Politop

benda geometri dengan sisi datar

Dalam dasar geometri, Politop adalah benda geometris dengan sisi "datar". Ini adalah generalisasi dalam sejumlah dimensi dari polihedron tiga dimensi. Politop mungkin ada dalam jumlah umum dimensi n sebagai n yg berhubung dgn dimensi polytope atau n- politop. Sisi datar berarti sisi a (k + 1) -politop terdiri dari k-politop yang mungkin memiliki (k - 1)-politop yang sama. Contohnya, dua dimensi poligon adalah 2-polytope dan tiga dimensi adalah 3-politop.

Poligon adalah polytope 2 dimensi. Beberapa poligon berbeda jenisnya: terbuka (tidak termasuk batasnya), hanya sirkuit pembatas (mengabaikan bagian dalamnya), tertutup (termasuk batas dan bagian dalamnya), dan berpotongan sendiri dengan kepadatan yang bervariasi di berbagai wilayah.

Beberapa teori lebih lanjut menggeneralisasi ide untuk memasukkan objek seperti apeirotope dan tessellation tak terbatas, dekomposisi atau kemiringan manifold lengkung termasuk polihedra bola, dan himpunan-teoretik politop abstrak.

Polytopes dalam lebih dari tiga dimensi pertama kali ditemukan oleh Ludwig Schläfli. Istilah politop dalam Jerman diciptakan oleh matematikawan Reinhold Hoppe, dan diperkenalkan kepada ahli matematika Inggris sebagai politop oleh Alicia Boole Stott.

Pendekatan definisiSunting

Istilah politop saat ini merupakan istilah luas yang mencakup berbagai kelas objek, dan berbagai definisi muncul dalam literatur matematika. Banyak dari definisi ini tidak setara satu sama lain, menghasilkan kumpulan objek tumpang tindih yang berbeda yang disebut politop. Mereka mewakili pendekatan yang berbeda untuk menggeneralisasi convex politop untuk memasukkan objek lain dengan properti serupa.

Pendekatan asli secara luas diikuti oleh Ludwig Schläfli, Thorold Gosset dan lainnya dimulai dengan perluasan dengan analogi ke dalam empat dimensi atau lebih, dari gagasan poligon dan polihedron masing-masing dalam dua dan tiga dimensi.[1]

Upaya untuk menggeneralisasi Karakteristik Euler dari polihedra menjadi polipit berdimensi lebih tinggi mengarah pada pengembangan topologi dan perlakuan dekomposisi atau kompleks CW sebagai analog politop.[2] Dalam pendekatan ini, polytope dapat dianggap sebagai tessellation atau dekomposisi dari beberapa manifold. Contoh dari pendekatan ini mendefinisikan politop sebagai sekumpulan titik yang memiliki dekomposisi sederhana. Dalam definisi ini, polytope adalah gabungan dari banyak tak terhingga simplices, dengan properti tambahan yang, untuk dua simplek mana pun yang memiliki perpotongan tidak kosong, perpotongannya adalah sebuah simpul.[3] Namun definisi ini tidak mengizinkan bintang politop dengan struktur interior, dan oleh karena itu terbatas pada area matematika tertentu.

Penemuan bintang polihedra dan konstruksi tidak biasa lainnya mengarah pada ide polihedron sebagai permukaan pembatas, mengabaikan interiornya.[4] Dalam polytopes cembung terang dalam p - ruang ekuivalen dengan ubin dari (p-1)-bola, sementara yang lain mungkin merupakan kemiringan berbentuk bulat panjang

Politop dalam jumlah dimensi yang lebih rendah memiliki nama standar:

Dimensi
politop
Deskripsi[5]
−1 Nullitop
0 Monon
1 Dion
2 Poligon
3 Polihedron
4 Polikhoron

PropertiSunting

Karakteristik EulerSunting

Karena politop cembung P (terisi) dengan   dimensinya adalah kontras ke suatu titik, karakteristik Euler   dari batasnya ∂P diberikan oleh penjumlahan bergantian:

 , dimana   adalah jumlah  wajah dimensi.

Ini menggeneralisasi rumus Euler untuk polihedra.[6]

Sudut internalSunting

Teorema Gram–Euler juga menggeneralisasi jumlah bolak-balik dari sudut internal   untuk polyhedra cembung hingga politop berdimensi lebih tinggi:[6]

 

Generalisasi dari sebuah politopSunting

Politop tak terbatasSunting

Tidak semua lipatan terbatas. Jika polytope dipahami sebagai ubin atau dekomposisi lipatan, gagasan ini dapat diperluas hingga lipatan tak terbatas. Bidang ubin, space-filling (sarang lebah) dan hyperbolic tiling dalam pengertian ini adalah politop, dan kadang-kadang disebut apeirotop karena mereka memiliki banyak sel yang tak terhingga.

Diantaranya, ada bentuk biasa termasuk polihedra kemiringan biasa dan rangkaian tak terhingga dari ubin yang diwakili oleh apeirogon beraturan, ubin persegi, sarang lebah kubik, dan seterusnya.

Politop abstrakSunting

Teori politop abstrak mencoba untuk melepaskan polytopes dari ruang yang mengandungnya, dengan mempertimbangkan sifat kombinatorialnya yang murni. Hal ini memungkinkan definisi istilah diperluas untuk mencakup objek yang sulit untuk mendefinisikan ruang yang mendasari intuitif, seperti 11-sel.

Politop abstrak adalah himpunan berurutan sebagian dari elemen atau anggota, yang mematuhi aturan tertentu. Ini adalah struktur aljabar murni, dan teori ini dikembangkan untuk menghindari beberapa masalah yang membuatnya sulit untuk merekonsiliasi berbagai kelas geometris dalam suatu matematis yang konsisten. Sebuah politop geometris dikatakan realisasi di beberapa ruang nyata dari politop abstrak terkait.[7]

Politop kompleksSunting

Struktur yang dianalogikan dengan polytopes ada di kompleks ruang Hilbert   di mana dimensi nyata n disertai dengan n imajiner. Polytope kompleks reguler lebih tepat diperlakukan sebagai konfigurasi.[8]

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

Catatan

  1. ^ Coxeter (1973)
  2. ^ Richeson, D. (2008). Permata Euler: Formula Polyhedron dan Kelahiran Topologi. Princeton University Press. 
  3. ^ Grünbaum (2003)
  4. ^ Cromwell, P.; Polyhedra, CUP (ppbk 1999) pp 205 ff.
  5. ^ Johnson, Norman W.; Geometri dan Transformasi, Cambridge University Press, 2018, p.224.
  6. ^ a b M. A. Perles and G. C. Shephard. 1967. "Angle sums of convex polytopes". Math. Scandinavica, Vol 21, No 2. March 1967. pp. 199–218.
  7. ^ McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), Abstract Regular Polytopes  (edisi ke-1st), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0 
  8. ^ Coxeter, H.S.M.; Politop Kompleks Biasa, 1974

Sumber

Pranala luarSunting

Templat:Politop