Grup topologi

grup G bersama dengan topologi pada G sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke inversnya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi

Dalam matematika, grup topologis adalah grup G bersama dengan topologi pada sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke balikkannya masing-masing adalah fungsi kontinu yang berkaitan dengan topologi. Grup topologis adalah objek matematika dengan struktur aljabar dan struktur topologi. Jadi, salah satunya dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan salah satunya dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya.

Bilangan riil membentuk grup topologis di bawah penambahan

Grup topologis, bersama dengan aksi grup kontinu, digunakan untuk mempelajari simetri kontinu, yang memiliki banyak penerapan, misalnya dalam fisika. Dalam analisis fungsional, setiap ruang vektor topologis adalah grup topologis aditif dengan sifat tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologis dapat diterapkan pada analisis fungsional.

Definisi formalSunting

Grup topologis, G, adalah ruang topologi yang juga merupakan grup operasi grup (dalam hal ini darab):

 ,  

dan peta balikkan:

 ,  

adalah kontinu.[note 1] Disini G × G dipandang sebagai ruang topologi dengan topologi darab. Topologi seperti itu dikatakan serasi dengan operasi grup dan disebut topologi grup.

Memeriksa kekontinuan

Peta darab kontinu jika dan hanya jika untuk   dan setiap lingkungan   dari   di  , terdapat lingkungan   dari   dan   dari   pada   sehingga  , dimana  }. Peta balikkan kontinu jika dan hanya jika   dan suatu lingkungan   dari   pada  , lingkungan   dari   ke   sehingga  , dimana  .

Untuk menunjukkan bahwa topologi serasi dengan operasi grup, itu sudah cukup untuk memeriksa peta

 ,  

adalah kontinu. Secara eksplisit, ini berarti bahwa untuk   dan suatu lingkungan   oleh   dari xy −1, ada lingkungan   dari   dan   dari   di   maka  .

Notasi aditif

Definisi ini menggunakan notasi untuk grup perkalian; padanan untuk grup aditif adalah bahwa dua operasi berikut kontinu:

 ,  
 ,  .
Ke-Hausdorff-an

Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis[1] perlu bahwa topologi pada   menjadi Hausdorff. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap grup topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan grup topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; Ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan grup topologi takHausdorff asli. Alasan lain, dan beberapa kondisi yang setara, dibahas di bawah ini.

Artikel ini tidak akan mengasumsikan bahwa grup topologi selalu Hausdorff.

Kategori

Dalam bahasa teori kategori, grup topologi dapat didefinisikan secara ringkas sebagai objek grup dalam kategori ruang topologi, dengan cara yang sama seperti grup biasa adalah objek grup dalam kategori himpunan. Perhatikan bahwa aksioma diberikan dalam bentuk peta (darab biner, balikkan uner, dan identitas nol), oleh karena itu definisi kategoris.

KehomomorfanSunting

Kehomomorfan dari grup topologis berarti kehomomorfan grup  . Grup topologis, bersama dengan kehomomorfannya, membentuk kategori. kehomomorfan grup antara grup topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada beberapa titik.[2]

Keisomorfan dari grup topologis adalah grup keisomorfan yang juga merupakan homeomorfisme dari ruang topologi yang mendasarinya. Ini lebih kuat daripada hanya perlu keisomorfan grup kontinu, kebalikannya juga harus kontinu. Terdapat contoh grup topologis yang isomorfik sebagai grup biasa tetapi tidak sebagai grup topologis. Memang, setiap grup topologis takdiskret juga merupakan grup topologis bila dipertimbangkan dengan topologi diskret. Grup yang mendasari sama, tetapi sebagai grup topologis tidak ada keisomorfan.

ContohSunting

Setiap grup dapat dengan mudah dibuat menjadi grup topologis dengan mempertimbangkannya menggunakan topologi diskret; grup seperti itu disebut grup diskret. Dalam pengertian ini, teori grup topologi mengasumsikan bahwa grup biasa. Topologi takdiskret (yaitu topologi trivial) juga membuat setiap grup menjadi grup topologis.

Bilangan real,   dengan topologi biasa membentuk grup topologis di bawah tambahan. Ruang Euklidean-n dari   juga merupakan grup topologis dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap ruang vektor topologis membentuk grup topologis (Abel). Beberapa contoh lain dari grup topologis Abel adalah grup lingkaran  , atau torus   untuk bilangan asli  .

Grup klasik adalah contoh penting dari grup topologis takAbel. Misalnya, grup linear umum   mengenai semua terbalikkan matriks   kali   dengan entri real dapat dilihat sebagai grup topologis dengan topologi yang ditentukan dengan melihat   sebagai subruang dari ruang Euklides  . Grup klasik lainnya adalah grup ortogonal  , grup dari semua peta linear dari   terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan panjang dari semua vektor. Grup ortogonal adalah kompak sebagai sebuah ruang topologi. Banyak dari geometri Euklides dapat dipandang sebagai mempelajari struktur grup ortogonal, atau grup yang terkait erat   mengenai isometri dari  .

Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua grup Lie, artinya grup tersebut manifold halus sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah mulus, tidak hanya kontinu. Grup Lie adalah grup topologis yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang aljabar Lie dan kemudian diselesaikan.

Contoh grup topologis yang bukan grup Lie adalah grup aditif   dari bilangan rasional, dengan topologi yang diwarisi dari  . Ini adalah ruang terhitung, dan tidak memiliki topologi diskret. Contoh yang penting untuk teori bilangan adalah grup   dari bilangan bulat p-adik, untuk bilangan prima  , yang berarti batas balikkan dari grup hingga   karena   menuju takterhingga. Grup   is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke himpunan Cantor), tetapi berbeda dari grup Lie (real) karena takterhubung.

Grup   adalah grup pro-hingga; itu isomorfik ke subgrup darab   sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi darab, di mana grup hingga   diberi topologi diskret. Kelas besar lain dari grup pro-terbatas yang penting dalam teori bilangan adalah grup Galois mutlak.

Grup topologis Abel lengkapSunting

Informasi tentang konvergensi jaring dan filter, seperti definisi dan sifat, dapat ditemukan di artikel tentang filter dalam topologi.

Keseragaman kanonik pada grup topologis komutatifSunting

Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologis yang kami anggap adalah grup topologis komutatif aditif dengan elemen identitas 0.

Definisi (Rombongan kanonik dan diagonal):

Diagonal dari X adalah himpunan

ΔX  :=  { (x, x) : xX}

dan untuk NX berisi 0, rombongan kanonik' atau lingkungan kanonik sekitar N' adalah himpunan

ΔX(N)  :=  { (x, y) ∈ X × X : x - yN }  =  yX [(y + N) × { y }]  =  ΔX + (N × { 0 })

Definisi (Keseragaman kanonik):[3] Untuk grup topologi (X, τ), keseragaman kanonik pada X adalah struktur seragam yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik Δ(N) sebagai rentang N di semua lingkungan 0 pada X.

Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada X × X,

{ Δ(N) : N adalah lingkungan 0 pada X}

di mana prefilter ini membentuk apa yang dikenal sebagai basis lingkungan dari keseragaman kanonik.

Definisi (Keseragaman translasi-invarian):[4] Untuk grup aditif komutatif X, sistem dasar lingkungan disebut translasi-invarian jika untuk setiap B ∈ ℬ, (x, y) ∈ B jika dan hanya jika (x + z, y + z) ∈ B for all x, y, zX. Keseragaman disebut translasi-invarian jika memiliki basis lingkungan yang merupakan invarian-translasi.

Catatan:

  • Keseragaman kanonik pada setiap grup topologi komutatif adalah invarian-translasi.
  • Keseragaman kanonik yang sama akan dihasilkan dengan menggunakan basis lingkungan asal alih-alih filter dari semua lingkungan asal.
  • Setiap rombongan ΔX(N) berisi diagonal ΔX := ΔX({0}) = { (x, x) : xX} karena 0 ∈ N.
  • Jika N adalah simetris (yaitu - N = N) kemudian ΔX(N) simetris (yaitu, X(N))op  =  ΔX(N)) dan
    ΔX(N) ∘ ΔX(N)  =  { (x, z) : ∃ yX  such that  x, zy + N }  =  yX [(y + N) × (y + N)]  =  ΔX + (N × N).
  • Topologi yang diinduksi pada X oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan X (yaitu τ).

Pratapis dan jaring CauchySunting

Teori umum ruang seragam s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy pratapis" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada X, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan.

Definisi (Jumlah dan hasil jala):[5] Seharusnya x = (xi)iI adalah jaring di X dan y = (yi)jJ adalah jaring di Y. Buat I × J menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan (i, j) ≤ (i2, j2) jika dan hanya jika ii2 dan jj2. Kemudian x × y  :=  (xi, yj)(i, j) ∈ I×J menunjukkan produk jaring. Jika X = Y lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan X × XX menunjukkan jumlah dari dua jaring ini:

x + y  :=  ( xi + yj )(i, j) ∈ I×J

dan perbedaan mereka didefinisikan sebagai citra bersih produk di bawah peta pengurangan:

x - y  :=  ( xi - yj )(i, j) ∈ I×J.

Definisi (Jaring Cauchy):[6] jaring x = (xi)iI dalam grup topologi aditif X disebut Jaring Cauchy jika

( xi - xj )(i, j) ∈ I×I  →  0  in  X

atau setara, jika untuk setiap lingkungan N dari 0 di X, ada beberapa i0I maka xi - xjN untuk i, ji0 dengan i, jI.

Urutan Cauchy adalah Cauchy net yang berurutan.

Definisi ( N-himpunan kecil):[7] Jika B adalah subset dari grup aditif X dan N adalah himpunan yang berisi 0, lalu kita katakan bahwa B adalah N-kecil atau urutan kecil N if B - BN.

Definisi (Prafilter Cauchy): Sebuah prefilter pada grup topologi aditif X disebut Cauchy prefilter jika memenuhi salah satu kondisi setara berikut:

  1. ℬ  -  ℬ  →  0  in X, dimana  ℬ  -  ℬ  :=  { B  -  C  :  B, C ∈ ℬ } adalah sebuah prefilter.
  2. { B  -  B  :  B ∈ ℬ }  →  0  in X, dimana  { B  -  B  :  B ∈ ℬ } adalah prafilter yang setara dengan ℬ  -  ℬ.
  3. For setiap lingkungan N dari 0 di X, berisi beberapa N-himpunan kecil (yaitu, ada beberapa B ∈ ℬ maka B - BN).[8]

dan jika X komutatif maka juga:

  1. Untuk setiap lingkungan N dari 0 di X, ada beberapa B ∈ ℬ dan beberapa xX maka Bx + N.[7]
  • Itu sudah cukup untuk memeriksa salah satu kondisi di atas untuk setiap basis lingkungan yang diberikan dari 0 di X.

Ucapan:

  • Misalkan adalah pratapis pada grup topologis komutatif X dan xX. Kemudian ℬ → x di X jika dan hanya jika x ∈ cl ℬ dan adalah Cauchy.[5]

GeneralisasiSunting

Berbagai generalisasi grup topologis dapat diperoleh dengan melemahkan kondisi kekontinuan:[9]

  • Grup semitopologi adalah grup   dengan topologi untuk cG dua fungsi GG didefinisikan oleh xxc dan xcx adalah kontinu.
  • Grup kuasitopologi adalah grup semitopologis di mana elemen pemetaan fungsi ke balikkannya juga kontinu.
  • Grup paratopologi adalah grup dengan topologi sedemikian rupa sehingga operasi grup kontinu.

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ yaitu Kontinu artinya untuk himpunan terbuka UG, f −1(U) terbuka di domain dom f dari f.

ReferensiSunting

  1. ^ Armstrong 1997, hlm. 73; Bredon 1997, hlm. 51
  2. ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 19-45.
  3. ^ Edwards 1995, hlm. 61.
  4. ^ Schaefer & Wolff 1999, hlm. 12-19.
  5. ^ a b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 47-66.
  6. ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48.
  7. ^ a b Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48-51.
  8. ^ Narici & Beckenstein 2011, hlm. 48–51.
  9. ^ Arhangel'skii & Tkachenko 2008, hlm. 12.

BibliografiSunting