Teorema Stokes rampat

Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan^[1]) adalah pernyataan tentang integrasi dari bentuk diferensial pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial $ω$ di atas batas dari beberapa berorientasi lipatan $Ω$ sama dengan integral turunan luar $dω$ di seluruh $Ω$ , yaitu:

\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }d\omega \,.

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945,^[2] mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, Édouard Goursat, dan Henri Poincaré.^[3]^[4]

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh Lord Kelvin dikomunikasikan kepada George Stokes dalam surat tertanggal 2 Juli 1850.^[5]^[6]^[7] Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name. It was first published by Hermann Hankel in 1861.^[7]^[8] Kelvin–Stokes teorema klasik tersebut menghubungkan integral permukaan dari curl dari bidang vektor $F$ di atas permukaan (yaitu, fluks dari $curl F$ ) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

Contoh analisis vektor klasik sederhana

Mari $γ : [a, b] \to R 2$ menjadi sedikit demi sedikit mulus kurva bidang Jordan. Teorema kurva Yordania menyiratkan hal itu $γ$ membagi $R 2$ menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan $D$ menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh $γ$ dan misalkan $ψ : D \to R 3$ halus, dengan $S := ψ (D)$ . Jika $Γ$ adalah kurva spasi yang ditentukan oleh $Γ(t) = ψ (γ (t))$ ^{[note 1]} dan $F$ adalah bidang vektor mulus pada $R 3$ , kemudian:^[9]^[10]^[11]

\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,\cdot \,d\mathbf {S}

Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

Pengantar sunting

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral dari suatu fungsi $f$ selama interval $[a, b]$ dapat dihitung dengan mencari antiturunan $F$ of $f$ :

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.

Teorema Stokes adalah rampatan yang luas dari teorema ini dalam pengertian. Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral ( $f dx = dF$ ) di atas manifold 1 dimensi ( $[a, b]$ ) dengan mempertimbangkan anti turunan ( $F$ ) di batas 0-dimensi ( ${a, b}$ ), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral ( $dω$ ) di atas $n$ -manifold dimensional ( $Ω$ ) dengan mempertimbangkan antiturunan ( $ω$ ) pada $(n - 1)$ -batas dimensi ( $\partialΩ$ ) dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

\int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.

Formulasi untuk lipatan halus dengan batas sunting

Jadi $Ω$ menjadi berorientasi lipatan halus dengan batas dimensi $n$ dan biarkan $α$ jadi polos $n$ -bentuk diferensial yaitu didukung secara kompak aktif $Ω$ . Pertama, anggap saja $α$ didukung secara kompak dalam domain tunggal, berorientasi diagram koordinat ${U, φ}$ . Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari $α$ atas $Ω$ sebagai

\int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}\left(\varphi ^{-1}\right)^{*}\alpha \,,

yaitu, melalui pullback dari $α$ ke $R n$ .

Secara umum, integral dari $α$ di atas $Ω$ didefinisikan sebagai berikut: biar ${ψ i}$ menjadi partisi kesatuan terkait dengan terbatas lokal sampul ${U i, φ i}$ dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

\int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke $R n$ seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

Teorema. (Stokes–Cartan) Jika $\omega$ adalah halus $(n-1)$ -bentuk dengan dukungan ringkas pada $n$ -dimensi halus berjenis-dengan-batas $\Omega$ , $\partial \Omega$ menunjukkan batas dari $\Omega$ given the induced orientation, and $i:\partial \Omega \hookrightarrow \Omega$ is the inclusion map, then

$\int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }i^{*}\omega$ .

Secara konvensional, ${\textstyle \int _{\partial \Omega }i^{*}\omega }$ disingkat sebagai ${\textstyle \int _{\partial \Omega }\omega }$ , karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: $i^{*}\omega =\omega |_{\partial \Omega }$ . Saat $d$ adalah turunan eksterior, yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ untuk menekankan fakta bahwa $(n-1)$ -manifold $\partial \Omega$ tidak memiliki batasan.^{[Catatan penting 1]} (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu $n$ -berjenis dimensi $\Omega$ , penerapan teorema dua kali memberi ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ untuk apapun $(n-2)$ -bentuk $\omega$ , yang menyiratkan itu $\partial (\partial \Omega )=\emptyset$ .) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where $\Omega$ is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often $\mathbf {R} ^{k}$ , on which the form $\omega$ is defined.

Pendahuluan topologi; integral melalui rantai sunting

Maka $M$ menjadi lipatan halus. Simpleks- $k$ dengan $M$ didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada $R k$ ke $M$ . Grup $C k (M, Z)$ dari singular kaidah- $k$ pada $M$ didefinisikan sebagai grup abelian bebas pada himpunan singular sederhana dalam $M$ . Grup ini, dengan peta batas, $\partial$ , mendefinisikan kompleks kaidah. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup homologi tunggal biasa $H k (M, Z)$ (resp. grup kohomologi tunggal $H k (M, Z)$ ), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari $M$ .

Di sisi lain, bentuk diferensial, dengan turunan eksterior, $d$ , sebagai peta penghubung, membentuk kompleks cochain, yang mendefinisikan grup kohomologi de Rham $H k dR (M, R)$ .

Prinsip pendasar sunting

Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi $d = 2$ . Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, sederhana), yang biasanya tidak sulit.

Rampat himpunan kasar sunting

Suatu daerah (di sini disebut

D

bukan

Ω

) dengan batas mulus sebagian. lipatan dengan sudut jadi batasnya bukanlah lipatan yang mulus.

Rumus di atas, di mana $Ω$ adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat $x$ dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa $Ω$ bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku. Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena $Ω$ dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan mengukur nol).

Lihat pula sunting

Catatan kaki sunting

^ $γ$ dan $Γ$ keduanya adalah loop, $Γ$ belum tentu merupakan kurva Yordania

Catatan penting sunting

^ Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di termodinamika, di mana sering diekspresikan sebagai $\oint W {d total U}$ muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral $W$ adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana $U$ adalah fungsi dari suhu $α 1 := T$ , volume $α 2 := V$ , dan polarisasi listrik $α 3 := P$ dari sampel, seseorang memiliki
$\{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,$
dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral
$\oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.$

Referensi sunting

^ Fisika Collisional Plasmas - Pengantar | Michel Moisan | Springer (dalam bahasa Inggris).
^ Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann.
^ Katz, Victor J. (1979-01-01). "Sejarah Teorema Stokes". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275.
^ Katz, Victor J. (1999). "5. Bentuk Diferensial". Dalam James, I. M. Sejarah Topologi. Amsterdam: Elsevier. hlm. 111–122. ISBN 9780444823755.
^
Lihat:
- Katz, Victor J. (Mei 1979). "Sejarah teorema Stokes". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770.
- Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B., ed. Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, Inggris: Cambridge University Press. hlm. 96–97. ISBN 9780521328319.
- Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. hlm. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem.
- Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh, ed. Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes. 5. Cambridge, Inggris: University of Cambridge Press. hlm. 320–321.
^ Darrigol, Olivier (2000). Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein. Oxford, England. hlm. 146. ISBN 0198505930.
^ ^a ^b Spivak (1965), p. vii, Preface.
^
See:
- Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan Edward John Routh. Lihat: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M., ed. The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. hlm. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.
- Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. 1. Oxford, England: Clarendon Press. hlm. 25–27. Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".
^ Stewart, James (2010). Kalkulus Esensial: Transendental Awal. Cole.
^ Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl (University of Bath, Inggris) [1], please refer the [2]
^ This proof is also same to the proof shown in

Bacaan lebih lanjut sunting

Grunsky, Helmut (1983). The General Stokes' Theorem . Boston: Pitman. ISBN 0-273-08510-7.
Katz, Victor J. (May 1979). "The History of Stokes' Theorem". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275.
Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (2014). Advanced Calculus. Hackensack, New Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4583-93-0.
Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58956-8.
Marsden, Jerrold E.; Anthony, Tromba (2003). Vector Calculus (edisi ke-5th). W. H. Freeman.
Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York, NY: McGraw–Hill. ISBN 0-07-054235-X.
Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
Stewart, James (2009). Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning. hlm. 960–967. ISBN 978-0-495-55742-5.
Stewart, James (2003). Calculus: Early Transcendental Functions (edisi ke-5th). Brooks/Cole.
Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (edisi ke-2nd). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3.

Pranala luar sunting

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Stokes formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation

[cgamma-9] $γ$ dan $Γ$ keduanya adalah loop, $Γ$ belum tentu merupakan kurva Yordania

[13] Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di termodinamika, di mana sering diekspresikan sebagai $\oint W {d total U}$ muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral $W$ adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana $U$ adalah fungsi dari suhu $α 1 := T$ , volume $α 2 := V$ , dan polarisasi listrik $α 3 := P$ dari sampel, seseorang memiliki
$\{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,$
dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral
$\oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.$

[1] Fisika Collisional Plasmas - Pengantar | Michel Moisan | Springer (dalam bahasa Inggris).

[2] Cartan, Élie (1945). Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Paris: Hermann.

[3] Katz, Victor J. (1979-01-01). "Sejarah Teorema Stokes". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.2307/2690275. JSTOR 2690275.

[4] Katz, Victor J. (1999). "5. Bentuk Diferensial". Dalam James, I. M. Sejarah Topologi. Amsterdam: Elsevier. hlm. 111–122. ISBN 9780444823755.

[5] Lihat:
Katz, Victor J. (Mei 1979). "Sejarah teorema Stokes". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770.

Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B., ed. Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, Inggris: Cambridge University Press. hlm. 96–97. ISBN 9780521328319.

Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. hlm. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem.

Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh, ed. Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes. 5. Cambridge, Inggris: University of Cambridge Press. hlm. 320–321.

[8] Katz, Victor J. (Mei 1979). "Sejarah teorema Stokes". Mathematics Magazine. 52 (3): 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770.

[9] Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: Thomson, William; Stokes, George Gabriel (1990). Wilson, David B., ed. Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge, Inggris: Cambridge University Press. hlm. 96–97. ISBN 9780521328319.

[10] Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: Hankel, Hermann (1861). Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [On the general theory of the movement of fluids]. Göttingen, Germany: Dieterische University Buchdruckerei. hlm. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem.

[11] Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: Stokes, George Gabriel (1905). Larmor, Joseph; Strutt, John William, Baron Rayleigh, ed. Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes. 5. Cambridge, Inggris: University of Cambridge Press. hlm. 320–321.

[6] Darrigol, Olivier (2000). Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein. Oxford, England. hlm. 146. ISBN 0198505930.

[spivak65-7] Spivak (1965), p. vii, Preface.

[8] See:
Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan Edward John Routh. Lihat: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M., ed. The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. hlm. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.

Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. 1. Oxford, England: Clarendon Press. hlm. 25–27. Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".

[15] Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan Edward John Routh. Lihat: Clerk Maxwell, James (1990). Harman, P. M., ed. The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge, England: Cambridge University Press. hlm. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation.

[16] Clerk Maxwell, James (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. 1. Oxford, England: Clarendon Press. hlm. 25–27. Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".

[Jame-10] Stewart, James (2010). Kalkulus Esensial: Transendental Awal. Cole.

[bath-11] Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl (University of Bath, Inggris) [1], please refer the [2]

[proofwik-12] This proof is also same to the proof shown in

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[note 1]

[9]

[10]

[11]

[Catatan penting 1]