Deret Fourier

Dalam matematika, Deret Fourier (/ˈfʊri, -iər/[1]) merupakan penguraian fungsi periodik menjadi jumlahan fungsi-fungsi berosilasi, yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier (1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas di lempeng logam.

Transformasi Fourier
Transformasi Fourier lanjutan
Deret Fourier
Transformasi Fourier waktu diskrit
Transformasi Fourier diskrit
Transformasi Fourier diskrit dengan lebih cincin
Analisis Fourier
Transformasi terkait

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial. Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui bila sumber panas berperilaku dalam cara sederhana, terutama bila sumber panas merupakan gelombang sinus atau kosinus. Solusi sederhana ini saat ini kadang-kadang disebut sebagai solusi eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear) gelombang sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen terkait. Superposisi kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier.

Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektro, analisis vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra, mekanika kuantum, dan lain-lain.

DefinisiSunting

Pertimbangkan fungsi bernilai nyata,  , yaitu integrable pada interval panjang  , yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:

  dan  
  dan  

Analisis proses menentukan bobot, diindeks dengan integer  , yang merupakan jumlah siklus nilai   harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan  , ialah  . Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah  .   harmonik nilai   dan  , dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang  :[2]

Koefisien Fourier

 

 

 

 

 

(Eq.1)

  • Jika nilai   ialah nilai   dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
  • Nilai   dan   dapat direduksi menjadi nilai   dan  .
  • Banyaknya teks memilih nilai   untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

Definisi 2Sunting

Proses sintesis (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus

 

 

 

 

 

(Eq.2)

Secara umum, integer pada nilai   secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama   di semua nilai   (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

 
Jika   adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang   (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak ( ) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari   Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik   sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis  

Menggunakan identitas trigonometri:

 

dan definisi nilai   dan  , pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

Deret Fourier, bentuk fase amplitudo

 

 

 

 

 

(Eq.3)

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks   (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan rumus Euler untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, konjugasi kompleks dilambangkan dengan tanda bintang:

 

Oleh karena itu, dengan definisi:

 

hasil akhirnya adalah:

Deret Fourier, bentuk eksponensial

 

 

 

 

 

(Eq.4)

KonvergensiSunting

Dalam aplikasi rekayasa, deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika   kontinu dan turunan dari   (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier   menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai  .[3] Jika suatu fungsi adalah integral-persegi pada interval  , kemudian deret Fourier menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu Kondisi dirichlet untuk deret Fourier. Lihat Konvergensi seri Fourier. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau konvergensi lemah biasanya berupa inte.

Animasi interaktif dapat dilihat lihat.


ContohSunting

Contoh 1: Deret Fourier sederhanaSunting

 
Plot dari gelombang gigi gergaji, kelanjutan periodik dari fungsi linier   on the interval  
 
Plot animasi dari lima seri Fourier parsial pertama yang berurutan

Kami sekarang menggunakan rumus di atas untuk memberikan perluasan deret Fourier dari fungsi yang sangat sederhana. Pertimbangkan gelombang gigi gergaji

 
 

Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan oleh

 

Terbukti bahwa seri Fourier konvergen   di setiap titik   dari mana   dapat dibedakan, dan karenanya:

 

 

 

 

 

(Eq.7)

Kapan nilai  , deret Fourier bertemu dengan 0, yang merupakan penjumlahan separuh dari batas kiri dan kanan s pada nilai  . Ini adalah contoh khusus dari Teorema Dirichlet untuk deret Fourier.

 
Distribusi panas dalam pelat logam, menggunakan metode Fourier

Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk Masalah Basel.

Contoh 2: Motivasi FourierSunting

Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai  , jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan persamaan panas. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran   meter, dengan koordinat  . Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai  , dipertahankan pada gradien suhu   derajat Celsius, untuk   pada nilai  , maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh

 

Di sini, sin adalah fungsi sinus hiperbolik. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan  Eq.7 menurut nilai  .

Aplikasi lainSunting

Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan Masalah Basel dengan menggunakan Teorema Parseval. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung ζ(2n), untuk bilangan bulat positif apa pun nilai n.

PropertiSunting

Tabel properti dasarSunting

Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:

  •   adalah konjugasi kompleks dari fungsi  .
  •   menunjuk   -fungsi periodik yang ditentukan dari fungsi  .
  •   tentukan koefisien deret Fourier (bentuk eksponensial) dari fungsi   dan   seperti yang didefinisikan dalam persamaan Eq.5.
Properti Domain waktu Domain frekuensi (bentuk eksponensial) Catatan Referensi
Linearitas     bilangan kompleks  
Pembalikan waktu / Pembalikan frekuensi     [4]:p. 610
Konjugasi waktu     [4]:p. 610
Pembalikan waktu & konjugasi    
Bagian nyata dalam waktu    
Bagian waktu imajiner    
Bagian nyata dalam frekuensi    
Bagian imajiner dalam frekuensi    
Pergeseran waktu / modulasi frekuensi     real number   [4]:p. 610
Pergeseran frekuensi / Modulasi dalam waktu     integer   [4]:p. 610

Properti simetriSunting

Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi bagian genap dan ganjil, ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan subskrip RE, RO, IE, dan IO. Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:[5]

 


Lemma Riemann–LebesgueSunting

Kalau   adalah integrable dari nilai  ,   and   Hasil ini dikenal sebagai Riemann–Lebesgue lemma.

Properti turunanSunting

Teorema ParsevalSunting

Jika   Milik  , setelah itu  .

Teorema PlancherelSunting

Jika nilai   adalah koefisien dan   lalu ada fungsi unik   seperti yang   untuk setiap nilai  .

Teorema konvolusiSunting

Grup kompakSunting


Fungsi bernilai kompleksSunting

Jika nilai   adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata   kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:

      and      
 

Mendefinisikan nilai   menghasilkan:

 

 

 

 

 

(Eq.5)

Hal tersebut identik dengan Eq.4 selain nilai   dan   bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai   juga tidak berubah:

 

Notasi umum lainnyaSunting

Notasi pada nilai   tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda. Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi ( , dalam kasus ini), seperti   atau  , dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

 


Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi sisir Dirac:

 

dari mana   mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel   memiliki satuan detik,   memiliki satuan hertz. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu harmonik) dari nilai  , yang disebut frekuensi dasar.     dapat dipulihkan dari representasi ini dengan transformasi Fourier terbalik:

 

Fungsi yang dibangun pada nilai   oleh karena itu biasanya disebut sebagai Transformasi Fourier, meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.[A]

Empat jumlah parsial pertama dari deret Fourier untuk gelombang persegi 
 

DefinisiSunting

Pertimbangkan fungsi bernilai nyata,  , yaitu integrable pada interval panjang  , yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:

  dan  
  dan  

Analisis proses menentukan bobot, diindeks dengan integer  , yang merupakan jumlah siklus nilai   harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan  , ialah  . Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah  .   harmonik nilai   dan  , dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang  :[6]

Koefisien Fourier

 

 

 

 

 

(Eq.1)

  • Jika nilai   ialah nilai   dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
  • Nilai   dan   dapat direduksi menjadi nilai   dan  .
  • Banyaknya teks memilih nilai   untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

Proses sintesis (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus

 

 

 

 

 

(Eq.2)

Secara umum, integer pada nilai   secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama   di semua nilai   (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

 
Jika   adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang   (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak ( ) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari   Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik   sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis  

Menggunakan identitas trigonometri:

 

dan definisi nilai   dan  , pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

Deret Fourier, bentuk fase amplitudo

 

 

 

 

 

(Eq.3)

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks   (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan rumus Euler untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks. Di sini, konjugasi kompleks dilambangkan dengan tanda bintang:

 

Oleh karena itu, dengan definisi:

 

hasil akhirnya adalah:

Deret Fourier, bentuk eksponensial

 

 

 

 

 

(Eq.4)

KonvergensiSunting

Dalam aplikasi rekayasa, deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika   kontinu dan turunan dari   (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier   menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai  .[7] Jika suatu fungsi adalah integral-persegi pada interval  , kemudian deret Fourier menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu Kondisi dirichlet untuk deret Fourier. Lihat Konvergensi seri Fourier. Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau konvergensi lemah biasanya berupa inte.

Animasi interaktif dapat dilihat lihat.


KonvergenSunting

Teorema[8]Sunting

Misalkan   adalah fungsi yang periodik dengan periode  , kontinu dan mulus bagian demi bagian. Maka, deret Fourier dari   konvergen mutlak dan secara seragam pada  .

ReferensiSunting

  1. ^ "Fourier". Dictionary.com Unabridged. Random House. 
  2. ^ Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (1993-07-15). Buku Saku Rumus Teknik Elektro (edisi ke-1). Boca Raton,FL: CRC Press. hlm. 171–174. ISBN 0849344735. 
  3. ^ Tolstov, Georgi P. (1976). Deret Fourier. Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9. 
  4. ^ a b c d Shmaliy, Y.S. (2007). Continuous-Time Signals. Springer. ISBN 1402062710. 
  5. ^ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. (1996). Pemrosesan Sinyal Digital: Prinsip, Algoritma, dan Aplikasi  (edisi ke-3rd). Prentice Hall. hlm. 291. ISBN 978-0-13-373762-2. 
  6. ^ Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (1993-07-15). Buku Saku Rumus Teknik Elektro (edisi ke-1). Boca Raton,FL: CRC Press. hlm. 171–174. ISBN 0849344735. 
  7. ^ Tolstov, Georgi P. (1976). Deret Fourier. Courier-Dover. ISBN 0-486-63317-9. 
  8. ^ Hendra Gunawan, Catatan Kuliah Analisis Fourier dan Wavelet, 2014

Pranala luarSunting


Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref> untuk kelompok bernama "upper-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="upper-alpha"/> yang berkaitan