Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, khususnya teori bilangan, faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan [1] atau [2] dalam bahasa Indonesia, dan dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor[3]) terhadap bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat dan . Maka, . Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.

Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat faktor persekutuan terbesar polinomial atau persekutuan bilangan terbesar polinomial untuk melihat lebih lanjut.

NotasiSunting

Untuk   dan   bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai   atau  . Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai   atau  . Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu   atau  .[4]

DefinisiSunting

Misalkan   dan   adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan   membagi   dan   dan   bilangan asli terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat   dan   adalah[5]

 .

Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat   dan   bilangan asli terbesar yang membagi  , maka faktor persekutuan terbesarnya adalah[4]

 .

SifatSunting

Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain:

  • Untuk sebarang bilangan bulat positif  , bila   membagi   dan  , maka  .
  • Untuk sebarang bilangan bulat positif  ,   jika dan hanya jika  .
  • Untuk sebarang bilangan bulat positif  ,  .
  •  , sifat ini sangat penting dalam kalkulasi algoritme Euklides

ContohSunting

Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni   dan  . Untuk mengetahui mengapa  , kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.

  • Faktor dari   adalah  
  • Faktor dari   adalah  

Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan  . Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.

Pohon faktorSunting

Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan:

             12         20
             /\         /\
            3  4       2  10
              /\          /\
             2  2        2  5

Kita memperoleh   dan  , maka,  , di mana hasilnya adalah  .

 
Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60, masing-masing dibagi menjadi ukuran yang sama, yang terbesar adalah 12 kali 12.

Visualisasi geometriSunting

Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena   dan  .

KoprimaSunting

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.[4]

PenerapanSunting

Menyederhanakan pecahanSunting

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan[6]. Sebagai contoh, tinjau pecahan  . Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari   dan   adalah  . Kita tuliskan sebagai

 .

Kelipatan persekutuan terkecilSunting

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

 .[7]

Algoritme EuklideanSunting

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:

  • a1 = maximum(a,b)-minimum(a,b)
b1 = minimum(a,b)
  • a2 = maximum(a1,b1)-minimum(a1,b1)
b2 = minimum(a1,b1)
.
.
.
  • ai = maximum(ai-1,bi-1)-minimum(ai-1,bi-1)
bi = minimum(ai-1,bi-1)

Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh ai = bi.

FPB dari a dan b adalah ai = bi.

Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:

 

 

dengan   adalah operasi modulus.

Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar   pembagian.

Lihat pulaSunting

RujukanSunting

  1. ^ Itsnaini, Faqihah Muharroroh. "Apa Perbedaan KPK dan FPB? Ini Penjelasannya". detikedu. Diakses tanggal 2021-11-14. 
  2. ^ Suci Yuniati, MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN MENGGUNAKAN METODE “PEBI”, hlm. 158
  3. ^ "Definition of greatest common divisor | Dictionary.com". www.dictionary.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14. 
  4. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-20. 
  5. ^ "8.1: The Greatest Common Divisor". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2017-09-20. Diakses tanggal 2021-11-21. 
  6. ^ "Greatest Common Factor". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2021-11-21. 
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-21.