Operator logika

Dalam logika, operator logika atau perangkai logika merupakan simbol logika yang dipakai untuk menghubungkan rumus-rumus logika. Sebagai contoh, dalam sintaks logika proposisional, operasi biner $\lor$ dapat dipakai untuk menggabungkan dua rumus atomik $P$ dan $Q$ , memberikan rumus kompleks $P\lor Q$ .

Operator logika pada umumnya meliputi negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi dan kesetaraan . Dalam sistem logika klasik yang standar, operator-operator tersebut dipandang sebagai fungsi kebenaran, yakni fungsi yang menerima suatu nilai kebenaran (benar atau salah) dan menghasilkan nilai kebenaran yang baru. Sedangkan dalam logika non-klasik ada beberapa interpretasi berbeda terkait definisi dari operator-operator tersebut. Interpretasi klasik dari setiap operator tersebut mirip dengan ungkapan "tidak", "atau", "dan", dan "jika" dalam bahasa alami seperti Bahasa Indonesia, walau tidak identik.

Pendahuluan sunting

Dalam bahasa formal, fungsi-fungsi kebenaran dinyatakan lewat simbol-simbol yang tak ambigu. Hal ini memungkinkan pernyataan logika dapat dipahami dalam cara yang tidak ambigu. Simbol-simbol ini selanjutnya disebut operator logika atau perangkai logika.

Operator logika dapat digunakan untuk menghubungkan nol atau lebih pernyataan-pernyataan, memungkinkan seorang membahas operator logika n-ary. Konstanta Boolean Benar dan Salah dapat dianggap sebagai operator 0-ary, negasi sebagai operator 1-ary, dan seterusnya.

Daftar operator logika yang umum sunting

Berikut adalah daftar beberapa operator logika yang umum, simbol, dan popularitasnya:^[1]

Negasi (tidak): $\neg$ , $\sim$ , $N$ (prefiks), dengan $\neg$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan $\sim$ masih digunakan oleh banyak orang;

Konjungsi (dan): $\wedge$ , $\&$ , $K$ (prefiks), dengan $\wedge$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
Disjungsi (atau): $\vee$ , $A$ (prefiks), dengan $\vee$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
Implikasi (jika...maka...): $\to$ , $\supset$ , $\Rightarrow$ , $C$ (prefiks), dengan $\to$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan $\supset$ masih digunakan oleh banyak orang;
Kesetaraan (jika dan hanya jika): $\leftrightarrow$ , $\subset \!\!\!\supset$ , $\Leftrightarrow$ , $\equiv$ , $E$ (prefiks), dengan $\leftrightarrow$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan $\subset \!\!\!\supset$ dapat menjadi pasangan yang cocok ketika menggunakan simbol implikasi $\supset$ , seperti $\leftrightarrow$ ketika menggunakan $\to$ .

Makna hubungan [antar] pernyataan dapat berubah ketika dibubuhi operator-operator tersebut. Sebagai contoh, pernyataan hari ini hujan (disimbolkan dengan $p$ ) dan saya ada di dalam ruangan (disimbolkan dengan $q$ ) dapat berubah menjadi:

Hari ini tidak hujan ( $\neg p$ );
Hari ini hujan dan saya ada di dalam ruangan ( $p\wedge q$ );
Hari ini hujan atau saya ada di dalam ruangan ( $p\lor q$ );
Jika hari ini hujan, maka saya ada di dalam ruangan ( $p\rightarrow q$ );
Jika saya ada di dalam ruangan, maka hari ini hujan ( $q\rightarrow p$ );
Saya ada di dalam ruangan jika dan hanya jika hari ini hujan ( $p\leftrightarrow q$ );

Pernyataan yang selalu benar dan pernyataan yang selalu salah juga umum dianggap sebagai sebagai sebuah operator:

Benar, disimbolkan dengan $\top$ , $1$ , $V$ (prefiks), atau $\mathrm {T}$ ;
Salah, disimbolkan dengan $\bot$ , $0$ , $O$ (prefiks), atau $\mathrm {F}$

Sejarah dari notasi yang digunakan sunting

Negasi: Simbol $\neg$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930^[2]^[3] (mirip dengan simbol ⫟ dalam Begriffsschrift oleh Frege^[4]). Sedangkan simbol $\sim$ muncul dalam publikasi oleh Russell tahun 1908.^[5] Alternatif notasi negasi lainnya dilakukan dengan menambahkan garis horizontal di atas rumus (pernyataan) yang bersangkutan, seperti ${\overline {p}}$ , atau dengan menggunakan tanda petik, seperti $p'$ .
Konjungsi: Simbol $\wedge$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930^[2] (mirip dengan simbol irisan $\cap$ Peano dalam teori himpunan^[6]). Simbol $\&$ setidaknya sudah digunakan sejak Schönfinkel di tahun 1924,^[7] sedangkan simbol $\cdot$ berasal dari interpretasi oleh Boole yang mengganggap logika sebagai aljabar elementer.

Referensi sunting

^ Chao, C. (2023). 数理逻辑：形式化方法的应用 [Mathematical Logic: Applications of the Formalization Method] (dalam bahasa Chinese). Beijing: Preprint. hlm. 15–28.
^ ^a ^b Heyting, A. (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (dalam bahasa German): 42–56.
^ Denis Roegel (2002), A brief survey of 20th century logical notations (see chart on page 2).
^ Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a/S.: Verlag von Louis Nebert. hlm. 10.
^ Russell (1908) Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics 30, p222–262, also in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).
^ Peano (1889) Arithmetices principia, nova methodo exposita.
^ Schönfinkel (1924) Über die Bausteine der mathematischen Logik, translated as On the building blocks of mathematical logic in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.

Artikel bertopik logika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[chao2023-1] Chao, C. (2023). 数理逻辑：形式化方法的应用 [Mathematical Logic: Applications of the Formalization Method] (dalam bahasa Chinese). Beijing: Preprint. hlm. 15–28.

[heyting1930-2] Heyting, A. (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (dalam bahasa German): 42–56.

[3] Denis Roegel (2002), A brief survey of 20th century logical notations (see chart on page 2).

[frege1879a-4] Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a/S.: Verlag von Louis Nebert. hlm. 10.

[autogenerated222-5] Russell (1908) Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics 30, p222–262, also in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).

[6] Peano (1889) Arithmetices principia, nova methodo exposita.

[autogenerated1924-7] Schönfinkel (1924) Über die Bausteine der mathematischen Logik, translated as On the building blocks of mathematical logic in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]