Skalar (matematika)

Dalam matematika, skalar adalah elemen dari suatu lapangan yang digunakan untuk mendefinisikan sebuah ruang vektor. Suatu besaran yang didefinisikan dengan beberapa skalar, seperti memiliki arah dan besar, disebut dengan vektor.[1]

Dalam aljabar linear, bilangan real (atau secara umum elemen dari sebuah lapangan) disebut dengan skalar. Skalar ini berhubungan dengan suatu ruang vektor lewat operasi perkalian skalar, yang terdefinisi di ruang vektor tersebut. Operasi tersebut memungkinkan sebuah vektor dikalikan dengan sebuah skalar, untuk menghasilkan vektor lainnya.[2][3][4] Ruang vektor tidak harus menggunakan bilangan real untuk mendefinisikannya; sebarang lapangan lain, misal bilangan kompleks, juga dapat digunakan. Dalam kasus ini, skalar dari ruang vektor tersebut adalah elemen dari lapangan tersebut (seperti bilangan kompleks). Operasi hasil kali titik (scalar product) -- yang berbeda dengan perkalian skalar -- dapat didefinisikan pada sebuah ruang vektor. Operasi ini memungkinkan dua vektor dikalikan dengan cara tertentu, untuk menghasilkan sebuah skalar. Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali titik disebut dengan ruang hasil kali dalam (inner product space).

Istilah skalar terkadang juga digunakan secara informal untuk merujuk pada sebuah vektor, matriks, tensor, dan "gabungan nilai-nilai" lainnya, yang sebenarnya hanya berisi satu komponen. Sebagai contoh, perkalian dari matriks berukuran 1 × n dengan matriks berukuran n × 1 adalah matriks berukuran 1 × 1, hasil perkalian ini terkadang disebut sebagai sebuah skalar.

Istilah skalar juga digunakan dalam beberapa bidang lainnya. Matriks skalar digunakan untuk menyebut sebuah matriks berbentuk , dengan sebuah skalar dan adalah matriks identitas. Komponen real dari sebuah kuarternion juga dirujuk dengan bagian skalar-nya.

Definisi dan sifatSunting

 
Gambar ini menunjukkan sebuah vektor Euklidean. Koordinatnya, x dan y, berupa skalar; begitu pula dengan panjangnya. Namun v bukan sebuah skalar.

Skalar pada ruang vektorSunting

Sebuah ruang vektor didefinisikan sebagai sebuah himpunan vektor (grup abelian aditif, additive abelian group), sebuah himpunan skalar (lapangan), dan sebuah operasi perkalian skalar yang mengalikan skalar   dan vektor   untuk menghasilkan vektor baru  . Sebagai contoh, dalam ruang koordinat, perkalian skalar   menghasilkan vektor  . Pada ruang fungsi (linear), perkalian skalar   adalah sebuah fungsi  .

Skalar dapat dipilih dari sebarang lapangan, termasuk bilangan aljabar, rasional, real, dan kompleks, maupun lapangan hingga.

Skalar dari komponen vektorSunting

Menurut teorema fundamental aljabar linear, setiap ruang vektor memiliki sebuah basis. Hal ini mengakibatkan setiap ruang vektor atas lapangan   akan isomorfik ke suatu ruang vektor koordinat, dengan semua koordinatnya berupa elemen dari  . Sebagai contoh, setiap ruang vektor real berdimensi   isomorfik dengan ruang real  .

Skalar pada ruang vektor bernormaSunting

Alternatif lain, sebuah ruang vektor   juga dapat dilengkapi dengan suatu fungsi norma yang memetakan setiap vektor   di   dengan skalar  . Dari definisi, perkalian   dengan skalar   akan ikut mengalikan normanya dengan  . Jika   diintepretasikan sebagai jarak dari  , maka operasi ini dapat dianggap sebagai penskalaan panjang   sebesar  . Ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah norma disebut dengan ruang vektor bernorma.

Skalar pada modulSunting

Jika syarat agar sebuah himpunan skalar dapat membentuk lapangan dilonggarkan, sehingga hanya perlu membentuk sebuah gelanggang, struktur aljabar yang terbentuk adalah sebuah modul. Pada gelanggang, konsep pembagian skalar tidak perlu definisikan, dan skalar tidak perlu komutatif.

Dalam kasus ini istilah "skalar" dapat berupa objek yang rumit.

Transformasi penskalaanSunting

Perkalian skalar dari pada ruang vektor dan modul adalah kasus khusus dari penskalaan, salah satu bentuk transformasi linear.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ "Mathwords: Scalar". www.mathwords.com. Diakses tanggal 2021-11-02. 
  2. ^ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications  (edisi ke-3rd). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4. 
  3. ^ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-4th). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6. 
  4. ^ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-98258-2. 

Pranala luarSunting