Elemen penyerap

Dalam matematika, elemen penyerap (atau elemen pemusnah) adalah tipe khusus dari elemen himpunan dengan operasi biner pada himpunan. Hasil penggabungan elemen penyerap dengan elemen himpunan adalah elemen penyerap sendiri. Dalam teori semigrup, elemen penyerap disebut elemen nol[1][2] karena tidak ada risiko kebingungan dengan pengertian lain nol, dengan pengecualian penting: di bawah notasi aditif nol, secara alami, menunjukkan elemen netral sebuah monoid. Dalam artikel ini, "elemen nol" dan "elemen penyerap" sama artinya.

DefinisiSunting

Secara resmi, maka (S, •) adalah himpunan S dengan operasi biner tertutup • di atas (dikenal sebagai magma). Elemen nol adalah elemen z sehingga untuk semua s dalam S, zs = sz = z. Perbaikan[2] adalah pengertian dari kiri nol, dimana zs = z, dan nol kanan, dimana sz = z.

Elemen penyerap sangat penting untuk semigrup, terutama semigrup perkalian dari semigelanggang. Dalam kasus semigelanggang dengan 0, definisi elemen penyerap terkadang dilonggarkan sehingga tidak diperlukan untuk menyerap 0; jika tidak, 0 akan menjadi satu-satunya elemen penyerap.[3]

SifatSunting

  • Jika magma menggunakan nol kiri z dan nol kanan z′, maka magma menggunakan nol, karena z = zz′ = z.
  • Magma menggunakan lebih dari satu elemen nol.

ContohSunting

  • Contoh paling terkenal dari elemen penyerap adalah aljabar elementer, dimana bilangan dikalikan dengan nol sama dengan nol. Nol dengan demikian merupakan elemen penyerap.
  • Nol dari setiap gelanggang merupakan elemen penyerap. Untuk elemen r dari sebuah gelanggang R, r=r(1+0)=r+r0, so r0=0, karena nol adalah elemen unik a dimana r+a=r untuk setiap r dalam gelanggang R.
  • Titik mengambang aritmetika didefinisikan dalam standar IEEE-754 mengandung nilai khusus yang disebut Not-a-Number ("NaN"). Elemen penyerap untuk setiap operasi; yaitu, x + NaN = NaN + x = NaN, x − NaN = NaN − x = NaN, dll.
  • Himpunan relasi biner di atas himpunan X, dengan komposisi relasi membentuk monoid dengan nol, dimana elemen nol adalah relasi kosong (himpunan kosong).
  • Interval tertutup H = [0, 1] dengan xy = min(x, y) sebagai monoid dengan nol, dan elemen nol adalah 0.
  • Contoh lainnya:
Domain Operasi Penyerap
Bilangan riil Perkalian 0
Bilangan bulat Pembagi persekutuan terbesar 1
Persegi matriks n-oleh-n Perkalian matriks lMatriks semua nol
Bilangan riil ekstensi Minimum/infimum −∞
Maximum/supremum +∞
Himpunan Persimpangan Himpunan kosong
Himpunan bagian dari himpunan M Union M
Logika Boolean Logika dan Falsiti
Logika atau Truth

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ J.M. Howie, pp. 2–3
  2. ^ a b M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15
  3. ^ J.S. Golan p. 67

ReferensiSunting

  • Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9. 
  • M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
  • Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8. 

Pranala luarSunting