Irisan (teori himpunan)

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan oleh ,[1][2] adalah himpunan yang berisi semua anggota dari yang juga milik (atau, semua anggota dari yang juga milik ).[3]

Irisan dari dua himpunan dan , diwakili oleh lingkaran-lingkaran. ada di dalam warna merah.

Notasi dan istilahSunting

Irisan, dalam notasi infiks, ditulis menggunakan simbol "∩" antara suku-sukunya. Sebagai contoh,

 
 
 
 
 

Irisan dari lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum) dapat ditulis sebagai

 

yang mirip dengan notasi kapital-Sigma

Untuk penjelasan dari simbol-simbol yang digunakan dalam artikel ini, rujuk daftar simbol matematika.

DefinisiSunting

 
Irisan dari tiga himpunanː
 
 
Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya mengingat bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.
 
Contoh dari sebuah irisan dengan himpunan-himpunan.

Irisan dari dua himpunan   dan  , dilambangkan dengan  ,[1][4] adalah himpunan dari semua objek yang anggota dari kedua himpunan   dan  . Dalam simbol,

 
Yaitu,   adalah sebuah anggota dari irisan  , jika dan hanya jika   adalah kedua elemen dari   dan anggota dari  .[4]

Sebagai contohː

  • Irisan dari himpunan   dan   adalah  .
  • Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima   dan himpunan bilangan ganjil  , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepasSunting

Himpunan   dikatakan beririsan dengan himpunan   apabila ada beberapa   yang merupakan anggota dari kedua himpunan   dan  .

Himpunan   dan   dikatakan saling lepas jika   tidak beririsan dengan  . Dalam bahasa yang sederhana, mereka tidak memiliki anggota persekutuan. Himpunan   dan   saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan  .

Sebagai contoh, himpunan  dan   saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat AljabarSunting

  • Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan   dan  , berlaku:
     .
  • Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan  ,  , dan  , berlaku:
     .
    Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai  .
  • Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan   berlaku
     

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

  • Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan   dan  , berlaku:
     .
     .
  • Dalam semesta  , komplemen   dari himpunan   dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari   yang tidak termuat dalam  . Selanjutnya, irisan dari   dan   dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum De Morganː
     

Irisan sembarangSunting

Gagasan yang paling umum adalah irisan dari sebuah kumpulan bukan kosong sembarang dari himpunan. Jika   adalah himpunan bukan kosong yang anggota-anggotanya adalah himpunan-himpunan mereka sendiri, maka   adalah sebuah anggota dari irisan dari   jika dan hanya jika untuk setiap anggota   dari  ,   adalah sebuah anggota dari  . Dalam simbolː

 .

Notasi untuk konsep terakhir ini bisa sangat bervariasi. Teori-teori himpunan akan terkadang menulis  , sementara yang lainnya menulis  . Notasi terakhir bisa digeneralisasikan ke  , yang mengacu pada irisan dari kumpulan  . Disini   adalah himpunan bukan kosong, dan   adalah sebuah himpunan dari setiap   dalam  .

Dalam kasus ini bahwa himpunan indeks   adalah himpunan bilangan asli, notasi analog dengan produk tidak terbatas dapat dilihat

 .

Ketika pemformatannya sulit, ini bisa juga ditulis  . Ini adalah contoh yang terakhir, sebuah irisan dari banyaknya himpunan yang terhitung, ini sangat umum; sebagai contoh, lihat di artikel pada aljabar-σ.

Irisan nullarySunting

 
Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung. Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (membandingkanːdarab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Catatan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus dimana   adalah himpunan kosong ( ). Alasannya sebagai berikutː Irisan dari kumpulan   didefinisikan sebagai himpunan (lihat atan notasi ungkapan himpunan)

 

Jika   kosong, maka tidak ada himpunan   dalam  , jadi pertanyaannya menjadi "  mana yang memenuhi kondisi yang disebutkan?". Jawabannya tampaknya menjadi setiap kemungkinan  . Ketika   kosong, kondisi diberikan di atas adalah sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong seharusnya himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5]

Sayangnya, menurut teori himpunan (Teori himpunan Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada. Sebuah perbaikan untuk masalah ini bisa ditemukan jika kita memperhatikan bahwa irisan di sebuah himpunan dari himpunan-himpunan selalu sebuah subhimpunan dari gabungan di himpunan dari himpunan-himpunan. Ini bisa secara simbolis ditulis sebagai

 

Demikian, kita bisa memodifikasikan definisi sedikit menjadi

Secara umum, tidak ada masalah yang muncul jika   kosong. Irisannya adalah himpunan kosong, karena gabungan di himpunan kosong adalah himpunan kosong. Faktanya, ini adalah operasi yang kita akan mendefinisikan dalam tempat pertama jika kita mendefinisikan himpunan dalam Teori himpunan Zermelo-Fraenkel sebagai pengecualian untuk operasi-operasi didefinisikan ikeh aksioma (himpunan pangkat dari sebuah himpunan, misalnya), setiap himpunan harus didefinisikan sebagai subhimpunan dari beberapa himpunann lainnya oleh dengan penggantian.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ a b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  2. ^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08. 
  4. ^ a b "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  5. ^ Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 

Bacaan lanjutanSunting

  • Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
  • Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Pranala luarSunting

  • Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.