruang matriks ukuran $n\times n$. Jika ${\mbox{Sym}}_{n}$ adalah ruang matriks simetrik ukuran $n\times n$ dan ${\mbox{Skew}}_{n}$ adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran $n\times n$, maka ${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}$ dan ${\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}$; yakni,

${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},$

dengan $\oplus$ adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal $X\in {\mbox{Mat}}_{n}$. Matriks $X$ dapat dinyatakan sebagai

$X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)$.

Perhatikan bahwa ${\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}$ dan ${\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}$. Hal ini benar untuk semua matriks persegi $X$ dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh ${\tfrac {1}{2}}n(n+1)$ skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika $X$ adalah matriks simetrik, begitu pula matriks $AXA^{\mathrm {T} }$ untuk sebarang matriks $A$.

Daftar pustaka

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix
• How to implement a Symmetric Matrix in C++