Grup berpenyelesaian

Dalam matematika, lebih khusus lagi di medan teori grup, grup berpenyelesaian (Inggris: Solvable group) adalah grup yang dapat dibangun dari grup Abel menggunakan perluasan. Dengan kata lain, grup berpenyelesaian adalah grup yang deret jabaran berakhir di subgrup trivial.

Motivasi

Secara historis, kata "berpenyelesaian" muncul dari teori Galois dan bukti dari ketidakmampuan umum persamaan kuintik. Secara spesifik, persamaan polinomial dapat diselesaikan dalam radikal jika dan hanya jika grup Galois yang sesuai berpenyelesaian (perhatikan teorema ini hanya berlaku dalam karakteristik 0). Ini berarti terkait dengan polinomial $f\in F[x]$ jika menara perluasan lapangan

$F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{m}=K$

sehingga

1. $F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ dimana $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$, jadi $\alpha _{i}$ adalah penyelesaian persamaan $x^{m_{i}}-a$ dimana $a\in F_{i-1}$
2. $F_{m}$ berisi medan pemisahan untuk $f(x)$

Contoh

Misalnya, perluasan medan Galois terkecil dari $\mathbb {Q}$ mengandung elemen

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

memberikan grup berpenyelesaian. Ini memiliki perluasan medan terkait

$\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)$

memberikan grup berpenyelesaian merumuskan $\mathbb {Z} /5$ (bertindak pada $e^{2\pi i/5}$) dan $\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$ (bertindak pada ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$).

Definisi

Grup $G$ disebut berpenyelesaian jika memiliki deret subnormal yang grup faktor (grup hasil bagi) semuanya grup Abel, yaitu, jika ada subgrup $1=G_{0}<G_{1}<\dots <G_{k}=G$, maka $G_{j-1}$ adalah subgrup normal di $G_{j}$, dan $G_{j}/G_{j-1}$ adalah grup Abel, karena $j=1,2,\dots ,k$.

Atau setara, jika deret jabaran, deret normal menurun

$G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots$,

di mana setiap subgrup adalah subgrup komutator dari yang sebelumnya, akhirnya mencapai subgrup trivial dari $G$. Kedua definisi ini setara, karena untuk setiap grup $H$ dan setiap subgrup normal $N$ dari $H$, hasil bagi $H/N$ adalah grup Abel jika dan hanya jika $N$ termasuk subgrup komutator dari $H$. Nilai $n$ terkecil sehingga $G^{(n)}=1$ disebut panjang jabaran dari grup berpenyelesaian $G$.

Untuk grup berhingga, definisi ekuivalennya adalah bahwa grup berpenyelesaian adalah grup dengan deret komposisi yang semua faktornya adalah grup siklik dari urutan bilangan prima. Ini setara karena grup berhingga memiliki panjang komposisi berhingga, dan setiap grup Abel sederhana adalah siklik orde utama. Teorema Jordan–Hölder menjamin bahwa jika salah satu deret komposisi memiliki sifat ini, semua deret komposisi akan memiliki sifat ini juga. Untuk grup Galois dari polinomial, grup siklik ini berpadanan dengan akar $n$ (radikal) di beberapa medan. Kesetaraan tidak selalu: sebagai contoh, karena setiap subgrup taktrivial dari grup $\mathbb {Z}$ dari bilangan bulat di bawah penambahan adalah isomorfis pada $\mathbb {Z}$, tidak memiliki deret komposisi, tetapi deret normal $\{0,\mathbb {Z} \}$, dengan satu-satunya grup faktor isomorfik hingga $\mathbb {Z}$, membuktikan bahwa ia berpenyelesaian.

Contoh

Grup Abel

Contoh dasar grup berpenyelesaian adalah grup Abel. Mereka berpenyelesaian secara trivial karena rangkaian subnormal diberikan hanya oleh grup itu sendiri dan grup trivial. Tetapi grup takAbel mungkin atau mungkin tidak bisa dipecahkan.

Grup nilpoten

Secara umum, semua grup nilpoten berpenyelesaian. Secara khusus, grup-p hingga berpenyelesaian, karena semua grup-p hingga adalah nilpoten.

Grup kuaternion

Secara khusus, grup kuaternion adalah grup berpenyelesaian yang diberikan oleh perluasan grup

$1\to \mathbb {Z} /4\to Q\to \mathbb {Z} /2\to 1$

dimana $\mathbb {Z} /4$ adalah subgrup yang dihasilkan oleh $i$.

Perluasan grup

Perluasan grup merupakan contoh prototip dari grup berpenyelesaian. Artinya, jika $G$ dan $G'$ adalah grup berpenyelesaian, maka suatu perluasan

$1\to G\to G''\to G'\to 1$

mendefinisikan grup berpenyelesaian $G''$. Faktanya, semua grup berpenyelesaian dapat dibentuk dari perluasan grup tersebut.

Grup takAbel yang taknilpoten

Contoh kecil dari grup taknilpoten berpenyelesaian adalah grup simetrik $\mathrm {S} _{3}$. Faktanya, karena grup takAbel sederhana terkecil adalah $\mathrm {A} _{5}$, (grup selang-seling dengan derajat 5) mengikuti bahwa setiap grup dengan urutan lebih kecil dari 60 adalah berpenyelesaian.

Grup hingga dari urutan ganjil

Teorema Feit–Thompson yang terkenal menyatakan bahwa setiap grup berhingga dari urutan ganjil adalah berpenyelesaian. Secara khusus ini menyiratkan bahwa jika grup hingga adalah grup sederhana, itu adalah grup siklik.

Bukan contoh

Grup $S_{5}$ takberpenyelesaian, ia memiliki deret komposisi $\{E,A_{5},S_{6}\}$ (dan Teorema Jordan–Hölder menyatakan bahwa setiap deret komposisi setara dengan yang satu itu), memberikan grup faktor isomorfik pada $A_{5}$ dan $C_{2}$; dan $A_{5}$ bukan Abel. Menggeneralisasi argumen ini, ditambah dengan fakta bahwa $A_{n}$ adalah subgrup normal, maksimal, sederhana takAbel $S_{n}$ dari $n>4$, $S_{n}$ tidak berpenyelesaian untuk $n>4$. Ini adalah langkah kunci dalam pembuktian bahwa untuk setiap $n>4$ ada polinomial derajat $n$ yang takberpenyelesaian oleh radikal (Teorema Abel–Ruffini). Sifat ini juga digunakan dalam teori kompleksitas dalam pembuktian teorema Barrington.

Subgrup $\operatorname {GL} _{2}$

Andaikan subgrup

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}$ pada $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {F} )$

untuk suatu medan $\mathbb {F}$. Maka, hasil bagi grup $B/U$ dapat ditemukan dengan mengambil sembarang elemen di $B,U$, mengalikannya, dan mencari tahu struktur apa yang diberikannya. Jadi

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}$

Perhatikan syarat determinan pada $\operatorname {GL} _{2}$ menyiratkan $ac\neq 0:$, karenanya $\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B$ adalah subgrup (yang merupakan matriks di mana $b=0$). Untuk $a,b$ yang ditetapkan, persamaan linear $ad+b=0$ menyiratkan $d=-b/a$, yang merupakan elemen sembarang pada $\mathbb {F}$ ketika $b\in \mathbb {F}$. Karena kita dapat mengambil matriks pada $B$ dan mengalikannya dengan matriks

${\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$

dengan $d=-b/a$, kita bisa mendapatkan matriks diagonal pada $B$. Ini menunjukkan grup hasil bagi $B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$.

Kata

Perhatikan bahwa deskripsi ini memberikan penguraian $B:$ sebagai $\mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$ dimana $(a,c)$ bertindak pada $b$ oleh $(a,c)(b)=ab$. Ini menyiratkan $(a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'$. Juga, matriks dari bentuk

${\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}$

berpadanan dengan elemen $(b)\times (a,c)$ dalam grup.

Subgrup Borel

Untuk grup aljabar linear $G$ subgrup Borel didefinisikan sebagai subgrup yang tertutup, terhubung, dan berpenyelesaian di $G$, dan ini adalah subgrup yang paling mungkin dengan sifat ini (perhatikan dua yang kedua adalah sifat topologi). Misalnya, dalam $\operatorname {GL} _{n}$ dan $\operatorname {SL} _{n}$, grup matriks segitiga atas, atau segitiga bawah adalah dua subgrup Borel. Contoh yang diberikan di atas, subgrup $B$ di $\operatorname {GL} _{2}$ adalah subgrup Borel.

Subgrup Borel pada $\operatorname {GL} _{3}$

Pada $\operatorname {GL} _{3}$ terdapat subgrup

$B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}$

Perhatikan bahwa $B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }$, maka grup Borel memiliki bentuk

$U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })$

Subgrup Borel hasil perkalian grup aljabar linear sederhana

Dalam grup hasilkali $\operatorname {GL} _{n}\times \operatorname {GL} _{m}$ subgrup Borel dapat diwakili oleh matriks dalam bentuk

${\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}$

dimana $T$ adalah matriks segitiga atas $n\!\times \!n$ dan $S$ adalah matriks segitiga atas $m\!\times \!m$.

Grup-Z

Setiap grup hingga yang subgrup Sylow-p merupakan sikliknya, adalah produk setengah langsung dari dua grup siklik, khususnya grup berpenyelesaian. Grup tersebut disebut grup-Z.

Nilai OEIS

Jumlah grup berpenyelesaian dengan urutan $n$ adalah (dimulai dengan $n=0$)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (barisan A201733 pada OEIS)

Urutan grup takberpenyelesaian adalah

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (barisan A056866 pada OEIS)

Sifat

Solvabilitas tertutup terhadap sejumlah operasi.

• Jika $G$ berpenyelesaian, dan $H$ adalah subgrup dari $G$, maka $H$ adalah berpenyelesaian.
• Jika $G$ berpenyelesaian, dan terdapat homomorfisme dari $G$ pada $H$, maka $H$ adalah berpenyelesaian; setara (dengan teorema isomorfisme pertama), jika $G$ berpenyelesaian, dan $N$ adalah subgrup normal dari $G$, maka $G/N$ berpenyelesaian.
• Sifat sebelumnya dapat diperluas menjadi sifat "tiga untuk harga dua" berikut: $G$ dapat diselesaikan jika dan hanya jika $N$ dan $G/N$ keduanya berpenyelesaian.
• Secara khusus, jika $G$ dan $H$ berpenyelesaian, hasilkali langsung $G\times H$ berpenyelesaian.

Solvabilitas tertutup terhadap perluasan grup:

• Jika $H$ dan $G/H$ berpenyelesaian, maka begitu juga dengan $G$; secara khusus, jika $N$ dan $H$ berpenyelesaian, produk setengah langsung mereka juga berpenyelesaian.

Itu juga ditutup di bawah produk karangan bunga:

• Jika $G$ dan $H$ berpenyelesaian, dan $X$ adalah himpunan $G$, maka hasilkali karangan bunga dari $G$ dan $H$ terhadap $X$ juga berpenyelesaian.

Untuk suatu bilangan bulat positif $N$, grup berpenyelesaian dari panjang jabaran paling banyak $N$ membentuk subvarietas dari berbagai grup, karena mereka tertutup terhadap pengambilan citra homomorfik, subaljabar, dan hasil kali (langsung). Hasil kali langsung dari urutan grup berpenyelesaian dengan panjang jabaran tak terbatas tidak berpenyelesaian, sehingga kelas semua grup berpenyelesaian bukanlah suatu varietas.

Teorema Burnside

Artikel utama: Teorema Burnside

Teorema Burnside menyatakan bahwa jika $G$ adalah grup hingga dari urutan $p^{a}q^{b}$ di mana $p$ dan $q$ adalah bilangan prima, dan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat taknegatif, maka $G$ adalah berpenyelesaian.

Lihat pula

• Grup prosolvabel
• Subgrup parabola

Referensi

• Malcev, A. I. (1949), "Generalized nilpotent algebras and their associated groups", Mat. Sbornik N.S., 25 (67): 347–366, MR 0032644 
• Rotman, Joseph J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Graduate Texts in Mathematics, 148 (edisi ke-4), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8 

Pranala luar

• Templat:OEIS el
• Solvable groups as iterated extensions Diarsipkan 2021-05-04 di Wayback Machine.