Matriks idempoten

Dalam aljabar linear, matriks idempoten adalah sebuah matriks yang tidak berubah nilainya ketika dikalikan dengan dirinya sendiri.[1][2] Dengan kata lain, matriks dikatakan idempoten jika dan hanya jika . Agar hasil perkalian terdefinisi, harus berupa matriks persegi. Matriks idempoten dapat dipandang sebagai unsur idempoten pada sebuah gelanggang matriks.

ContohSunting

Contoh dari matriks idempoten ukuran   adalah:

 

Contoh dari matriks idempoten ukuran   adalah:

 

Matriks riil ukuran 2 × 2Sunting

Jika sebuah matriks riil idempoten  , maka entri-entrinya memiliki hubungan berikut:

  •  
  •   mensyaratkan   sehingga   atau  
  •   mensyaratkan   sehingga   atau  
  •  

Dengan demikian, syarat perlu bagi matriks 2 × 2 dikatakan idempoten adalah berupa matriks diagonal atau terasnya bernilai 1. Untuk matriks diagonal idempoten, nilai   dan   harus bernilai 1 atau bernilai 0.

Jika  , matriks   akan idempoten ketika  . Persamaan kuadrat tersebut dapat diubah bentuknya menjadi

  atau  ,

yakni persamaan lingkaran dengan titik pusat (1/2, 0) dan radius 1/2. Menuliskan solusi dalam bentuk derajat θ, matriks

 

bersifat idempoten. Namun,   pada matriks di atas bukanlah syarat perlu: setiap matriks

  dengan   adalah matriks idempoten.

SifatSunting

Singularitas dan regularitasSunting

Satu-satunya matriks idempoten yang tidak singular adalah matriks identitas. Hal ini dapat terlihat dari menuliskan persamaan  ; dengan mengasumsikan   memiliki peringkat penuh (tidak singular), dan mengalikan kedua ruas dengan  , akan didapatkan bentuk  . Hal ini juga mengartikan bahwa matriks idempoten yang bukan matriks identitas, memiliki jumlah baris (dan jumlah kolom) yang saling bebas linear lebih sedikit daripada total jumlah baris (dan kolom) pada matriks.

Ketika matriks identitas dikurangi dengan matriks idempoten, hasilnya juga berupa matriks idempoten, karena

 

Jika sebuah matriks   idempoten, maka untuk setiap bilangan bulat positif   akan berlaku  . Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika: Jelas hal ini berlaku untuk  , karena  . Anggap bahwa  . Selanjutnya   dapat dituliskan sebagai  , karena   idempoten. Berdasarkan prinsip induksi, pernyataan terbukti.

Nilai eigenSunting

Matriks idempoten selalu dapat didiagonalkan dan nilai eigennya selalu bernilai 0 atau 1.[3]

TerasSunting

Nilai teras dari sebuah matriks idempoten — yakni jumlah semua elemen pada diagonal utamanya — sama dengan nilai peringkat dari matriks dan selalu berupa bilangan bulat. Hal ini memberikan cara mudah untuk menghitung nilai peringkat, atau sebagai cara alternatif menghitung teras dari matriks yang entri-entrinya tidak diketahui secara pasti. Dalam statistika, sebagai contoh, hal tersebut dipakai dalam menentukan derajat bias ketika menggunakan variansi sampel sebagai estimator variansi populasi.

AplikasiSunting

Matriks idempoten sering muncul dalam analisis regresi dan ekonometrika. Sebagai contoh, dalam ordinary least squares, permasalahan regresi adalah mencari vektor koefisien   sehingga dapat meminimunkan kuadrat residu   (prediksi yang salah). Permasalahan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks,

Minimumkan  

dengan   adalah vektor dari variabel terikat hasil observasi, dan   adalah sebuah matriks dengan setiap kolomnya adalah variabel-variabel bebas dalam observasi. Estimator untuk vektor   adalah

 

dengan simbol   menunjukkan operasi transpos; vektor residu dari observasi adalah[2]

 

Dalam persamaan ini, baik matriks   dan   adalah matriks idempoten sekaligus matriks simetris, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan jumlah kuadrat residu:

 

Sifat idempoten dari   juga dipakai untuk menyederhanakan perhitungan lainnya, contohnya dalam menentukan variansi dari estimator  .

ReferensiSunting

  1. ^ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (edisi ke-3rd). New York: McGraw–Hill. hlm. 80. ISBN 0070108137. 
  2. ^ a b Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (edisi ke-5th). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. hlm. 808–809. ISBN 0130661899. 
  3. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. hlm. 148. ISBN 0521386322. every idempotent matrix is diagonalizable