Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, Faktor Persekutuan Terbesar (FPB atau Faktor Pembagi Terbesar) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut.

Dalam bahasa Inggris, FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering juga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF).

Dua buah bilangan dikatakan saling prima jika dan hanya jika FPB dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.

NotasiSunting

Pada artikel ini, FPB dari dua buah bilangan a dan b ditulis sebagai FPB (a, b). Beberapa penulis menuliskannya sebagai (a, b).

ContohSunting

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar dapat digunakan cara pemfaktoran.

Cara sederhanaSunting

Mencari FPB dari 12 dan 20:

  • Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12
  • Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20
  • FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Mencari FPB dari 15 dan 25:

  • Faktor dari 15 = 1, 3, 5, dan 15
  • Faktor dari 25 = 1, 5, dan 25
  • FPB dari 15 dan 25 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 5.

Cara pemfaktoranSunting

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

  • Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:
             147         189             231
              /\          /\              /\
             3 49        3  63           3  77
               /\           /\              /\
              7  7         7  9            7  11
                              /\
                             3  3
  • Susun bilangan dari pohon faktor untuk mendapatkan faktorisasinya:
Faktorisasi 147 = 31 x 72
Faktorisasi 189 = 33 x 71
Faktorisasi 231 = 31 x 71 x 111
  • Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut, dalam hal ini 3 dan 7.
  • Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini 31 x 71 = 21.
  • Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain, tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.
  • Contoh soal
    • Ibu Rogu memiliki 96 buah rambutan, 48 buah mangga serta 72 buah apel. Buah-buahan dibagikan secara rata-rata kepada teman-teman Rogu. Berapa banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata? berapa jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak?
96 = 25 x 3
48 = 24 x 3
72 = 23 x 33

FPB dari 48, 72 dan 96 adalah 23 x 3 = 24 anak

jadi banyak anak mendapatkan buah-buahan secara rata adalah 24.

untuk masing-masing buah

96/24 = 4; 48/24 = 2; 72/24 = 3

jadi jumlah masing-masing buah yang dibagikan kepada anak-anak adalah 4 buah rambutan, 2 buah mangga serta 3 buah apel.

Untuk pembahasan mengenai materi KPK dan FPB kelas 4 secara lengkap, bisa anda baca ditautan ini.

Contoh soal cerita yang berkaitan dengan FPBSunting

  1. Untuk lauk buka nanti sore Ibu menggoreng 15 tempe dan 25 tahu. Setelah itu tempe dan tahu goreng diletakkan di atas piring dengan jumlah yang sama. Maka Ibu harus menyediakan pring sebanyak . . . buah.
  2. Ratna membuat rangkaian bunga dari 60 tangkai mawar merah, 90 tangkai mawar putih, dan 105 tangkai mawar merah muda. Setiap rangkaian bunga terdiri dari bunga mawar merah, mawar putih, dan mawar merah muda dengan jumlah yang sama banyak. Maka rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah . . .  buah.

Jawaban:

1. 15 = 3 x 5

25 = 5 x 5 atau 5²

Maka FPB dari 15 dan 25 adalah 5. Jadi jumlah piring yang harus disediakan oleh ibu adalah 5 buah piring.

2. 60 = 2 x 2 x 3 x 5 atau 2² x 3 x 5

90 = 2 x 3 x 3 x 5 atau 2 x 3² x 5

105 = 3 x 5 x 7

Maka FPB dari 60, 90 dan 105 adalah 3 x 5 = 15. Jadi jumlah rangkaian bunga paling banyak yang dapat dibuat Ratna adalah 15 buah.

Algoritme EuklideanSunting

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:

  • a1 = maximum(a,b)-minimum(a,b)
b1 = minimum(a,b)
  • a2 = maximum(a1,b1)-minimum(a1,b1)
b2 = minimum(a1,b1)
.
.
.
  • ai = maximum(ai-1,bi-1)-minimum(ai-1,bi-1)
bi = minimum(ai-1,bi-1)

Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh ai = bi.

FPB dari a dan b adalah ai = bi.

Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:

 

 

dengan   adalah operasi modulus.

Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar   pembagian.

Lihat pulaSunting