Limit invers

konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan oleh morfisme di antara objek

Dalam matematika, limit invers (bahasa Inggris: inverse limit), atau disebut juga sebagai limit proyektif (bahasa Inggris: projective limit) adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam kategori, dan merupakan kasus khusus dari konsep limit dalam teori kategori.

Objek aljabar sunting

Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi sistem invers (atau sistem proyektif) dari grup dan homomorfisme. Misalkan ( I, ≤) adalah poset terarah atau (tidak semua penulis memerlukan I untuk diarahkan). Misalkan A = (Ai)iI adalah keluarga dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme   untuk semua   (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:

  1.   adalah identitas pada  ,
  2.   untuk semua  .

Maka pasangan   disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas  , dan morfisme   disebut morfisme peralihan dari sistem.

Limit invers dari sistem invers   didefinisikan sebagai subgrup tertentu dari darab langsung dari  :

 

Limit invers   dilengkapi dengan proyeksi alami (bahasa Inggris: natural projections)   yang memilih komponen dari darab langsung ke-  untuk setiap   di  .

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika   adalah himpunan,[1] semigrup,[1] ruang topologi,[1] gelanggang, modul (atas fixed ring), aljabar (atas fixed ring), dsb,. dan homomorfisme adalah morfisme dalam kategori padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

Definisi umum sunting

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam kategori sebarang dengan menggunakan sifat universal. Misalkan   adalah sistem invers dari objek dan morfisme di kategori  . Limit invers dari sistem invers merupakan objek   di   dan juga dengan morfisme   (yang disebut proyeksi) memenuhi sifat   untuk semua  . Pasangan   harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain  , maka ada morfisme unik   sehingga diagram berikut

komutatif untuk setiap  . Jadi, limit invers seringkali dinyatakan sebagai

 

dengan sistem invers (Xi, fij).

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers X dan X2 dari sistem invers, maka terdapat isomorfisme unik   yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

Fungtor yang diturunkan dari limit invers sunting

Untuk suatu kategori Abel  , fungtor limit invers

 

eksak kiri. Jika   terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan terhitung, dan   adalah kategori   dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan   yang menjamin ketepatan  . Secara khusus, Eilenberg mengonstruksi suatu fungsi

 

sehingga jika  ,  , dan   adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan

 

adalah barisan eksak pendek dari sistem invers, maka

 

merupakan barisan eksak di  .

Lihat pula sunting

Referensi sunting

  1. ^ a b c John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. ISBN 978-0-387-09780-0.

Bibliografi sunting

Templat:Teori kategori