Gelanggang hasil bagi

konstruksi yang sangat mirip dengan kelompok hasil bagi dari teori grup dan ruang hasil bagi dari aljabar linear

Templat:Ring theory sidebar

Dalam teori gelanggang, cabang dari aljabar abstrak, gelanggang hasil bagi, juga dikenal sebagai gelanggang faktor, gelanggang perbedaan[1] atau gelanggang kelas residu, adalah konstruksi yang sangat mirip dengan kelompok hasil bagi dari teori kelompok dan ruang hasil bagi dari aljabar linear.[2][3] Ini adalah contoh spesifik dari hasil bagi, dilihat dari pengaturan umum aljabar universal. Yang pertama dimulai dengan cincin R dan ideal dua sisi ​​ I di R , dan membuat gelanggang baru, gelanggang hasil bagi R / I, yang elemennya adalah kohimpunan dari I pada R yang tunduk pada operasi + dan khusus.

Gelanggang hasil bagi berbeda dari yang disebut 'bidang hasil bagi', atau bidang pecahan, dari domain integral serta dari 'gelanggang quotients' yang lebih umum diperoleh dengan lokalisasi.

Konstruksi cincin hasil bagi formalSunting

Diberikan sebuah cincin   dan ideal dua sisi   di  , kita dapat mendefinisikan sebuah relasi ekivalen   di   sebagai berikut:

  jika dan hanya jika   ada di  .

Menggunakan properti yang ideal, tidak sulit untuk memeriksanya   adalah hubungan kesesuaian. Dalam hal  , kami mengatakan bahwa   dan   adalah kongruen modulo  . Kelas ekivalen dari elemen   di   diberikan oleh

 .

Kelas kesetaraan ini terkadang juga ditulis sebagai   dan disebut "kelas residu dari   modulo  ".

Himpunan dari semua kelas ekivalen dilambangkan dengan  ; maka akan menjadi sebuah gelanggang, gelanggang faktor atau gelanggang hasil bagi dari   modulo  , jika didefinisikan

  •  ;
  •  .

(Di sini kita harus memeriksa bahwa definisi ini adalah terdefinisi dengan baik. Bandingkan koset dan kelompok hasil bagi.) Elemen nol dari   adalah  , dan identitas multiplikatifnya  .

Peta   dari   ke   didefinisikan oleh   adalah surjektif gelanggang homomorfisme, kadang-kadang disebut peta kecerdasan alami atau homomorfisme kanonik.

DefinisiSunting

Jika   sebuah gelanggang dan   a (dua sisi) ideal dari  , kemudian membentuk himpunan   dari kelas ekivalen pada modulo   sebuah gelanggang dengan tautan berikut:

  •  
  •  

di mana   didefinisikan sebagai  .

Cincin ini disebut ring faktor   modulo   atau ring kelas sisa atau ring hasil bagi. (Namun, ini tidak ada hubungannya dengan istilah bidang hasil bagi atau gelanggang hasil bagi; ini adalah pelokalan.)

Teori idealSunting

Misalkan   menjadi cincin komutatif dengan satu elemen dan   sebuah cita-cita. Dari pada

  • ideal cincin   persis seperti ideal   dari  , yang berisi   (also   )
  • bagian utama cincin   persis seperti cita-cita utama   yang berisi  
  • ideal maksimal ring   persis dengan ideal maksimal dari   yang berisi  

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Jacobson, Nathan (1984). Structure of Rings (edisi ke-revised). American Mathematical Soc. ISBN 0-821-87470-5. 
  2. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  3. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X. 

Referensi lebih lanjutSunting

  • F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, translated by DAR Wallace (1982) Modules and Rings, Academic Press, page 33.
  • Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
  • Joseph Rotman (1998). Galois Theory (2nd edition). Springer. hlm. 21–3. ISBN 0-387-98541-7. 
  • B.L. van der Waerden (1970) Algebra, translated by Fred Blum and John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, New York. See Chapter 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pages 47 to 51.

Pranala luarSunting