Bola (geometri)

Dalam geometri, bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama. Bola hanya memiliki 1 sisi.

Bangun bola dengan jari-jari

PersamaanSunting

 
Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat (x0, y0, z0) dan jari jari r adalah lokus titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga

 

biarkan a, b, c, d, e bilangan real dengan sebuah a ≠ 0 dan put

 

Lalu persamaan

 

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika   dan disebut persamaan bola imajiner. Jika  , satu-satunya solusi   adalah intinya   dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini  ,   adalah persamaan bola yang pusatnya adalah   dan yang radiusnya adalah  .[1]

Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f(x, y, z) = 0 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.[2]

Titik-titik di bola dengan jari-jari   dan pusat   dapat diparameterisasi via

 [3]

Keliling   dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling   dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

 

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,(x, y, z) dan (dx, dy, dz), yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.[4]

Rumus bolaSunting

Luas permukaanSunting

Luas permukaan pada bola yaitu.

 

Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini[5] dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.[6] Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan   karena volume total di dalam bola jari-jari   dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari   hingga jari jari  . Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shell yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari   hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari   dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu  , volume tambahan ( δV ) sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari r ( A ( r ) dan ketebalan cangkang ( δr ):

 

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:

 

Dalam batas ketika approachesr mendekati nol [7] persamaan ini menjadi:

 

Pengganti  :

 

Membedakan kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan   menghasilkan   sebagai fungsi  :

 

di mana r sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh dA = r2 sin θ dθ dφ. Dalam Kordinat Kartesius, elemen luas adalah

 

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

 

Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu.[8] Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut luas permukaan spesifik dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

 

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

VolumeSunting

Volume pada bola yaitu:

 

Pada setiap   yang diberikan , volume tambahan ( δV ) sama dengan produk dari luas penampang disk pada   dan ketebalannya ( δx ):

 

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:

 

Dalam batas ketika δx mendekati nol,[7] persamaan ini menjadi:

 

Pada setiap x yang diberikan , segitiga siku-siku menghubungkan x , y dan r ke titik asal; karenanya, menerapkan Teorema Pythagoras menghasilkan:

 

Menggunakan substitusi ini memberi

 

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya

 

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume

 

begitu

 

Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena V = π6 d3, di mana d adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan π6 ≈ 0.5236. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m 3

Geometri bolaSunting

Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis . Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik , yang merupakan lingkaran besar ; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik , termasuk postulat paralel . Dalam trigonometri bola , sudut didefinisikan antara lingkaran besar. Trigonometri bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

GambarSunting

 
Gambar salah satu bidang buatan manusia yang paling akurat, karena membiaskan gambar Einstein di latar belakang. Bola ini adalah giroskop kuarsa berfusi untuk percobaan Gravity Probe B , dan berbeda dalam bentuk dari bola sempurna dengan ketebalan tidak lebih dari 40 atom (kurang dari 10 nm). Diumumkan pada 1 Juli 2008 bahwa para ilmuwan Australia telah menciptakan bola yang bahkan hampir sempurna, akurat hingga 0,3 nm, sebagai bagian dari perburuan internasional untuk menemukan kilogram standar global baru.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Albert54
  2. ^ Woods 1961, p. 266.
  3. ^ (Kreyszig 1972, hlm. 342).
  4. ^ Albert 2016, p. 60.
  5. ^ (Inggris) Eric W. Weisstein, Sphere di MathWorld.
  6. ^ Steinhaus 1969, p. 221.
  7. ^ a b E.J. Borowski; J.M. Borwein. Collins Dictionary of Mathematics. hlm. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1. 
  8. ^ Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84: 1187. Diakses tanggal 14 December 2019. 

Pranala luarSunting