Politop


Polihedron merupakan politop berdimensi-3.

Dalam geometri elementer, politop adalah suatu objek geometri yang memiliki muka, sisi yang datar. Politop secara umum merupakan perumuman dari polihedron berdimensi tiga menjadi sebarang dimensi. Politop yang mungkin ada dalam sebarang dimensi $n$ disebut sebagai politop berdimensi- $n$ . Sebagai contoh, poligon merupakan politop berdimensi-2, dan polihedron merupakan politop berdimensi-3. Pada konteks ini, "sisi yang datar" mengartikan bahwa sisi-sisi dari suatu politop berdimensi- $(k + 1)$ terdiri dari politop berdimensi- $k$ yang dapat memiliki politop berdimensi- $(k - 1)$ yang sama.

Ada beberapa teori yang memperumum gagasan lebih lanjut untuk memasukkan objek seperti apeirotop dan pengubinan yang tidak memliki batas, dekomposisi atau pengisi kurva manifold seperti polihedron sferis, dan politop abstrak.

Politop dengan dimensi yang lebih dari tiga pertama kali ditemukan oleh Ludwig Schläfli sebelum tahun 1853, yang menyebutnya polyschem.^[1] Istilah polytop yang berasal dari bahasa Jerman diciptakan oleh matematikawan Reinhold Hoppe, dan diperkenalkan kepada matematikawan asal Inggris yang bernama Alicia Boole Stott sebagai polytope.

Pendekatan definisi sunting

Istilah politop saat ini merupakan istilah luas yang mencakup kelas-kelas objek yang sangat banyak, dan berbagai definisi ditemukan dalam kepustakaan matematika. Akan tetapi, banyak dari definisi ini tidak ekuivalen dengan satu sama lain, dan hal tersebut menghasilkan kumpulan objek bertumpang tindih yang berbeda, yang disebut politop. Objek-objek tersebut mewakili pendekatan yang berbeda untuk memperumum politop cembung untuk memasukkan objek lain dengan sifat-sifat yang serupa.

Pendekatan asli secara luas diikuti oleh Ludwig Schläfli, Thorold Gosset dan lainnya. Pendekatan tersebut berawal dari gagasan poligon (berdimensi dua) dan polihedron (berdimensi tiga) yang diperluas berdasarkan analogi menjadi dalam objek berdimensi empat atau lebih.^[2]

Upaya untuk memperumum karakteristik Euler dari polihedron menjadi politop berdimensi lebih tinggi mengakibatkan pengembangan topologi dan perlakuan dekomposisi atau kompleks CW (CW complex) menjadi analogi dengan politop.^[3] Berdasarkan pendekatan tersebut, politop dapat dipandang sebagai pengubinan atau dekomposisi dari beberapa manifold. Contoh pendekatan ini mendefinisikan politop sebagai sekumpulan titik yang memiliki dekomposisi sederhana. Selain itu, politop dalam pendekatan tersebut juga merupakan gabungan dari tak berhingga banyaknya simpleks dengan adanya sifat tambahan yang berbunyi bahwa untuk sebarang dua buah simpleks yang memiliki irisan tak kosong, irisannya adalah titik sudut, edge, atau muka dari dua simpleks yang berdimensi lebih tinggi.^[4] Sayangnya, definisi ini tidak berlaku untuk politop bintang dengan struktur interior, sehingga definisi tersebut menjadi terbatas di cabang matematika tertentu. Politop dalam jumlah dimensi yang lebih rendah memiliki nama yang standar:

Dimensi politop	Merupakan sebutan untuk^[5]
−1	Nullitop
0	Monon
1	Dion
2	Poligon
3	Polihedron
4	Polikhoron^[5]

Sifat-sifat sunting

Karena politop cembung $P$ (yang terisi) dengan $d$ dimensi adalah kontraktibel menjadi satu buah titik, karakteristik Euler $\chi$ dari batasnya $\partial P$ dirumuskan dengan penjumlahan berselang-seling:

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}.

Notasi

n_{j}

pada rumus di atas menyatakan jumlah dari muka berdimensi-

j

. Karakteristik ini memperumum rumus Euler untuk polihedron.^[6]

Teorema Gram–Euler juga memperumum penjumlahan selang-seling dari sudut internal ${\textstyle \sum \varphi }$ untuk polihedron cembung ke politop dengan dimensi yang lebih tinggi.^[6]

\sum \varphi =(-1)^{d-1}.

Perumuman sunting

Politop tak terbatas sunting

Tidak semua mainfold adalah terhingga. Apabila politop dianggap sebagai pengubinan atau dekomposisi manifold, maka gagasan ini dapat diperluas menjadi manifold tak terhingga. Karena itu, politop meliputi pengubinan bidang, (sarang lebah) pengisi ruang, dan pengubinan hiperbolik. Politop tersebut terkadang-kadang disebut apeirotop sebab memiliki banyak sel yang tak berhingga jumlahnya.

Dari antara politop-politop tersebut, terdapat bentuk yang beraturan seperti polihedron pencong beraturan dan deret tak terhingga dari pengubinan yang dinyatakan dengan apeirogon beraturan, pengubinan persegi, sarang lebah kubik, dan lain sebagainya.

Politop abstrak sunting

Politop abstrak merupakan himpunan terurut parsial dari elemen atau anggota, yang mematuhi aturan-aturan tertentu. Politop ini merupakan struktur aljabar murni. Teori tentangnya dikembangkan supaya menghindari masalah-masalah yang menjadikannya sangat sulit untuk mencocokkan berbagai kelas geometris dalam sebuah struktur matematis yang konsisten. Suatu politop geometris dikatakan realisasi di beberapa ruang nyata dari politop abstrak yang terkait.^[7]

Politop kompleks sunting

Terdapat struktur yang mirip seperti dengan politop, dan struktur ada di ruang Hilbert kompleks $\mathbb {C} ^{n}$ , dengan dimensi real $n$ yang disertai dengan $n$ bilangan imajiner. Lebih-lebih, poltop kompleks beraturan diperlakukan sebagai konfigurasi.^[8]

Lihat pula sunting

Referensi sunting

Catatan sunting

^ Coxeter 1973, hlm. 141–144, §7-x. Historical remarks.
^ Coxeter 1973.
^ Richeson, D. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.
^ Grünbaum 2003.
^ ^a ^b Johnson, Norman W. (2018). Geometries and Transformations. Cambridge University Press. hlm. 224.
^ ^a ^b M. A., Perles; G. C., Shephard (Maret 1967). "Angle sums of convex polytopes". 21 (2). Math. Scandinavica: 199–218.
^ McMullen, Peter; Schulte, Egon (Desember 2002), Abstract Regular Polytopes (edisi ke-1st), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0
^ Coxeter, H.S.M. (1974). Regular Complex Polytopes.

Sumber sunting

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973), Regular Polytopes, New York: Dover Publications, hlm. 141–144, §7–x. Historical remarks, ISBN 978-0-486-61480-9

Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M., ed., Convex polytopes (edisi ke-2nd), New York & London: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00424-6 .
Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Berlin, New York: Springer-Verlag .

Pranala luar sunting

Weisstein, Eric W. "Polytope". MathWorld.
"Math will rock your world" – application of polytopes to a database of articles used to support custom news feeds via the Internet – (Business Week Online)
Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview:

[FOOTNOTECoxeter1973141&ndash;144,_§7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973, hlm. 141–144, §7-x. Historical remarks.

[FOOTNOTECoxeter1973-2] Coxeter 1973.

[gem-3] Richeson, D. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.

[FOOTNOTEGrünbaum2003-4] Grünbaum 2003.

[standard-5] Johnson, Norman W. (2018). Geometries and Transformations. Cambridge University Press. hlm. 224.

[pands-6] M. A., Perles; G. C., Shephard (Maret 1967). "Angle sums of convex polytopes". 21 (2). Math. Scandinavica: 199–218.

[abstract-7] McMullen, Peter; Schulte, Egon (Desember 2002), Abstract Regular Polytopes (edisi ke-1st), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0

[coxeter-8] Coxeter, H.S.M. (1974). Regular Complex Polytopes.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]