Kehomomorfan

morfisme (peta pelestarian struktur) antara dua struktur aljabar dengan tipe yang sama

Dalam aljabar abstrak, kehomomorfan merupakan struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap kehomomorfan pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain kehomomorfan ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah kehomomorfan baru yang disebut homomorfisma natural.

DefinisiSunting

Homomorfisme adalah peta antara dua struktur aljabar dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan operasi dari struktur. Artinya adalah peta   antara dua himpunan  ,   dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika   adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi operasi biner), setelah itu

 

untuk setiap pasangan  ,   elemen  .[note 1] Sering dikatakan bahwa   mempertahankan operasi atau kompatibel dengan operasi tersebut.

Secara formal, peta   mempertahankan operasi   dari ariti k, ditentukan pada   dan   jika

 

untuk elemen   pada  .

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputi Operasi 0-ari, yaitu konstanta. Secara khusus, ketika elemen identitas diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya, bilangan real membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian. Fungsi eksponensial

 

memadai

 

dan dengan demikian merupakan kehomomorfan antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena fungsi invers, logaritma natural, memenuhi

 

dan juga grup kehomorfan.

ContohSunting

 
Monoid homomorfisme   dari monoid (N, +, 0) ke monoid (N, ×, 1), didefinisikan dari  . Ini adalah injeksi, tetapi bukan konjektur.

Bilangan real adalah gelanggang, yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 matriks juga merupakan cincin, di bawah penambahan matriks dan perkalian matriks. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:

 

di mana r adalah bilangan real, maka f adalah homomorfisme gelanggang, karena f mempertahankan kedua penjumlahan:

 

dan perkalian:

 

Untuk contoh lain, bukan-nol bilangan kompleks membentuk kelompok di bawah operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memiliki perkalian invers, yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsi   dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan

 

Artinya,   adalah nilai absolut (atau modulus) dari bilangan kompleks  . Maka   adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:

 

Perhatikan bahwa f tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:

 

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme monoid   dari monoid   ke monoid  . Karena nama berbeda dari operasi terkait, properti pelestarian struktur yang dipenuhi oleh   berjumlah   and  .

Sebuah komposisi aljabar   di atas bidang   memiliki bentuk kuadrat, yang disebut norma,  , yang merupakan homomorfisme grup dari grup perkalian dari   ke grup perkalian dari  .

Homomorfisme khususSunting

Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untuk morfisme umum.

IsomorfismeSunting

Sebuah isomorfisme antara struktur aljabar dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme bijektif.[1]:134 [2]:28

Dalam konteks yang lebih umum dari teori kategori, isomorfisme didefinisikan sebagai morfisme, yang memiliki invers yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur non-aljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika

 

adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme

 

such that

 

Jika   dan   memiliki himpunan yang mendasari, dan   memiliki invers  , maka   adalah bijective. Faktanya,   adalah injeksi, seperti   menyiratkan  , dan   adalah dugaan, karena, untuk   mana pun di  , seseorang memiliki  , dan   adalah gambar dari elemen  .

Sebaliknya jika   adalah kehomorfan bijektiva antara struktur aljabar, misalkan   jadilah peta sedemikian rupa sehingga   adalah elemen unik   dari   sedemikian rupa sehingga  . Satu memiliki   dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwa g adalah homomorfisme. Jika   adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasangan  ,   elemen  , satu memiliki

 

dan   karenanya kompatibel dengan   Karena buktinya serupa untuk ariti mana pun, ini menunjukkan bahwa   adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur non-aljabar. Misalnya, untuk ruang topologi, morfisme adalah peta kontinu, dan kebalikan dari peta kontinu bijektiva tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebut homeomorphism atau peta bikontinu, dengan demikian merupakan peta kontinu bijektiva, yang kebalikannya juga kontinu.

KeendomorfanSunting

Sebuah keendomorfan adalah kehomomorfan yang ranah sama dengan kodomain, atau, lebih umum lagi, morfisme yang sumbernya sama dengan target.[1]:135

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari kategori membentuk monoid di bawah komposisi.

Keendomorfan dari ruang vektor atau modul membentuk gelanggang. Dalam kasus ruang vektor atau modul gratis berhingga dimensi, pilihan basis menginduksi keisomorfan gelanggang antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang matriks persegi dengan dimensi yang sama.

|}

KernelSunting

Homomorfisme   mendefinisikan sebuah relasi ekivalen   pada   pada   jika dan hanya jika  . Relasi   disebut kernel dari  . Ini adalah hubungan kongruensi di  . Himpunan hasil   kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti  , secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh  , untuk setiap operasi   dari  . Dalam hal ini, gambar   di   di bawah homomorfisme   harus isomorfik menjadi  ; fakta ini adalah salah satu teorema isomorfisme.

Ketika struktur aljabar adalah grup untuk beberapa operasi, kelas ekivalen   dari elemen identitas operasi ini cukup untuk menandai relasi ekivalen. Dalam hal ini, hasil bagi dengan relasi ekivalen dilambangkan dengan   (biasanya dibaca sebagai "  mod  "). Juga dalam kasus ini, ini adalah  , bukan  , yang disebut kernel dari  . Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus grup abelian, ruang vektor dan modul, tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti subgrup normal untuk kernel homomorfisme grup dan ideal untuk kernel homomorfisme gelanggang (dalam kasus gelanggang non-komutatif, kernel adalah ideal dua sisi).

Struktur relasionalSunting

Dalam teori model, pengertian struktur aljabar digeneralisasikan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan L menjadi signature yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur A , B menjadi dua L . Kemudian kehomorfan dari A menjadi B adalah pemetaan h dari domain A ke domain B sedemikian rupa sehingga

  • h(FA(a1,…,an)) = FB(h(a1),…,h(an)) untuk setiap n simbol fungsi ari F dalam L ,
  • RA(a1,…,an) implies RB(h(a1),…,h(an)) untuk setiap n simbol relasi ary R dalam L .

Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang a homomorfisme graf. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.[3]

Lihat pulaSunting

CatatanSunting

  1. ^ Seperti yang sering terjadi, tetapi tidak selalu, simbol yang sama untuk operasi   dan   digunakan di sini.

KutipanSunting

  1. ^ a b Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, 25 (edisi ke-3rd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630 
  2. ^ Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
  3. ^ Section 17.4, in Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7

ReferensiSunting