Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks didefinisikan matriks simetrik jika . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik.

Simetri pada matriks simetrik berukuran 5×5.

Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal menyatakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-. Matriks simetrik jika dan hanya jika untuk setiap berlaku .

Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol.

Contoh

sunting

Berikut adalah contoh matriks simetrik ukuran   :

 

Sifat dasar

sunting
  • Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik
  • Hal ini tidak selalu benar untuk hasil perkalian: untuk sebarang matriks   dan  , matriks   bersifat simetrik jika dan hanya jika   dan   saling komutatif, yakni, jika  .
  • Untuk bilangan bulat  ,   matriks simetrik jika   matriks simetrik.
  • Jika   ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika   simetrik.

Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring

sunting

Setiap matriks persegi dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan matriks simetrik-miring. Misal   menyatakan ruang matriks ukuran  . Jika   adalah ruang matriks simetrik ukuran   dan   adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran  , maka   dan  ; yakni,

 

dengan   adalah jumlah langsung. Selanjutnya, misal  . Matriks   dapat dinyatakan sebagai

 .

Perhatikan bahwa   dan  . Hal ini benar untuk semua matriks persegi   dengan elemen dari sebarang lapangan dengan nilai karakteristik bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh   skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas diagonal utama). Mirip dengan itu, matriks simetrik-miring ditentukan dari   skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).

Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik

sunting

Setiap matriks yang kongruen dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika   adalah matriks simetrik, begitu pula matriks   untuk sebarang matriks  .

Daftar pustaka

sunting
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (edisi ke-2nd), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6 

Pranala luar

sunting