Tesseract (geometri)

Dalam geometri, Tesseract adalah analogi empat dimensi dari kubus; Tesseract adalah nilai pangkat tiga karena pangkat tiga tery adalah persegi. Sama seperti permukaan kubus yang terdiri dari enam persegi bagian wajah, permukaan hiper dari tesseract terdiri dari delapan kubus pada bagian sel. Tesseract adalah salah satu dari enam Polytope Cembung .

Tesseract
Sel ke 8
Kubus pada nilai 4
TipeConvex regular 4-polytope
Simbol Schläfli{4,3,3}
t0,3{4,3,2} or {4,3}×{ }
t0,2{4,2,4} or {4}×{4}
t0,2,3{4,2,2} or {4}×{ }×{ }
t0,1,2,3{2,2,2} or { }×{ }×{ }×{ }
Sel8 {4,3} Hexahedron.png
Wajah24 {4}
Tepi32
Grup CoxeterB4, [3,3,4]
Dual16-cell
Properticonvex, isogonal, isotoxal, isohedral
Indeks seragam10
Jaring jaring dari sebuah tesseract

Tesseract tersebut juga disebut delapan sel, C8, (beraturan) octachoron, oktahedroid,[1] prisma kubik, dan tetrakubus.[2] Hal tersebut adalah hiperkubus empat dimensi, sebagai bagian dari keluarga dimensi hiperkubus atau mengukur polytope.[3] Coxeter memberi label dalam bentuk pada polytope.[4]

Menurut (Kamus Bahasa Inggris: Oxford English Dictionary), kata tesseract pertama kali diucapkan dan pertama kali ditemukan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dalam bukunya A New Era of Thought, dari bahasa Yunani τέσσερεις ἀκτίνες (téssereis aktines, "empat sinar"), mengacu pada empat garis dari setiap simpul ke simpul lainnya.[5] Dalam publikasi ini, serta beberapa karya Hinton selanjutnya, kata itu kadang-kadang dieja "tessaract".

GeometriSunting

Tesseract dapat dibangun dengan berbagai cara. Sebagai politop beraturan dengan dalam bentuk tiga dimensi pada kubus yang dilipat bersama di setiap sisi, ia memiliki nilai pada simbol Schläfli {4,3,3} dengan simetri hiperoktahedral dengan orde 384. Dibangun sebagai dalam bentuk 4D hiperprisma yang terbuat dari dua kubus paralel yang dapat dinamai sebagai komposit simbol Schläfli {4,3} × { }, dengan urutan kesimetrian 96. Sebagai 4-4 duoprisme, perkalian Kartesius dari dua kotak, dapat dinamai dengan simbol komposit Schläfli {4}×{4}, dengan urutan kesimetrian 64. Sebagai ortotop ia dapat diwakili oleh simbol komposit Schläfli { } × { } × { } × { } or { }4, with symmetry order 16.

Karena setiap simpul dari sebuah tesseract berdekatan dengan empat sisi, gambar simpul dari tesseract adalah sebuah tetrahedron biasa. Dual polytope dari tesseract disebut hexadecachoron beraturan, atau 16-sel, dengan simbol Schläfli {3,3,4}, yang dengannya ia dapat digabungkan untuk membentuk senyawa tesseract dan 16-sel.

Tesseract Dalam bentuk standar di Ruang Euklides 4 diberikan sebagai lambung cembung dari poin (±1, ±1, ±1, ±1). Artinya, itu terdiri dari poin-poin:

 


Proyeksi ke dua dimensiSunting

Konstruksi hiperkubus dapat dibayangkan sebagai berikut:

  • 1 Dimensi: Dua titik A dan B dapat dihubungkan menjadi sebuah garis, memberikan ruas garis baru AB.
  • 2 Dimensi: Dua segmen garis sejajar AB dan CD dapat dihubungkan menjadi persegi, dengan sudut-sudutnya ditandai sebagai ABCD.
  • 3 Dimensi: Dua kotak sejajar ABCD dan EFGH dapat dihubungkan menjadi kubus, dengan sudut-sudutnya ditandai sebagai ABCDEFGH.
  • 4 Dimensi: Dua kubus paralel ABCDEFGH dan IJKLMNOP dapat dihubungkan menjadi sebuah tesseract, dengan sudut-sudutnya bertanda ABCDEFGHIJKLMNOP.
 
Proyeksi 3D dari 8-sel yang melakukan rotasi sederhana tentang bidang yang membagi dua gambar dari kiri depan ke kanan belakang dan atas ke bawah
 
Diagram yang menunjukkan cara membuat tesseract dari suatu titik
 
Animasi pergeseran dalam dimensi seperti yang ditunjukkan di atas

Dimungkinkan untuk memproyeksikan tesseract ke dalam ruang tiga dan dua dimensi, mirip dengan memproyeksikan kubus ke dalam ruang dua dimensi.

Proyeksi pada bidang 2D menjadi lebih instruktif dengan mengatur ulang posisi simpul yang diproyeksikan. Dengan cara ini, seseorang dapat memperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial di dalam tesseract, tetapi yang mengilustrasikan struktur koneksi simpul, seperti pada contoh berikut:

Tesseract pada prinsipnya diperoleh dengan menggabungkan dua kubus. Skema tersebut mirip dengan konstruksi kubus dari dua persegi: menyandingkan dua salinan kubus berdimensi lebih rendah dan menghubungkan simpul yang sesuai. Setiap tepi tesseract memiliki panjang yang sama. Pandangan ini menarik saat menggunakan tesseracts sebagai dasar untuk topologi jaringan untuk menghubungkan beberapa prosesor dalam komputasi paralel: jarak antara dua node paling banyak 4 dan ada banyak jalur berbeda untuk memungkinkan penyeimbangan bobot.

Proyeksi paralel ke 3 DimensiSunting

 
Dodecahedron belah ketupat membentuk lambung cembung dari proyeksi paralel pertama titik tesseract. Jumlah simpul pada lapisan proyeksi ini adalah 1 4 6 4 1 — baris keempat dalam segitiga Pascal.
 
Amplop proyeksi paralel dari tesseract (setiap sel digambar dengan permukaan warna berbeda, sel terbalik tidak digambar)

Proyeksi paralel vertex-first dari tesseract ke dalam ruang tiga dimensi memiliki amplop dodecahedral belah ketupat. Dua simpul dari tesseract diproyeksikan ke asalnya. Tepat ada dua cara diseksi dodecahedron belah ketupat menjadi empat kongruen rhombohedra, memberikan total delapan kemungkinan rhombohedra, masing-masing memproyeksikan kubus dari tesseract. Proyeksi ini juga merupakan proyeksi dengan volume maksimal. Satu set vektor proyeksi adalah u=(1,1,-1,-1), v=(-1,1,-1,1), w=(1,-1,-1,1).

Sebagai konfigurasiSunting

matriks konfigurasi mewakili tesseract. Baris dan kolom sesuai dengan simpul, tepi, wajah, dan sel. Angka diagonal menunjukkan berapa banyak dari setiap elemen yang terjadi di seluruh tesseract. Angka-angka nondiagonal menunjukkan berapa banyak elemen kolom yang terjadi di dalam atau di elemen baris.[6]

 

GaleriSunting

Tesseract dapat dilipat menjadi delapan kubus menjadi ruang 3D, seperti halnya kubus dapat dibuka menjadi enam kotak menjadi ruang 2D. Pembukaan polytope disebut Jaring. Ada 261 jaring berbeda dari Tesseract.[7] Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memetakan jaring ke pohon berpasangan (pohon bersama dengan pencocokan sempurna di pelengkap).  
Stereoscopic Proyeksi 3D dari sebuah Tesseract (tampilan paralel)

 

Proyeksi alternatifSunting

 
Proyeksi 3D dari sebuah tesseract yang melakukan rotasi ganda sekitar dua bidang ortogonal
Proyeksi 3D dari tiga tesseracts dengan dan tanpa wajah
 
Perspektif dengan 'penghapusan volume tersembunyi' . Sudut merah adalah yang terdekat dalam 4D dan memiliki 4 sel kubus yang bertemu di sekitarnya.

Tetrahedron membentuk convex hull dari proyeksi pusat pusat-puncak tesseract. Empat dari 8 sel kubik ditampilkan. Verteks ke-16 diproyeksikan ke tak terhingga dan keempat sisi padanya tidak ditampilkan.

 
Proyeksi stereografik

(Tepi diproyeksikan ke Bola pada nilai 3)

Proyeksi ortografi 2DSunting

Proyeksi ortografi
Bidang Coxeter B4 B3 / D4 / A2 B2 / D3
Graph      
Simetri dihedral [8] [6] [4]
Bidang Coxeter Lain F4 A3
Grafik      
Simetri dihedral [2] [12/3] [4]

CatatanSunting

  1. ^ Matila Ghyka, Geometri Seni dan Kehidupan (1977), p.68
  2. ^ Istilah ini juga bisa berarti kubus polikus yang terbuat dari empat kubus
  3. ^ Elte, E. L. (1912). Polytopes Semiregular dari Hyperspaces. Groningen: University of Groningen. ISBN 1-4181-7968-X. 
  4. ^ Coxeter 1973, hlm. 122-123, §7.2. illustration Fig 7.2C.
  5. ^ "Home : Oxford English Dictionary". Oed.com. Diakses tanggal 21 Januari 2018. 
  6. ^ Coxeter 1973, hlm. 12, §1.8 Konfigurasi.
  7. ^ "Unfolding an 8-cell". Unfolding.apperceptual.com. Diakses tanggal 21 Januari 2018. 

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

Tautan luarSunting

Templat:Regular 4-polytopes Templat:Polytopes