Polihedron

Contoh polihedron
Tetrahedron.png
Tetrahedron biasa

Padatan platonis

Small stellated dodecahedron.png
Dodecahedron berbentuk bintang kecil

Kepler-Poinsot padat

Icosidodecahedron.png
Icosidodecahedron

Archimedean padat

Great cubicuboctahedron.png
Kubikuboktahedron besar

Bintang-polihedron seragam

Rhombic triacontahedron.png
Triacontahedron belah ketupat

Catalan padat

Hexagonal torus.png
Polihedron toroidal

Dalam geometri, polihedron adalah bentuk tiga dimensi dengan wajah poligon datar, tepi lurus dan sudut tajam atau simpul. Kata polyhedron berasal dari bahasa Yunani Klasik πολύεδρον, sebagai poli- (batang dariπολύς, "banyak") + -hedron (bentuk ἕδρα, "dasar" atau "kursi").

Cembung polihedron adalah cembung dari banyak poin, tidak semua pada bidang yang sama. Kubus dan piramida adalah contoh poliedra cembung.

Politop cembung didefinisikan dengan baik, dengan beberapa definisi standar yang setara. Namun, definisi matematis formal polihedra yang tidak harus cembung telah menjadi masalah. Banyak definisi "polyhedron" telah diberikan dalam konteks tertentu,[1] beberapa lebih keras daripada yang lain, dan tidak ada kesepakatan universal mengenai mana yang akan dipilih. Beberapa definisi ini mengecualikan bentuk-bentuk yang sering dihitung sebagai polihedra (seperti polihedra yang melintasi sendiri) atau termasuk bentuk-bentuk yang sering tidak dianggap sebagai polihedra yang valid (seperti padatan yang batas-batasnya tidak berlipat ganda).

SejarahSunting

DefinisiSunting

 
Sebuah polihedron kerangka (khususnya, rhombicuboctahedron) yang digambar oleh Leonardo da Vinci untuk mengilustrasikan buku oleh Luca Pacioli

Polihedra cembung didefinisikan dengan baik, dengan beberapa definisi standar yang setara. Namun, definisi matematika formal dari polihedra yang tidak harus cembung adalah lebah. Banyak definisi dari "polihedron" telah diberikan dalam konteks tertentu,[1] beberapa lebih ketat dari yang lain, dan tidak ada kesepakatan universal tentang mana yang harus dipilih. Beberapa dari definisi ini mengecualikan bentuk yang sering dihitung sebagai polihedra (seperti polihedra menyilang sendiri) atau menyertakan bentuk yang seringkali tidak dianggap sebagai polihedra yang valid. Seperti yang diamati Branko Grünbaum,

"Jika teori polihedra kembali ke penelitian oleh Euklides, dan melalui Kepler, Poinsot, Cauchy dan banyak lainnya ... pada setiap tahap ... para penulis gagal mendefinisikan apa itu polihedra".[2]

Namun demikian, ada kesepakatan umum bahwa polihedron adalah benda padat atau permukaan yang dapat dijelaskan oleh simpul (titik sudut), tepi (segmen garis yang menghubungkan pasangan simpul tertentu), wajah (poligon dua dimensi), dan terkadang dapat dikatakan memiliki interior tiga dimensi tertentu volume. Seseorang dapat membedakan di antara definisi yang berbeda ini berdasarkan apakah mereka menggambarkan polihedron sebagai padatan, apakah mereka menggambarkannya sebagai permukaan, atau apakah mereka mendeskripsikannya secara lebih abstrak berdasarkan geometri kejadian.[3]

  • Definisi umum dan agak naif dari polihedron adalah bahwa ia adalah benda padat yang batasnya dapat ditutupi oleh banyak bidang yang tak terhingga.[4][5] atau itu adalah padatan yang dibentuk sebagai penyatuan dari banyak polihedra cembung halus.[6] Perbaikan alami dari definisi ini mengharuskan padatan untuk dibatasi, memiliki interior yang terhubung, dan mungkin juga memiliki batas yang terhubung.. Muka polihedron seperti itu dapat didefinisikan sebagai komponen yang terhubung dari bagian-bagian batas di dalam setiap bidang yang menutupinya, dan tepi serta simpul sebagai ruas garis dan titik di mana permukaan bertemu. Namun, polihedra yang didefinisikan dengan cara ini tidak termasuk polihedra bintang yang bersilangan sendiri, muka mereka mungkin bukan poligon sederhana, dan beberapa tepinya mungkin termasuk lebih dari dua muka.[7]
  • Definisi yang didasarkan pada gagasan tentang permukaan yang berbatas daripada yang padat juga umum terjadi.[8] For instance, (O'Rourke 1993) mendefinisikan polihedron sebagai gabungan poligon cembung (permukaannya), disusun dalam ruang sehingga perpotongan dari dua poligon adalah simpul atau sisi bersama atau himpunan kosong dan sehingga penyatuannya adalah manifold.[9] Jika bagian planar dari permukaan semacam itu sendiri bukanlah poligon cembung, O'Rourke mengharuskannya untuk dibagi lagi menjadi poligon cembung yang lebih kecil, dengan sudut dihedral datar di antara keduanya. Secara lebih umum, Grünbaum mendefinisikan polihedron akoptik sebagai kumpulan poligon sederhana yang membentuk lipatan yang tertanam. Dengan setiap simpul bersinggungan dengan setidaknya tiga sisi dan masing-masing dua wajah berpotongan hanya dalam simpul dan sisi yang sama dari masing-masing.[10] Cromwell's Polihedra memberikan definisi yang serupa tetapi tanpa batasan tiga sisi per simpul. Sekali lagi, jenis definisi ini tidak mencakup polihedra yang bersilangan sendiri.[11] Pengertian serupa membentuk dasar dari definisi topologi dari polihedra, sebagai subdivisi dari manifold topologi menjadi disk topologi (wajah) yang perpotongan berpasangannya harus berupa titik (simpul), busur topologi (tepi), atau himpunan kosong. Namun, terdapat polihedra topologi (bahkan dengan semua segitiga muka) yang tidak dapat direalisasikan sebagai polihedra akoptik..[12]
  • Salah satu pendekatan modern didasarkan pada teori polihedra abstrak. Ini dapat didefinisikan sebagai set terurut sebagian yang elemennya adalah simpul, tepi, dan permukaan polihedron. Sebuah simpul atau elemen sisi lebih kecil dari sebuah elemen sisi atau sisi (dalam urutan parsial ini) ketika simpul atau sisi tersebut adalah bagian dari sisi atau sisi. Selain itu, seseorang dapat menyertakan elemen bawah khusus dari urutan parsial ini (mewakili himpunan kosong) dan elemen atas yang mewakili seluruh polihedron. Jika bagian-bagian dari urutan parsial antara elemen-elemen berjarak tiga tingkat (yaitu, antara setiap sisi dan elemen bawah, dan antara elemen atas dan setiap simpul) memiliki struktur yang sama dengan representasi abstrak dari sebuah poligon, maka rangkaian yang tersusun sebagian ini membawa informasi yang persis sama dengan polihedron topologi. Namun, persyaratan ini sering kali dilonggarkan, untuk hanya mensyaratkan bahwa bagian antara elemen dengan dua tingkat yang terpisah memiliki struktur yang sama seperti representasi abstrak dari segmen garis.[13] (Ini berarti bahwa setiap sisi berisi dua simpul dan termasuk dalam dua sisi, dan setiap simpul pada sebuah sisi memiliki dua sisi dari sisi tersebut.) Polihedra geometris, yang didefinisikan dengan cara lain, dapat dijelaskan secara abstrak dengan cara ini, tetapi polihedra abstrak juga dapat digunakan sebagai dasar definisi polihedra geometris. Sebuah realisasi dari polihedron abstrak umumnya dianggap sebagai pemetaan dari simpul polihedron abstrak ke titik-titik geometris, sehingga titik-titik dari setiap wajah adalah coplanar. Sebuah polihedron geometris kemudian dapat didefinisikan sebagai realisasi dari polihedron abstrak.[14] Realisasi yang mengabaikan persyaratan planaritas, yang memaksakan persyaratan tambahan simetri, atau yang memetakan simpul ke ruang dimensi yang lebih tinggi juga telah dipertimbangkan.[13] Tidak seperti definisi berbasis padat dan berbasis permukaan, ini bekerja dengan baik untuk polihedra bintang. Namun, tanpa batasan tambahan, definisi ini memungkinkan degenerasi atau polihedra tidak biasa (contohnya, dengan memetakan semua simpul ke satu titik) dan pertanyaan tentang bagaimana membatasi kesadaran untuk menghindari kemerosotan ini belum diselesaikan.

Dalam semua definisi ini, polihedron biasanya dipahami sebagai contoh tiga dimensi dari politop yang lebih umum dalam sejumlah dimensi. Misalnya, poligon memiliki badan dua dimensi dan tidak ada wajah, sedangkan 4-politop memiliki badan empat dimensi dan satu set tambahan "sel" tiga dimensi. Namun, beberapa literatur tentang geometri berdimensi lebih tinggi menggunakan istilah "polihedron" untuk mengartikan sesuatu yang lain: bukan politop tiga dimensi, tapi bentuk yang berbeda dari polytope dalam beberapa hal. Misalnya, beberapa sumber mendefinisikan polihedron cembung sebagai perpotongan dari banyak tak terhingga setengah spasi, dan polytope menjadi polihedron berbatas.[15][16] Sisa artikel ini hanya membahas polihedra tiga dimensi.

KarakteristikSunting

Jumlah wajahSunting

Polyhedra dapat diklasifikasikan dan sering dinamai menurut jumlah wajah. Sistem penamaan didasarkan pada Yunani Klasik, contohnya tetrahedron (polihedron dengan empat sisi), pentahedron (lima sisi), heksahedron (enam sisi), triacontahedron (30 sisi), dan seterusnya.

Untuk daftar lengkap prefiks angka Yunani, lihat Awalan angka § Tabel nomor prefiks dalam bahasa Inggris, di kolom untuk bilangan kardinal Yunani.

Karakteristik topologiSunting

Kelas topologi polihedron ditentukan oleh karakteristik dan orientasi Euler.

Dari perspektif ini, setiap permukaan polihedral dapat digolongkan sebagai jenis topologi tertentu manifold. Misalnya, permukaan cembung atau polihedron terhubung sederhana adalah bola topologis.

Karakteristik EulerSunting

Karakteristik Euler χ menghubungkan jumlah simpul V, tepi E, dan wajah F dari sebuah polihedron:

 

Ini sama dengan karakteristik topologi Euler permukaannya. Untuk polihedron cembung, atau lebih umum lagi polihedron terhubung sederhana dengan permukaan bidang topologi, χ = 2.[17] Untuk bentuk yang lebih rumit, karakteristik Euler berkaitan dengan jumlah toroid al lubang, pegangan atau lintas topi di permukaan dan akan kurang dari 2.[18]

OrientasiSunting

 
Polihedral botol Klein yang berpotongan sendiri dengan permukaan segiempat

Beberapa polihedra memiliki dua sisi berbeda pada permukaannya. Misalnya, bagian dalam dan luar model kertas polihedron cembung masing-masing dapat diberi warna yang berbeda (meskipun warna bagian dalam akan disembunyikan dari pandangan). Polihedra tersebut dapat di jadikan berorientasi. Hal yang sama berlaku untuk polihedra non-cembung tanpa penyeberangan sendiri. Beberapa polihedra non-cembung dapat diwarnai dengan cara yang sama tetapi memiliki bidang yang dibalik "dalam ke luar" sehingga kedua warna muncul di bagian luar pada tempat yang berbeda; ini masih dianggap berorientasi.

Tetapi untuk beberapa polihedra bersilang-sendiri lainnya dengan permukaan poligon sederhana, seperti tetrahemihexahedron, tidak mungkin mewarnai kedua sisi setiap wajah dengan dua warna berbeda sehingga. Dalam hal ini polihedron dikatakan satu sisi atau tidak berorientasi. Untuk polihedra dengan permukaan bersilangan sendiri, mungkin tidak jelas artinya jika wajah yang berdekatan diwarnai secara konsisten, tetapi untuk polihedra ini masih mungkin untuk menentukan apakah itu berorientasi atau tidak dengan mempertimbangkan kompleks sel topologi dengan insiden yang sama antara simpul, tepi,dan wajah.

Semua polihedra dengan karakteristik Euler bernomor ganjil χ tidak dapat diorientasikan. Sosok tertentu dengan genap χ < 2 mungkin dapat berorientasi atau tidak. Misalnya, toroid lubang satu dan botol Klein keduanya memiliki χ = 0, dengan yang pertama dapat diorientasikan dan yang lainnya tidak.

DualitasSunting

 
The octahedron is dual to the cube

Untuk setiap polihedron cembung, ada polihedron ganda yang memiliki

  • wajah menggantikan simpul aslinya dan sebaliknya, dan
  • jumlah tepi yang sama.

Dual polyhedron cembung dapat diperoleh dengan proses timbal balik polar.[19] Polihedra ganda ada berpasangan, dan rangkap ganda hanyalah polihedron asli lagi. Beberapa polihedra bersifat rangkap-sendiri, artinya rangkap dari polihedron kongruen dengan polihedron asli.[20]

Polihedra abstrak juga memiliki rangkap, yang memuaskan selain memiliki karakteristik dan orientasi Euler yang sama dengan polihedron awal. Namun, bentuk dualitas ini tidak menggambarkan bentuk polihedron ganda, tetapi hanya struktur kombinatorialnya.. Untuk beberapa definisi polihedra geometris non-cembung, terdapat polihedra yang dual abstraknya tidak dapat direalisasikan sebagai polihedra geometris dengan definisi yang sama..

Angka simpulSunting

Untuk setiap simpul seseorang dapat mendefinisikan sebuah angka simpul, yang mendeskripsikan struktur lokal dari polihedron di sekitar simpul tersebut. Definisi yang tepat berbeda-beda, tetapi gambar puncak dapat dianggap sebagai poligon yang terpapar di mana potongan melalui polihedron memotong sudut.[8] Jika sosok puncak adalah poligon beraturan, maka simpul itu sendiri dikatakan beraturan.

VolumeSunting

Padatan polihedral memiliki besaran terkait yang disebut volume yang mengukur seberapa banyak ruang yang ditempati. Kelompok padatan sederhana mungkin memiliki rumus sederhana untuk volumenya; misalnya, volume piramida, prisma, dan parallelepiped dapat dengan mudah dinyatakan dalam istilah panjang tepi. (Lihat Volume § Rumus volume untuk daftar yang mencakup banyak rumus ini.)

Volume polihedra yang lebih rumit mungkin tidak memiliki rumus yang sederhana. Volume polihedra tersebut dapat dihitung dengan membagi polihedron menjadi bagian-bagian yang lebih kecil (misalnya, dengan triangulasi). Contohnya, volume polihedron beraturan dapat dihitung dengan membaginya menjadi kongruen piramida, dengan setiap piramida memiliki muka polihedron sebagai alasnya dan pusat polihedron sebagai puncaknya.

Secara umum, dapat diturunkan dari teorema divergensi bahwa volume padatan polihedral diberikan oleh   dimana jumlahnya di atas wajah F dari polihedron, QF adalah hal yang berubah-ubah F, NF adalah vektor satuan tegak lurus dengan F menunjuk ke luar padatan, dan titik perkaliannya adalah perkalian titik.[21] Karena mungkin sulit untuk menghitung permukaan, komputasi volume mungkin menjadi tantangan, dan karenanya terdapat algoritme khusus untuk menentukan volume (banyak di antaranya digeneralisasikan.[22]


Polihedra cembungSunting

 
Blok polihedron cembung yang dipajang di Museum Unirvesum di kota Meksiko

Padatan tiga dimensi adalah himpunan cembung jika berisi setiap ruas garis yang menghubungkan dua titiknya. Polihedron cembung adalah polihedron yang, sebagai padatan, membentuk himpunan cembung. Polihedron cembung juga dapat didefinisikan sebagai perpotongan berbatas dari banyak titik tak terhingga setengah ruang, atau sebagai lambung cembung dengan banyak titik berhingga.

Kelas penting dari polihedra cembung meliputi Padatan Platonis yang sangat simetris, padatan Archimedean dan gandanya Padatan Catalan, dan Johnson solid yang berwajah biasa.

ReferensiSunting

  1. ^ a b Lakatos, Imre (2015) [1976], Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery, Cambridge Philosophy Classics, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 16, doi:10.1017/CBO9781316286425, ISBN 978-1-107-53405-6, MR 3469698, definitions are frequently proposed and argued about . Kesalahan pengutipan: Tanda <ref> tidak sah; nama "lakatos" didefinisikan berulang dengan isi berbeda
  2. ^ (Grünbaum 1994), p. 43.
  3. ^ Loeb, Arthur L. (2013), "Polyhedra: Surfaces or solids?", dalam Senechal, Marjorie, Membentuk Ruang: Menjelajahi Polyhedra di Alam, Seni, dan Imajinasi Geometris (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 65–75, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_5 
  4. ^ McCormack, Joseph P. (1931), Geometri Padat, D. Appleton-Century Company, hlm. 416 .
  5. ^ de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, M.; Schwarzkopf, O. (2000), Geometri Komputasi: Algoritma dan Aplikasi (edisi ke-2nd), Springer, hlm. 64 .
  6. ^ Matveev, S.V. (2001) [1994], "Polyhedron, abstrak", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
  7. ^ Stewart, B.M. (1980), Adventures Among the Toroids: Sebuah studi tentang polihedra berorientasi dengan wajah biasa (edisi ke-2nd), hlm. 6 .
  8. ^ a b Cromwell (1997), pp. 206–209.
  9. ^ O'Rourke, Joseph (1993), "Computational Geometry in C", Computers in Physics, 9 (1): 113–116, Bibcode:1995ComPh...9...55O, doi:10.1063/1.4823371 .
  10. ^ Grünbaum, Branko (1999), "Acoptic polyhedra", Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996) (PDF), Contemp. Math., 223, Amer. Math. Soc., Providence, RI, hlm. 163–199, doi:10.1090/conm/223/03137, ISBN 978-0-8218-0674-6, MR 1661382 .
  11. ^ (Cromwell 1997), p. 209.
  12. ^ Bokowski, J.; Guedes de Oliveira, A. (2000), "Pada generasi matroid berorientasi", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 197–208, doi:10.1007/s004540010027 , MR 1756651 .
  13. ^ a b Burgiel, H.; Stanton, D. (2000), "Realisasi polihedra abstrak reguler jenis {3,6} dan {6,3}", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 241–255, doi:10.1007/s004540010030 , MR 1758047 .
  14. ^ (Grünbaum 2003), pp. 468–469.
  15. ^ Grünbaum, Branko (2003), Politop cembung, Graduate Texts in Mathematics, 221 (edisi ke-2nd), New York: Springer-Verlag, hlm. 26, doi:10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN 978-0-387-00424-2, MR 1976856 .
  16. ^ Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009), "Definition 1.1", Polytopes, Rings, and K-theory, Springer Monographs in Mathematics, Dordrecht: Springer, hlm. 5, CiteSeerX 10.1.1.693.2630 , doi:10.1007/b105283, ISBN 978-0-387-76355-2, MR 2508056 .
  17. ^ (Richeson 2008), p. 157.
  18. ^ (Richeson 2008), p. 180.
  19. ^ Cundy, H. Martyn; Rollett, A.P. (1961), "3.2 Duality", Model matematika (edisi ke-2nd), Oxford: Clarendon Press, hlm. 78–79, MR 0124167 .
  20. ^ Grünbaum, B.; Shephard, G.C. (1969), "Convex polytopes" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 1 (3): 257–300, doi:10.1112/blms/1.3.257, MR 0250188, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2017-02-22, diakses tanggal 2017-02-21  . See in particular the bottom of page 260.
  21. ^ Goldman, Ronald N. (1991), "Chapter IV.1: Area of planar polygons and volume of polyhedra", dalam Arvo, James, Graphic Gems Package: Graphics Gems II, Academic Press, hlm. 170–171 
  22. ^ Büeler, B.; Enge, A.; Fukuda, K. (2000), "Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study", Polytopes — Combinatorics and Computation, hlm. 131, CiteSeerX 10.1.1.39.7700 , doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6, ISBN 978-3-7643-6351-2 

Pranala luarSunting