Diagram komutatif

Dalam matematika, khususnya dalam bidang aljabar dan teori kategori, suatu diagram dikatakan sebagai diagram komutatif jika untuk suatu objek dan , setiap lintasan yang berawal di dan berakhir di sama.[1] Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi teori kategori untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma [2]

Diagram komutatif dari Lemma Snake

DefinisiSunting

Suatu diagram komutatif terdiri atas:

  • Objek
  • Morfisma (atau panah)
  • Lintasan atau komposisi morfisma

Dalam berbagai referensi aljabar, umum digunakan notasi berikut untuk panah:

  • Monomorfisma dengan  
  • Epimorfisma dengan  
  • Isomorfisma dengan  
  • Jika panah yang digunakan digambar dengan garis putus-putus, umumnya panah tersebut melambangkan suatu morfisma yang diklaim ada (misalnya dalam suatu teorema); panah tersebut sering kali diberi label   untuk menekankan eksistensinya
    • Jika morfisma yang diklaim tersebut tunggal, umumnya diberi label  

Morfisma atau panah dalam diagram komutatif juga dapat didefinisikan antar panah, seperti yang umum dilakukan dalam teori kategori

IstilahSunting

Dalam buku-buku matematika, umumnya digunakan ungkapan "diagram berikut komutatif"

ContohSunting

Dalam teori grup, misalkan   suatu grup dengan operasi  dan   serta   suatu pemetaan antara himpunan untuk grup   dan  . Andaikan   adalah suatu homomorfisma grup, diagram berikut komutatif:[3]

 

dengan pemetaan   didefinisikan secara per-komponen sebagai

 

untuk sebarang  . Dengan kata lain, jika diagram tersebut komutatif berlaku  , yang mana sesuai dengan definisi homomorfisma grup pada umumnya.

Contoh lainnya adalah pada Lemma Snake. Pada suatu kategori abel dengan diagram komutatif

 

yang memiliki barisan eksak di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak

 

sehingga diagram berikut komutatif:

 

Diagram Sebagai FungtorSunting

Misalkan   suatu kategori dan   suatu fungtor dari kategori   ke kategori  . Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtor   dan kategori   disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).

ReferensiSunting

  1. ^ Leinster, Tom (2016). Basic Category Theory. ISBN 978-1-107-04424-1.  Versi daring tersedia di arXiv pada arXiv:1612.09375v1
  2. ^ Smith, Peter (2016). Category Theory A Gentle Introduction.  Versi daring tersedia di sini
  3. ^ Aluffi, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. ISBN 978-0-8218-4781-7. 

Pranala luarSunting