Diferensial fungsi

Dalam kalkulus, diferensial mewakili bagian utama dari perubahan dalam sebuah fungsi terhadap perubahan dalam variabel bebas. Diferensial didefinisikan oleh

dimana merupakan turunan terhadap , dan merupakan sebuah peubah real tambahan (sehingga merupakan sebuah fungsi dari dan ). Notasinya sehingga persamaan

berlaku, dimana turunan diwakili dalam notasi Leibniz , dan ini sesuai dengan mengenai turunan sebagai hasil bagi dari diferensial. Salah satunya juga menulis

Arti yang tepat dari variabel dan bergantung pada konteks dari penerapan dan aras yang dibutuhkan dari ketelitian matematis. Ranah dari variabel ini dapat diambil pada sebuah arti penting geometris khusus jiak diferensial dianggap sebagai sebuah bentuk diferensial khusus, atau arti penting analitis jika diferensial dianggap sebagai sebuah aproksimasi linear ke riapan fungsi. Secara tradisional, variabel dan dianggap menjadi lebih kecil (infinitesimal), dan interpretasi ini dibuat teliti dalam analisis takstandar.

Sejarah dan penggunaanSunting

Diferensial diperkenalkan pertama kali melalui sebuah intuitif atua definisi heuristik oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang berpikir mengenai diferensial   sebagai sebuah perubahan yang sangat kecil (atau infinitesimal) dalam nilai   dari fungsi, padanan ke sebuah perubahan yang sangat kecil   dalam argumen fungsi  . Untuk alasan tersebut, laju seketika dari perubahan   terhadap  , yang nilai dari turunan dari fungsi, dilambangkan oleh pecahan

 

dalam apa yang disebut notasi Leibniz untuk turunan. Hasil bagi   sangat tidak kecil, daripadanya merupakan sebuah bilangan real.

Penggunaan infintesimal dalam bentuk ini dikritik secara luas, sebagai contohnya oleh selebaran yang terkenal, The Analyst oleh Bishop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) mendefinisikan diferensial tanpa mengajukan banding dengan atomisme dari infinitesimal Leibniz.[1][2] Malahan, Cauchy, mengikuti d'Alembert, membalikkan urutan logis Leibniz dan penerusnya, turunan itu sendiri menjadi objek fundamental, didefinisikan sebagai sebuah limit hasil bagi beda, dan diferensialnya kemudian didefiniskan dalam istilah darinya. Yakni, salah satunya bebas mendefinisikan diferensial   dengan sebuah ekspresi

 

di mana   dan   merupakan variabel baru sederhana yang mengambil nilai real terhingga,[3] bukan infintesimal tetap seperti yang dilakukan oleh Leibniz.[4]

Menurut (Boyer 1959, hlm. 12), pendekatan Cauchy merupakan sebuah penyempurnaan logis yang penting pada pendekatan infinitesimal Leibniz karena, melainkan memohon gagasan metafisik mengenai infinitesimal, kuantitas   dan   sekarang dapat dimanipulasi dalam cara yang persis seketika suatu kuantitas real lainnya dalam sebuah cara yang bermakna. Pengertian keseluruhan Cauchy mendekati diferensial menetapkan yang standar dalam pelakuan analitik,[5] meskipun arti kata pada ketelitian, sebuah gagasan modern sepenuhnya dari limit, pada akhirnya dikarenakan Karl Weierstrass.[6]

Dalam perlakuan fisik, seperti penerapan tersebut ke teori termodinamika, tampilan infinitesimal masih berlaku. (Courant & John 1999, hlm. 184) mempertemukan penggunaan fisik diferensial infintesimal dengan ketidakmungkinan matematis dari mereka sebagai berikut. Diferensial mewakili nilai taknol terhingga yang lebih kecil daripada derajat ketepatan dibutuhkan untuk tujuan khusus yang mereka maksudkan. Demikian "infinitesimal fisik" tidak perlu mengajukan banding dengan sebuah padanan infinitesimal matematis dalam rangka untuk memiliki sebuah arti yang tepat.

Diikuti pengembangan abad keduapuluh dalam analisis matematis dan geometri diferensial, ini menjadi jelas bahwa gagasan dari diferensial fungsi dapat diperluasw dalam berbagai cara. Dalam analisis real, ini lebih diinginkan yang secara langsung berhubungan dengan diferensial sebagai bagian utama dari riapan fungsi. Ini menuju langsung ke gagasan bahwa diferensial fungsi pada sebuah titik merupakan fungsional linear dari sebuah riapan  . Pendekatan ini memungkinkan diferensial (sebagai sebuah pemetaan linear) menjadi dikembangkan untuk beragam ruang-ruang canggih yang lebih banyak, pada akhirnya menimbulkan gagasan tersebut sebagai turunan Fréchet atau Gateaux. Demikian juga, dalam geometri diferensial, diferensial dungsi apda sebuah titik merupakan fungsi linear dari sebuah vektor singgung (sebuah perpindahan yang sangat kecil), yang dapat sendirinya ditaruh pada sebuah pijakan ketelitian (lihat diferensial (infinitesimal)).

DefinisiSunting

 
Diferensial fungsi   pada sebuah titik  .


Diferensial didefinisikan dalam perlakuan modern kalkulus diferensial sebagai berikut.[7] Diferensial fungsi   dari sebuah peubah real tunggal   merupakan fungsi   dari dua peubah real bebas   dan   diberikan oleh

 

Satu atau dua dari argumen dapat ditekan, yaitu, salah satunya dapat melihat   atau menyederhanakan  . Jika  , diferensial juga dapat ditulis sebagai  . Karena  , ini konvensional untuk menulis  , jadi bahwa persamaan berikut berlaku:

 

Gagasan ini yang mengenai diferensial dapat diterapkan secara luas ketika sebuah aproksimasi linear untuk sebuah fungsi dicari, yang mana nilai dari riapan   cukup kecil. Lebih tepatnya, jika   merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan pada  , maka bedanya dalam nilai- 

 

memenuhi

 

dimana galat   dalam aproksimasi memenuhi   ketika  . Dengan kata lain, salah satunya memiliki identitas aproksimasi

 

yang mana galatnya dapat dibuat sekecil yang diinginkan yang berkaitan dengan   dengan menghambat   menjadi cukup kecil, hal tersebut dikatakan,

 

ketika  . Untuk alasan ini, diferensial fungsi dikenal sebagai bagian (linear) utama dalam riapan fungsi: diferensial merupakan sebuah fungsi linear dari riapan  , dan meskipun galat   dapat menjadi taklinear, ini cenderung ke nol dengan cepat ketika   cenderung ke nol.

Diferensial dalam beberapa variabelSunting

Operator atau fungsi    
Diferensial 1:

 
2:
 
3:
 
Turunan parsial
 
 
Turunan total
 
 

Diikuti (Goursat 1904, I, §15), untuk fungsi yang lebih dari satu variabel bebas,

 

diferensial parsial   terhadap salah satu dari variabel   adalah bagian utama dari perubahan dalam   dihasilkan dari sebuah perubahan   dalam satu variabel tersebut. Diferensial parsial adalah

 

melibatkan turunan parsial   terhadap  . Jumlah dari diferensial parsial terhadap semua dari variabel beas merupakan diferensial total

 

di mana bagian utama dari perubahan   dihasilkan dari perubahan dalam variabel bebas  .

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multipeubah, diikuti (Courant 1937b), jika   merupakan fungsi terdiferensialkan, maka oleh definisi dari keterdiferensialan, riapan

 

dimana istilah galat   cenderung ke nol sebagai riapan   bersama-sama cenderung ke nol. Diferensial total kemudian dengan teliti didefinisikan sebagai

 

Karena, dengan definisi ini,

 

salah satunya memiliki

 

Seperti dalam kasus satu variabel, identitas hampirannya berlaku

 

yang mana galat total dapat dibuat sekecil mungkin berkaitan dengan   dengan membatasi perhatian untuk riapan kecil yang cukup.

Penerapan dari diferensial total untuk pendugaan galatSunting

Dalam pengukuran, diferensial total digunakan dalam pendugaan galat   fungsi   berdasarkan galat   dari parameter  . Asumsi bahwa selangnya cukup pendek untuk perubahan menjadi hampir linear

 

dan bahwa semua peubah adalah bebas, maka untuk semua peubah,

 

Ini dikarenakan turunan   terhadap parameter khusus   memberikan kepekaan dari fungsi   untuk sebuah perubahan dalam  , khususnya galat  . Karena mereka diasumsikan menjadi bebas, analisisnya menjelaskan skenario terburuk. Nilai mutlak dari galat komponen digunakan, karena setelah penghitungan yang sederhana, turunan dapat memiliki sebuah tanda negatif. Dari prinsip ini, kaidah galat penjumlahan, perkalian, dst. diturunkan, yakni:

  • Misalkan  ;
  •  ; mengevaluasi turunan
  •  ; membagi dengan  , yang mana  
  •  

Itu dikatakan, dalam perkalian, galat nisbi total merupakan jumlah dari galat nisbi dari parameter.

Untuk mengilustrasikan bagaimana ini bergantung pada fungsi yang dianggap, anggap kasusnya dimana fungsinya adalah   sebagai gantinya. Maka, ini dapat dihitung bahwa penduga galatnya adalah

 

dengan sebuah faktor " " tambahan tidak ditemukan dalam kasus darab sederhana. Faktor tambahan ini cenderung membuat galat menjadi lebih kecil, karena   tidak sebesar

Diferensial tingkat tinggiSunting

Diferensial fungsi tingkat tinggi   dari sebuah peubah   dapat didefinisikan melalui:[8]

 

dan, umumnya,

 

Secara informal, ini memotivasi notasi Leibniz untuk turunan tingkat tinggi

 

Ketika peubah bebas   itu sendiri boleh bergantung pada peubah lainnya, maka ekspresinya menjadi lebih rumit, karena ini juga harus termasuk diferensial tingkat tinggi di   itu sendiri. Demikian, sebagai contohnya,

 

dan seterusnya.

Anggapan yang serupa berlaku untuk mendefinisikan diferensial fungsi tingkat tinggi beberapa peubah. Contohnya, jika   merupakan sebuah fungsi dua variabel   dan  , maka

 

dimana   merupakan sebuah koefisien binomial. Dalam variabel yang lebih banyak, sebuah ekspresi yang sepadan berlaku, tetapi dengan sebuah ekspansi multinomial daripada ekspansi binomial.[9]

Diferensial tingkat tinggi dalam beberapa peubah juga menjadi lebih rumit ketika peubah bebasnya sendiri dimungkinkan untuk bergantung pada peubah lain. Sebagai contoh, untuk sebuah fungsi   dari   dan   yang dimungkinkan untuk bergantung pada peubah bantu, salah satunya memiliki

 

Karena ketidakpatutan notasional ini, penggunaan diferensial tingkat tinggi dikritisi terus terang oleh Hadamard 1935, yang menyimpulkan:

Enfin, que signifie ou que repésente l'égalité

 

A mon avis, rien du tout.

Yang artinya: Akhirnya, apakah yang dimaksudkan, atau diwakili, oleh persamaan [...]? Menurut pendapatku, tidak ada sama sekali. Meski ketidakpercayaan ini, diferensial tingkat tinggi muncul sebagai sebuah alat yang penting dalam analisis.[10]

Dalam konteks-konteks ini, diferensial order ke-  dari fungsi   berlaku dengan sebuah riapan   didefinisikan oleh

 

atau sebuah ekspresi yang setara, seperti

 

dimana   merupakan sebuah beda maju ke-  dengan riapan  .

Definisi ini masuk akal juga jika   merupakan sebuah fungsi dari beberapa peubah (untuk kesederhanaan diambil disini sebagai sebuah argumen vektor). Kemudian diferensial ke-  didefinisikan dalam hal ini merupakan sebuah fungsi homogen derajat   dalam riapan vektor  . Lebih lanjut, deret Taylor dari   pada titik   diberikan oleh

 

Turunan Gateaux tingkat tinggi merampat anggapan-anggapan ini untuk ruang dimensi takhingga.

Sifat-sifatSunting

Jumlah sifat-sifat dari diferensial berikut dalam sebuah cara yang mudah dari sifat-sifat yang berpadanan dari turunan, turunan parsial, dan turunan total. Ini termasuk:[11]

  • Kelinearan: Untuk tetapan   dan   dan fungsi terdiferensialkan   dan  ,

 
  • Kaidah darab: Untuk dua fungsi terdiferensialkan   dan  ,
 

Sebuah operasi   dengan dua sifat-sifat ini dikenal dalam aljabar abstrak sebagai sebuah penurunan. Mereka menyiratkan kaidah pangkat

 

Sebagai tambahan, berbagai bentuk dari kaidah rantai berlaku, dalam meningkatkan aras keumuman.[12]

  • Jika   merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah   dan   merupakan sebuah fungsi terdiferensialkan dari peubah, maka
 
  • Jika   dan semua dari peubah   bergantung pada peubah lain  , maka oleh kaidah rantai untuk turunan parsial, salah satunya memiliki
 

Secara heuristik, kaidah rantai untuk beberapa peubah dapat diri sendiri menjadi dipahamai dengan membagi melalui kedua ruas mengenai persamaan ini oleh kuantitas sangat kecil  .

  • Lebih umum ekspresi sejalan berlaku; di mana peubah antara   bergantung pada lebih dari satu peubah.

Perumusan umumSunting

Sebuah gagasan konsisten mengenai diferensial dapat dikembangkan untuk sebuah fungsi   di antara dua ruang Euclides. Misalkan   menjadi sebuah pasangan vektor Euclides. Riapan dalam fungsi   adalah

 

Jika terdapat sebuah matriks   dengan ukuran   sehingga

 

di mana vektor   sebagai  , maka   oleh definisi terdiferensialkan pada titik  . Matriks   terkadang dikenal sebagia matriks Jacobi, dan transformasi linear yang mengaitkan ke riapan  , vektor  , dalam pengaturan umum, dikenal sebagai diferensial   dari   pada titik  . Ini tepatnya turunan Fréchet, dan konstruksi yang sama dapat dibuat bekerja untuk sebuah fungsi di antara suatu ruang Banach.

Sudut pandang bermanfaat lainnya adalah mendefinisikan diferensial secara langsung sebagai sebuah jenis mengenai turunan berarah:

 

yang mana pendekatannya sudah diambil untuk mendefinisikan diferensial tingkat tinggi (dan hampir semua definisi yang ditetapkan oleh Cauchy). Jika   mewakili waktu dan   posisi, maka   mewakili sebuah kecepatan sebagai ganti sebuah perpindahan seperti yang kita miliki sampai sekarang dianggapnya. Ini menghasilkan perbaikan lagi dari gagasan mengenai diferensial; yang seharusnya menjadi sebuah fungsi linear kecepatan kinematik. Himpunan semua kecepatan melalui sebuah titik ruang yang diberikan dikenal sebagai sebuah ruang garis singgung; dan juga   memberikan sebuah fungsi linear pada ruang garis singgung: sebuah bentuk diferensial. Dengan interpretasi ini, diferensial dari   dikenal sebagai turunan luar, dan memiliki penerapan yang luas dalam geometri diferensial karena gagasan mengenai kecepatan dan ruang garis singgung masuk akal pada suatu manifold terdiferensialkan. Jika, sebagai tambahan, nilai keluaran dari   harus sebuah kecepatan. Jika salah satunya memperlakukan diferensial dalam perilaku ini, maka ini dikenal sebagai pushforward (en) karena ini "mendorong" kecepatan dari sebuah ruang sumber menjadi kecepatan dalam sebuah ruang sasaran.

Penerapan lainnyaSunting

Meskipun gagasannya memiliki sebuah riapan infinitesimal   tidak dirumuskan dengan baik dalam analisis matematis modern, sebuah beragam mengenai teknik-teknik ada untuk mendefinisikan diferensial infinitesimal sehingga diferensial fungsi dapat ditangani dalam cara yang tidak bertentangan dengan notasi Leibniz. Ini termasuk:

Contoh dan penerapannyaSunting

Diferensial dapat menjadi secara efektif digunakan dalam analisis numerik untuk mempelajari perambatan mengenai galat percobaan dalam sebuah perhitungan, dan demikian kestabilan numeris secara keseluruhan dari sebuah masalah (Courant 1937a). Andaikan bahwa peubah   mewakili hasil percobaan dan   merupakan hasil komputasi numeris yang berlaku dengan  . Pertanyaannya adalah dengan apakah galat luasnya dalam pengukuran   mempengaruhi nilai dari komputasi  . Jika   dikenal oleh   dari nilai kebenarannya, maka teorema Taylor memberikan dugaan pada galat   dalam komputasi  :

 

dimana   untuk suatu  . Jika   kecil, maka suku orde kedua diabaikan, sehingga  , untuk tujuan praktis, perkiraan oleh  .

Diferensial sering kali berguna untuk menulis ulang sebuah persamaan diferensial.

 

dalam bentuk

 

..., khususnya ketika salah satunya untuk memisahkan peubah.

CatatanSunting

  1. ^ Untuk sebuah akun bersejarah terperinci mengenai diferensial, lihat Boyer 1959, termasuk di hlm. 275 untuk kontribusi Cauchy pada subjek. Sebuah akun yang disingkat muncul di Kline 1972, Chapter 40.
  2. ^ Cauchy dengan tegas menolak kemungkinan mengenai infinitesimal dan kuantitas takhingga yang sebenarnya (Boyer 1959, hlm. 273–275), dan mengambil sudut pandang yang berbeda secara radikal bahwa "sebuah kuantitas peubah menjadi sangat kecil ketika nilai numeriknya menurun tanpa batas sedemikian rupa seiring konvergen menuju nol" (Cauchy 1823, hlm. 12; penerjemah dari Boyer 1959, hlm. 273).
  3. ^ Boyer 1959, hlm. 275
  4. ^ Boyer 1959, hlm. 12: "Diferensial sebagai demikian didefinisikan hanya peubah baru, dan bukan infinitesimal tetap..."
  5. ^ Courant 1937a, II, §9: "Disini kita hanya sekedar menandai ulang dalam menyampaikan bahwa ini mungkin untuk menggunakan aproksimasi ini yang diwakili dari kenaikannya   oleh ekspresi linear   untuk membangun sebuah definisi memuaskan secara logis dari sebuah "diferensial", seketika dilakukan oleh Cauchy khususnya."
  6. ^ Boyer 1959, hlm. 284
  7. ^ Lihat, sebagai contoh, perjanjian yang berpengaruh dari Courant 1937a, Kline 1977, Goursat 1904, dan Hardy 1905. Sumber tersier untuk definisi ini termasuk juga Tolstov 2001 dan Itô 1993, §106.
  8. ^ Cauchy 1823. Lihat juga, sebagai contoh, Goursat 1904, I, §14.
  9. ^ Goursat 1904, I, §14
  10. ^ Khususnya untuk holomorfi dimensi takhingga(Hille & Phillips 1974) dan analisis and analisis numerik melalui kalkulus mengenai beda hingga.
  11. ^ Goursat 1904, I, §17
  12. ^ Goursat 1904, I, §§14,16
  13. ^ Eisenbud & Harris 1998.
  14. ^ Lihat Kock 2006 dan Moerdijk & Reyes 1991.
  15. ^ Lihat Robinson 1996 dan Keisler 1986.

ReferensiSunting

Pranala luarSunting