Irisan (teori himpunan)

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan , dilambangkan oleh ,[1][2] adalah himpunan mengandung semua anggota dari yang juga milik (atau dengan jelas, semua anggota dari yang juga milik ).[3]

Irisan dari dua himpunan dan , diwakili oleh lingkaran-lingkaran. ada di dalam warna merah.

Notasi dan istilahSunting

Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" antara istilah; yaitu, notasi infiks. Sebagai contoh,

 
 
 
 

Irisan dari lebih dari dua himpunan (irisan yang digeneralisasikan) bisa ditulis sebagai

 

yang mirip dengan notasi kapital-Sigma

Untuk sebuah penjelasan dari simbol-simbol digunakan di artikel ini, lihat di tabel dari simbol matematika.

DefinisiSunting

 
Irisan dari tiga himpunanː
 
 
Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya mengingat bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.
 
Contoh dari sebuah irisan dengan himpunan-himpunan.

Irisan dari dua himpunan   dan  , dilambangkan dengan  ,[1][4] adalah himpunan dari semua objek yang anggota dari kedua himpunan   dan  . Dalam simbol,

 

Yaitu,   adalah sebuah anggota dari irisan  , jika dan hanya jika   adalah kedua elemen dari   dan anggota dari  .[4]

Sebagai contohː

  • Irisan dari himpunan   dan   adalah  .
  • Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima   dan himpunan bilangan ganjil  , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Irisan merupakan sebuah operasi asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan  ,  , dan  , salah satunya mempunyai  . Irisan juga merupakan komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan   dan  , salah satunya mempunyai  . Jadi masuk akal untuk mengatakan tentang irisan dari himpunan-himpunan yang banyak. Irisan dari  ,  ,   dan  , sebagai contoh, jelas ditulis  .

Di dalam sebuah semesta  , salah satunya dapat didefinisikan komplemen   dari   menjadi himpunan dari semua anggota dari   bukan dalam  . Selanjutnya, irisan dari   dan   dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum De Morganː

 

Mengiris dan himpunan saling lepasSunting

Kita katakan bahwa   mengiris (bertemu)   di sebuah anggota   jika   milik   dan  . Kita katakan bahwa   mengiris (bertemu)   jika   mengiris   di beberapa anggota.   mengiris   jika irisan mereka berpenghuni.

Kita katakan bahwa   dan   saling lepas jika   tidak mengiris  . Dalam bahasa yang sederhana, mereka tidak memiliki anggota bersama.   dan   saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan  .

Sebagai contoh, himpunan dari   dan   saling lepas, meskipun himpunan bilangan genap mengiris himpunan kelipatan dari 3 di perkalian dari 6.

Irisan sembarangSunting

Gagasan yang paling umum adalah irisan dari sebuah kumpulan bukan kosong sembarang dari himpunan. Jika   adalah himpunan bukan kosong yang anggota-anggotanya adalah himpunan-himpunan mereka sendiri, maka   adalah sebuah anggota dari irisan dari   jika dan hanya jika untuk setiap anggota   dari  ,   adalah sebuah anggota dari  . Dalam simbolː

 

Notasi untuk konsep terakhir ini bisa sangat bervariasi. Teori-teori himpunan akan terkadang menulis  , sementara yang lainnya menulis  . Notasi terakhir bisa digeneralisasikan ke  , yang mengacu pada irisan dari kumpulan  . Disini   adalah himpunan bukan kosong, dan   adalah sebuah himpunan dari setiap   dalam  .

Dalam kasus ini bahwa himpunan indeks   adalah himpunan bilangan asli, notasi analog dengan produk tidak terbatas dapat dilihat

 .

Ketika pemformatan sulit, ini bisa juga ditulis  . Ini adalah contoh yang terakhir, sebuah irisan dari banyaknya himpunan yang terhitung, ini sangat umum; sebagai contoh, lihat di artikel pada aljabar-σ.

Irisan nullarySunting

 
Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (membandingkanː produk kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Catatan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus dimana   adalah himpunan kosong ( ). Alasannya sebagai berikutː Irisan dari kumpulan   didefinisikan sebagai himpunan (lihat atan notasi pembuatan himpunan)

 

Jika   kosong, maka tidak ada himpunan   dalam  , jadi pertanyaannya menjadi "  mana yang memenuhi kondisi yang disebutkan?". Jawabannya tampaknya menjadi setiap kemungkinan  . Ketika   kosong, kondisi diberikan di atas adalah sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong seharusnya himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5]

Sayangnya, menurut teori himpunan (Teori himpunan Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada. Sebuah perbaikan untuk masalah ini bisa ditemukan jika kita memperhatikan bahwa irisan di sebuah himpunan dari himpunan-himpunan selalu sebuah subhimpunan dari gabungan di himpunan dari himpunan-himpunan. Ini bisa secara simbolis ditulis sebagai

 

Demikian, kita bisa memodifikasikan definisi sedikit menjadi

Secara umum, tidak ada masalah yang muncul jika   kosong. Irisannya adalah himpunan kosong, karena gabungan di himpunan kosong adalah himpunan kosong. Faktanya, ini adalah operasi yang kita akan mendefinisikan dalam tempat pertama jika kita mendefinisikan himpunan dalam Teori himpunan Zermelo-Fraenkel sebagai pengecualian untuk operasi-operasi didefinisikan ikeh aksioma (himpunan pangkat dari sebuah himpunan, misalnya), setiap himpunan harus didefinisikan sebagai subhimpunan dari beberapa himpunann lainnya oleh dengan penggantian.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ a b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  2. ^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08. 
  4. ^ a b "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  5. ^ Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 

Bacaan lanjutanSunting

  • Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
  • Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Pranala luarSunting

  • Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.