Akar satuan

Dalam matematika, akar kesatuan adalah setiap bilangan kompleks yang dipangkatkan dengan setiap bilangan bulat positif n menghasilkan nilai 1. Akar kesatuan banyak dipakai dalam cabang matematika, khususnya di cabang teori bilangan, teori karakter grup, dan transformasi Fourier diskret.

Pada bidang kompleks, titik berwarna biru menunjukkan akar kesatuan ke-5

Dalam aljabar abstrak, akar kesatuan dapat didefinisikan di setiap medan. Jika karakteristik medan bernilai nol, maka akarnya yang merupakan bilangan kompleks juga merupakan bilangan aljabar. Untuk medan dengan karakteristik yang bernilai positif, akar-akarnya merupakan milik medan hingga, dan sebaliknya, setiap anggota taknol dari medan hingga merupakan akar kesatuan. Setiap medan tertutup secara aljabar mengandung setidaknya ada n akar kesatuan ke-n, kecuali ketika n adalah kelipatan dari karakteristik medan (yang bernilai positif).

Definisi umum

Akar satuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan

$z^{n}=1.$

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah

$\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.$

Sifat dasar

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n, sebab

$(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-n:

${\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.$

Sifat pada grup

Grup semua akar satuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika x^m = 1 dan yⁿ = 1, maka (x⁻¹)^m = 1, dan (xy)^k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar satuan ke-n

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n. Oleh karena itu, akar satuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.$

Substitusi x = 2πn menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu

$\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$

akan tetapi

$\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1$

untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,

$\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

merupakan akar satuan primitif ke-n.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).

Rumus Euler

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk

$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.$

Grup siklik

Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.