Komplemen (teori himpunan)

Dalam teori himpunan, komplemen himpunan , sering kali dilambangkan oleh (atau ),[1][2] adalah unsur yang bukan di .[3]

Sebuah lingkaran terisi dengan warna merah di dalam sebuah persegi. Luas di luar lingkaran tidak terisi. Perbatasan kedua lingkaran dan persegi adalah warna hitam.
Jika adalah luas berwarna merah dalam gambar ini...
Sebuah lingkaran takterisi di dalam sebuah persegi. Luas di dalam pesegi tidak diliptui oleh lingkaran terisi dengan warna merah. Perbatasan kedua lingkaran dan persegi adalah warna hitam.
… maka komplemen adalah segala sesuatu yang lain.

Ketika semua himpunan terhadap pertimbangan dianggap menjadi subhimpunan diberikan himpunan , komplemen mutlak adalah himpunan unsur di , tapi bukan di .

Komplemen relatif terhadap sebuah himpunan , juga disebut beda himpunan dan , ditulis , adalah himpunan unsur-unsur di tapi bukan di .[1]

Komplemen mutlak

sunting
 
Komplemen mutlak   (lingkaran sebelah kiri) di  :  .

Definisi

sunting

Jika   adalah sebuah himpunan, maka komplemen mutlak  ) adalah himpunan unsur-unsur yang bukan di   (dalam sebuah himpunan lebih besar yang secara implisit didefinisikan). Dengan kata lain, misalkan   menjadi sebuah himpunan yang berisi semua unsur-unsur terhadap kajian, jika tidak ada yang perlu untuk menyebutkan  , baik karena ditentukan sebelumnya, atau dengan jelas dan unik, maka komplemen mutlak   adalah komplemen relatif   di  :[4]

 

Atau secara formal:

 .

Komplemen mutlak   biasanya dilambangkan oleh  .[1] Notasi lainnya termasuk  ,  ,[3]  , dan  .[5]

Contoh-contoh

sunting
  • Asumsi bahwa semesta adalah himpunan bilangan bulat. Jika   adalah himpunan bilangan ganjil, maka komplemen   adalah himpunan bilangan genap. Jika   adlaah himpunan kelipatan 3, maka komplemen   adalah himpunan bilangan kongruen dengan 1 atau 2 modulo 3 (atau, dalam istilah yang lebih sederhana, bilangan bulatnya yang bukan merupakan kelipatan 3).
  • Asumsi bahwa semesta adalah dek 52 kartu standar. Jika   adalah kartu sekop, maka komplemen   adalah gabungan dari kartu keriting, wajik, dan hati. Jika himpunan   adalah gabungan dari kartu keriting dan wajik, maka komplemen   adalah gabungan dari kartu hati dan sekop.

Sifat-sifat

sunting

Misalkan   dan   menjadi dua himpunan dalam sebuah semesta  . Identitas berikut menangkap sifat-sifat komplemen mutlak yang penting:

Hukum de Morgan:[6]

  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  • Jika  , maka  .

(ini diikuti dari kesetaraan syarat dengan kontrapositifnya).

Hukum komplemen involusi atau ganda:

  •  .

Hubungan antara komplemen mutlak dan relatif:

  •  .
  •  .

Hubungan dengan sebuah beda himpunan:

  •  .

Dua hukum komplemen pertama di atas menunjukkan bahwa jika   adalah sebuah himpunan takkosong, subhimpunan wajar  , maka   adalah penyekatan  .

Komplemen relatif

sunting

Definisi

sunting

Jika   dan   adalah himpunan, maka komplemen relatif   dalam  ,[6] juga disebut beda himpunan   dan  ,[7] adalah himpunan unsur-unsur di   tapi bukan di  .

 
Komplemen relatif   (lingkaran sebelah kiri) di   (lingkaran sebelah kanan):  .

Komplemen relatif   di   dilambangkan   menurut standar ISO 31-11. Ini terkadang ditulis  ,[1] tapi notasi ini ambigu, karena dalam beberapa konteks, ini dapat diinterpretasikan sebagai himpunan semua unsur-unsur  , dimana   diambil dari   dan   diambil dari  .

Secara formal:

 .

Contoh-contoh

sunting
  •  .
  •  .
  • Jika   adalah himpunan bilangan real dan   adalah himpunan bilangan rasional, maka   adalah himpunan bilangan irasional.

Sifat-sifat

sunting

Misalkan  ,  , dan   menjadi tiga himpunan. Identitas berikut menangkap sifat-sifat penting mengenai komplemen relatif:

  •  .
  •  .
  •  , dengan kasus khusus yang penting   menunjukkan bahwa irisan dapat diungkapkan hanya menggunakan operasi komplemen relatif.
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .

Relasi komplementer

sunting

Sebuah relasi biner   didefinisikan sebagai sebuah subhimpunan darab himpunan  . Relasi komplementer   merupakan komplemen himpunan   di  . Komplemen relasi   dapat ditulis

 .

Disini,   sering kali dipandang sebagai sebuah matriks logis dengan baris mewakili unsur-unsur  , dan unsur-unsur kolom  . Kebenaran mengenai   berpadanan dengan 1 dalam baris  , kolom  . Menghasilkan relasi komplementer ke  , kemudian berpadanan dengan menukar semua 1 dan 0, dan 0 ke 1 untuk matriks logis dari komplemen.

Bersama dengan komplemen relasi dan relasi sebalik, relasi komplementer dan aljabar himpunan merupakan operasi-operasi elementer dari kalkulus relasi.

Notasi LaTeX

sunting

Dalam bahasa penyusunan huruf LaTeX, perintah \setminus[8] biasanya digunakan untuk mengucapkan sebuah simbol beda himpunan, yang serupa dengan sebuah simbol garis miring terbalik. Ketika diucapkan, perintah \setminus terlihat identis dengan \backslash, kecuali bahwa ini memiliki sebuah ruang lebih sedikit di depan dan di belakang garis miring, sama dengan barisan LaTeX \mathbin{\backslash}. Sebuah varian \smallsetminus tersedia dalam pengepakan amssymb.

Dalam bahasa pemrograman

sunting

Beberapa bahasa pemrograman memiliki himpunan-himpunan di sekitar di bangun dalam struktur data. Seperti sebuah struktur data berperilaku sebagai sebuah himpunan hingga, yaitu, ini terdiri dari sebuah bilangan terhingga mengenai data yang bukan terurut secara khusus, dan dapat dengan demikian dianggap sebagai unsur-unsur himpunan. Dalam beberapa kasus, unsur-unsurnya tidak perlu beda, dan kode struktur data multihimpunan ketimbang himpunan. Bahasa pemrograman memiliki operator atau fungsi untuk menghitung komplemen dan beda himpunan.

Operator-operator ini dapat secara umum juga berlaku untuk struktur data yang bukan himpunan matematis sesungguhnya, seperti daftar terurut atau larik. Ini mengikuti bahwa beberapa bahasa pemrograman dapat memiliki sebuah fungsi disebut set_difference ,bahkan jika ini tidak memiliki suatu struktur data untuk himpunan.

Lihat pula

sunting

Catatan

sunting
  1. ^ a b c d "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). 2020-03-01. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  2. ^ "Complement and Set Difference". web.mnstate.edu. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-01-23. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  3. ^ a b "Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Diakses tanggal 2020-09-04. 
  4. ^ Himpunan yang komplemennya dianggap dengan demikian secara implisit ditentukan dalam sebuah komplemen mutlak, dan secara eksplisit ditentukan dalam sebuah komplemen relatif.
  5. ^ Bourbaki 1970, hlm. E II.6.
  6. ^ a b Halmos 1960, hlm. 17.
  7. ^ Devlin 1979, hlm. 6.
  8. ^ [1] Diarsipkan 2022-03-05 di Wayback Machine. The Comprehensive LaTeX Symbol List

Referensi

sunting

Pranala luar

sunting
  • (Inggris) Weisstein, Eric W. "Complement". MathWorld. 
  • (Inggris) Weisstein, Eric W. "Complement Set". MathWorld.