Kaidah pendiferensialan

artikel daftar Wikimedia

Kaidah pendiferensialan (atau aturan pendiferensialan; bahasa Inggris: Rules of differentiation) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.

Kaidah dasar pendiferensialan

sunting

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baik[1][2]— termasuk bilangan kompleks (C).[3]

Pendiferensialan adalah linier

sunting

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi h(x) = af(x) + bg(x) terhadap x dapat ditulis

 

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 

Kasus-kasus khusus meliputi:

 
 
  • Kaidah pengurangan
 

Kaidah hasil kali

sunting

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

 

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 

Kaidah rantai

sunting

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

 

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

 

Kaidah fungsi inversi

sunting

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu g(f(x)) = x dan f(g(y)) = y, maka

 

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 

Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik

sunting

Kaidah pangkat polinomial atau elementer

sunting

Jika  , untuk bilangan bulat n apapun maka

 

Kasus-kasus khusus meliputi:

  • Kaidah konstanta: jika f adalah fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
  • jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
    Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

Kaidah timbal-balik

sunting

Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:

 

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 

Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).

Kaidah hasil bagi

sunting

Jika f dan g adalah fungsi, maka:

  di mana g bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.

Kaidah pemangkatan yang dirampat

sunting

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,

 

di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:

  • Jika f(x) = xa, f′(x) = axa − 1 bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
  • Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

sunting
 

perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

 
 

persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

 
 
 

Turunan logaritmik

sunting

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):

  wherever f is positive.

Turunan fungsi trigonometri

sunting
   
   
   
   
   
   

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen,  . Nilainya terletak dalam rentang   dan mencerminkan kuadran dari titik  . Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu  ) maka  . Turunan parsialnya adalah

 , and  

Turunan fungsi hiperbolik

sunting
   
   
   
   
   
   

Turunan fungsi-fungsi khusus

sunting
Fungsi gamma

 

 
Fungsi Riemann Zeta

 

 

Turunan integral

sunting

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi

 

di mana fungsi-fungsi   dan   keduanya kontinu dalam   dan   dalam wilayah tertentu bidang  , termasuk    , dan fungsi-fungsi   dan   keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk  . Maka untuk  :

 

Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan Teorema fundamental kalkulus.

Turunan ke-n

sunting

Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:

Rumus Faà di Bruno

sunting

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

 

di mana   dan himpunan   terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine  .

Kaidah Leibniz umum

sunting

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

 

Lihat pula

sunting

Referensi

sunting
  1. ^ Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
  2. ^ Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.
  3. ^ Complex Variables, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3

Sumber dan pustaka tambahan

sunting

Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:

  • Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
  • The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
  • Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  • NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

Pranala luar

sunting