Homomorfisme

morfisme (peta pelestarian struktur) antara dua struktur aljabar dengan tipe yang sama

Dalam aljabar abstrak, homomorfisme atau kehomomorfan (bahasa Inggris: Homomorphism) adalah struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari ranah homomorfisme ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

Definisi sunting

Homomorfisme adalah peta antara dua struktur aljabar dari tipe yang sama (yaitu dengan nama yang sama), yang mempertahankan operasi dari struktur. Artinya adalah peta   antara dua himpunan  ,   dilengkapi dengan struktur yang sama sehingga, jika   adalah operasi struktur (seharusnya di sini, untuk penyederhanaan, menjadi operasi biner), setelah itu

 

untuk setiap pasangan  ,   elemen  .[note 1] Sering dikatakan bahwa   mempertahankan operasi atau serasi dengan operasi tersebut.

Secara formal, peta   mempertahankan operasi   dari ariti k, ditentukan pada   dan   jika

 

untuk elemen   pada  .

Operasi yang harus dipertahankan oleh homomorfisme meliputi Operasi 0-ari, yaitu konstanta. Secara khusus, ketika elemen identitas diperlukan oleh jenis struktur, elemen identitas dari struktur pertama harus dipetakan ke elemen identitas yang sesuai dari struktur kedua.

Notasi untuk operasi tidak harus sama dalam sumber dan target homomorfisme. Misalnya, bilangan real membentuk kelompok untuk penjumlahan, dan bilangan real positif membentuk kelompok untuk perkalian. Fungsi eksponensial

 

memadai

 

dan dengan demikian merupakan homomorfisme antara kedua grup ini. Ia bahkan merupakan keisomorfan (lihat di bawah), karena fungsi invers, logaritma natural, memenuhi

 

dan juga grup homomorfisme.

Contoh sunting

 
Monoid homomorfisme   dari monoid (N, +, 0) ke monoid (N, ×, 1), didefinisikan dari  . Ini adalah injeksi, tetapi bukan konjektur.

Bilangan real adalah gelanggang, yang memiliki penjumlahan dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 matriks juga merupakan cincin, terhadap penambahan matriks dan perkalian matriks. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini sebagai berikut:

 

di mana r adalah bilangan real, maka   adalah homomorfisme gelanggang, karena   mempertahankan kedua penjumlahan:

 

dan perkalian:

 

Untuk contoh lain, bukan-nol bilangan kompleks membentuk kelompok terhadap operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkan dari kedua grup karena tidak memiliki invers perkalian, yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsi   dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan real bukan nol dengan

 .

Artinya,   adalah nilai mutlak (atau modulus) dari bilangan kompleks  . Maka   adalah homomorfisme kelompok, karena mempertahankan perkalian:

 .

Perhatikan bahwa f tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan real), karena tidak mempertahankan penambahan:

 .

Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme monoid   dari monoid   ke monoid  . Karena nama berbeda dari operasi terkait, sifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh   berjumlah   dan  .

Sebuah komposisi aljabar   di atas bidang   memiliki bentuk kuadrat, yang disebut norma,  , yang merupakan homomorfisme grup dari grup perkalian dari   ke grup perkalian dari  .

Homomorfisme khusus sunting

Beberapa jenis homomorfisme memiliki nama tertentu, yang juga didefinisikan untuk morfisme umum.

Isomorfisme sunting

Sebuah isomorfisme antara struktur aljabar dengan tipe yang sama umumnya didefinisikan sebagai homomorfisme bijektif.[1]:134 [2]:28

Dalam konteks yang lebih umum dari teori kategori, isomorfisme didefinisikan sebagai morfisme, yang memiliki invers yang juga merupakan morfisme. Dalam kasus khusus struktur aljabar, kedua definisi tersebut setara, meskipun mungkin berbeda untuk struktur takaljabar, yang memiliki himpunan yang mendasarinya.

Lebih tepatnya, jika

 

adalah (homo)morfisme, ia memiliki kebalikan jika ada homomorfisme

 

such that

  dan  .

Jika   dan   memiliki himpunan yang mendasari, dan   memiliki invers  , maka   adalah bijektif. Faktanya,   adalah injeksi, seperti   menyiratkan  , dan   adalah dugaan, karena, untuk   mana pun di  , salah satunya memiliki  , dan   adalah gambar dari elemen  .

Sebaliknya jika   adalah homomorfisme bijektif antara struktur aljabar, misalkan   jadilah peta sedemikian rupa sehingga   adalah elemen unik   dari   sedemikian rupa sehingga  . Salah satunya memiliki   dan  , dan tetap hanya untuk menunjukkan bahwa   adalah homomorfisme. Jika   adalah operasi biner dari struktur, untuk setiap pasangan  ,   elemen  , salah satunya memiliki

 

dan   karenanya serasi dengan   Karena buktinya serupa untuk ariti mana pun, ini menunjukkan bahwa   adalah homomorfisme.

Bukti ini tidak berlaku untuk struktur takaljabar. Misalnya, untuk ruang topologi, morfisme adalah peta kontinu, dan kebalikan dari peta kontinu bijektif tidak selalu kontinu. Sebuah isomorfisme ruang topologi, yang disebut homeomorphism atau peta bikontinu, dengan demikian merupakan peta kontinu bijektif, yang kebalikannya juga kontinu.

Keendomorfan sunting

Sebuah keendomorfan adalah homomorfisme yang ranah sama dengan kodomain, atau, lebih umum lagi, morfisme yang sumbernya sama dengan target.[1]:135

Keendomorfan struktur aljabar, atau objek dari kategori membentuk monoid terhadap komposisi.

Keendomorfan dari ruang vektor atau modul membentuk gelanggang. Dalam kasus ruang vektor atau modul gratis berhingga dimensi, pilihan basis menginduksi keisomorfan gelanggang antara gelanggang keendomorfan dan gelanggang matriks persegi dengan dimensi yang sama.

|}

Kernel sunting

Homomorfisme   mendefinisikan sebuah hubungan kesetaraan   pada   pada   jika dan hanya jika  . Relasi   disebut kernel dari  . Ini adalah hubungan kongruensi di  . Himpunan hasil   kemudian dapat diberikan struktur dengan tipe yang sama seperti  , secara alami, dengan mendefinisikan operasi hasil bagi yang ditetapkan oleh  , untuk setiap operasi   dari  . Dalam hal ini, gambar   di   terhadap homomorfisme   harus isomorfik menjadi  ; fakta ini adalah salah satu teorema isomorfisme.

Ketika struktur aljabar adalah grup untuk beberapa operasi, hubungan kesetaraan   dari elemen identitas operasi ini cukup untuk menandai hubungan kesetaraan. Dalam hal ini, hasil bagi dengan hubungan kesetaraan dilambangkan dengan   (biasanya dibaca sebagai "  mod  "). Juga dalam kasus ini, ini adalah  , bukan  , yang disebut kernel dari  . Kernel homomorfisme dari jenis struktur aljabar tertentu secara alami dilengkapi dengan beberapa struktur. Jenis struktur kernel ini sama dengan struktur yang dipertimbangkan, dalam kasus grup abelian, ruang vektor dan modul, tetapi berbeda dan telah menerima nama tertentu dalam kasus lain, seperti subgrup normal untuk kernel homomorfisme grup dan ideal untuk kernel homomorfisme gelanggang (dalam kasus gelanggang takkomutatif, kernel adalah ideal dua sisi).

Struktur relasional sunting

Dalam teori model, pengertian struktur aljabar dirampatkan ke struktur yang melibatkan operasi dan relasi. Misalkan   menjadi tanda tangan yang terdiri dari simbol fungsi dan relasi, dan struktur  ,   menjadi dua struktur- . Kemudian homomorfisme dari   ke   adalah pemetaan   dari ranah   ke ranah   sedemikian rupa sehingga

  •   untuk setiap simbol fungsi ary-  dari   dalam  ,
  •   menyiratkan   untuk setiap simbol relasi ary- dari  dalam  .

Dalam kasus khusus dengan hanya satu relasi biner, kita mendapatkan gagasan tentang sebuah homomorfisme graf. Untuk pembahasan rinci tentang homomorfisme relasional dan isomorfisme lihat.[3]

Lihat pula sunting

Catatan sunting

  1. ^ Seperti yang sering terjadi, tetapi tidak selalu, simbol yang sama untuk operasi   dan   digunakan di sini.

Kutipan sunting

  1. ^ a b Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Lattice theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, 25 (edisi ke-3rd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5, MR 0598630 
  2. ^ Stanley N. Burris; H.P. Sankappanavar (2012). A Course in Universal Algebra (PDF). ISBN 978-0-9880552-0-9. 
  3. ^ Section 17.4, in Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7

Referensi sunting