Irisan (teori himpunan)

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang memuat semua anggota dari juga milik (atau, semua anggota dari yang juga milik ).[1] Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:[2][3]

Irisan dari dua himpunan dan , dinyatakan melalui lingkaran. Warna merah menyatakan anggota dari .
,

Notasi dan istilahSunting

Irisan, dalam notasi infiks, ditulis menggunakan simbol "∩" antara suku-sukunya. Sebagai contoh,

 
 
 
 
 

Namun, notasi untuk irisan dari lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum) mirip dengan notasi Sigma, yang ditulis sebagai

 .

DefinisiSunting

 
Irisan dari tiga himpunanː
 
 
Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya dipandang sebagai bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.
 
Contoh irisan dari himpunan.

Irisan dari dua himpunan   dan  , dilambangkan dengan  ,[2][4] merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan   dan  . Secara matematis ditulis,

 

Hal ini mengartikan bahwa   adalah anggota dari irisan  , jika dan hanya jika   adalah anggota dari   dan anggota dari  .[4]

Sebagai contohː

  • Irisan dari himpunan   dan   adalah  .
  • Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima   dan himpunan bilangan ganjil  , karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepasSunting

Himpunan   dikatakan beririsan dengan himpunan   jika terdapat   yang merupakan anggota dari himpunan   dan  .

Himpunan   dan   dikatakan saling lepas jika   tidak beririsan dengan  . Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan   dan   saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan  .

Sebagai contoh, himpunan   dan   saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat aljabarSunting

  • Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan   dan  , berlaku:
     .
  • Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan  ,  , dan  , berlaku:
     .
    Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai  .
  • Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan   berlaku
     

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

  • Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan   dan  , berlaku:
     .
     .
  • Dalam semesta  , komplemen   dari himpunan   dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari   yang tidak termuat dalam  . Selanjutnya, irisan dari   dan   dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum De Morganː
     

Irisan sebarangSunting

Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang kumpulan takkosong himpunan-himpunan. Jika   adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka   adalah anggota dari irisan dari   jika dan hanya jika untuk setiap anggota   dari  ,   adalah sebuah anggota dari  . Secara matematis ditulisː

 .

Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis  , sementara yang lainnya menulis  . Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi  , yang mengacu pada irisan kumpulan  . Dalam notasi terakhir itu,   adalah himpunan takkosong, dan   adalah sebuah himpunan dari setiap   dalam  .

Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks   adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.

 .

Notasi tersebut juga dapat ditulis  .

Irisan kosongSunting

 
Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung.

Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (bandingkan darab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk   adalah himpunan kosong ( ). Alasannya adalah bahwa Irisan dari kumpulan   didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)

 

Jika   kosong, maka tidak ada himpunan   dalam  . Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: "  manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan  . Ketika   kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) [5], namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ "Stats: Probability Rules". People.richland.edu. Diakses tanggal 2012-05-08. 
  2. ^ a b "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-04-11. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ "Intersection of Sets". web.mnstate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-04. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  4. ^ a b "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  5. ^ Megginson, Robert E. (1998), "Chapter 1", An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, 183, New York: Springer-Verlag, hlm. xx+596, ISBN 0-387-98431-3 

Bacaan lanjutanSunting

  • Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
  • Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
  • Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Pranala luarSunting

  • Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.