Transpos konjugat

Dalam matematika, transpos konjugat (Inggris: conjugate transpose) atau transpose Hermite (Inggris: Hermitian transpose) dari suatu matriks $\mathbf {A}$ dengan entri-entri kompleks adalah matriks yang dihasilkan dengan melakukan transpos dari $\mathbf {A}$ lalu mengambil konjugat kompleks dari setiap entrinya (konjugat kompleks dari $a+ib$ adalah $a-ib$, untuk sembarang bilangan real $a$ dan $b$). Nama lain dari transpos konjugat dari suatu matriks adalah konjugat Hermite, matriks adjoin, dan transjugat (transjugate). Matriks hasil operasi ini umum dinyatakan sebagai $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ atau $\mathbf {A} ^{*}$.

Untuk matriks real, transpos konjugat akan sama dengan operasi transpos biasa, $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}$.

Definisi

Transpos konjugat dari suatu matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\times n$ secara formal didefinisikan sebagai

$$\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$$

dengan indeks $ij$ menyatakan entri ke-$(i,j)$ dari matriks, untuk $1\leq i\leq n$ dan $1\leq j\leq m$, dan overbar menyatakan konjugat kompleks pada skalar. Definisi tersebut juga dapat ditulis sebagai

$$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}}$$

dengan $\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}$ menyatakan transpos, dan ${\overline {\mathbf {A} }}$ menyatakan matriks dengan entri-entri yang dikonjugasi kompleks. Transpos konjugat dari matriks $\mathbf {A}$ dapat dinyatakan oleh beberapa simbol berikut:

• $\mathbf {A} ^{*}$, dan $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$, yang umum digunakan dalam aljabar linear,
• $\mathbf {A} ^{\dagger }$, umum digunakan dalam fisika kuantum, dan
• $\mathbf {A} ^{+}$, walau simbol ini lebih sering digunakan untuk invers Moore–Penrose

Dalam beberapa konteks, $\mathbf {A} ^{*}$ menyatakan matriks dengan yang entrinya hanya dikonjugasi kompleks dan tidak mengalami transpos matriks

Contoh

Misalkan kita ingin menghitung transpos konjugat dari matriks $\mathbf {A}$ berikut:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

Pertama kita melakukan transpos pada matriks,

$\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

lalu kita mencari konjugat kompleks dari setiap entri pada matriks:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

Motivasi

Transpos konjugat dapat dianggap sebagai perumuman konsep konjugat kompleks. Bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai matriks real berukuran 2×2, yang juga memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian matriks:

$$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$$

Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks $z$ di $\mathbb {C}$dapat dianggap sebagai transformasi linear pada diagram Argand (dilihat sebagai ruang vektor real $\mathbb {R} ^{2}$) oleh matriks real berukuran 2×2. Lebih lanjut, konjugat kompleks dari $z$ dapat dilakukan dengan melakukan transpos pada representasi matriks berukuran 2×2-nya.

Hal ini mengartikan matriks berentri kompleks berukuran $m\times n$ juga dapat direpresentasikan dengan baik oleh matriks berentri real berukuran $2m\times 2n$. Transpos konjugat muncul secara alami sebagai akibat mentranspos matriks real ini — yang dapat dilihat kembali sebagai matriks kompleks berukuran $n\times m$.

Sifat-sifat

• $(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }$ untuk sembarang matriks $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {B}$ yang memiliki ukuran yang sama.
• $(z\mathbf {A} )^{\mathrm {H} }={\overline {z}}\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ untuk sembarang bilangan kompleks $z$ dan sembarang matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\times n$.
• $(\mathbf {A} \mathbf {B} )^{\mathrm {H} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ untuk sembarang matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\times n$ dan sembarang matriks $\mathbf {B}$ berukuran $n\times p$. Ingat bahwa urutan dari faktor dibalik.
• $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{\mathrm {H} }=\mathbf {A}$ funtuk sembarang matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\times n$, dengan kata lain, transpos konjugat adalah suatu involusi.
• Jika $\mathbf {A}$ adalah matriks persegi, maka $\det \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\det \left(\mathbf {A} \right)}}$ dengan $\operatorname {det} (A)$ menyatakan determinan dari $\mathbf {A}$ .
• Jika $\mathbf {A}$ adalah matriks persegi, maka $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)={\overline {\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}}$ dengan $\operatorname {tr} (A)$ menyatakan trace dari $\mathbf {A}$.
• $\mathbf {A}$ terbalikkan jika dan hanya jika $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ juga terbalikkan, dan dalam kasus tersebut, $\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\mathrm {H} }$.
• Nilai-nilai eigen dari $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ adalah konjugat kompleks dari nilai-nilai eigen dari $\mathbf {A}$.
• $\left\langle \mathbf {A} x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}$ untuk sembarang matriks $\mathbf {A}$ berukuran $m\times n$, sembarang vektor $x\in \mathbb {C} ^{n}$, dan sembarang vektor $y\in \mathbb {C} ^{m}$. Dalam persamaan ini, $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}$ menyatakan hasil kali dalam kompleks pada $\mathbb {C} ^{m}$, dan serupa untuk notasi $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}$.

Beberapa jenis matriks persegi juga dapat didefinisikan lewat transpos konjugatnya. Suatu matriks persegi $\mathbf {A}$ dengan entri-entri $a_{ij}$ disebut

• Hermite, jika $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; yakni ketika $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• Skew Hermitian atau antihermitian jika $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; yakni, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$.
• Normal jika $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$.
• Uniter jika $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}$, atau secara ekuivalen $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {I}$, atau secara ekuilvalen $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {I}$.

Bahkan jika $\mathbf {A}$ bukan matriks persegi, kedua matriks $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}$ dan $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ merupakan matriks Hermite, lebih tepatnya matriks semidefinit positif.

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4