Grup selang-seling

grup dari permutasi genap dari himpunan hingga

Dalam matematika, grup selang-seling (bahasa Inggris: Alternating group) adalah grup dari permutasi genap dari himpunan hingga. Grup selang-seling pada himpunan elemen disebut grup selang-seling derajat , atau grup selang-seling pada huruf dan dilambangkan dengan or .

Sifat dasarSunting

Untuk  , grup   adalah subgrup komutator dari grup simetris   dengan indeks 2 dan karena itu memiliki   elemen (dimana   melambangkan faktorial). Ini adalah kernel dari tanda tangan kehomomorfan grup   dijelaskan di bawah grup simetrik.

Grup   adalah abelian jika dan hanya jika   dan sederhana jika dan hanya jika   atau  .   adalah grup sederhana takAbel terkecil, memiliki urutan 60, dan grup takterpecahkan terkecil.

Grup   memiliki grup empat Klein   sebagai subgrup normal wajar, yaitu identitas dan transposisi ganda  , itulah kernel dari surjeksi   ke  . Kita memiliki urutan persis  . Dalam Teori Galois, peta ini, atau lebih tepatnya peta berpadanan  , berpadanan dengan mengasosiasikan Penyelesai Lagrange kubik ke kuartik, yang memungkinkan polinomial kuartik untuk diselesaikan dengan radikal, seperti yang ditetapkan oleh Lodovico Ferrari.

Kelas konjugasiSunting

Seperti dalam grup simetris, dua elemen   yang sekawan oleh elemen   harus memiliki bentuk siklus yang sama. Kebalikannya belum tentu benar. Jika bentuk siklus hanya terdiri dari siklus dengan panjang ganjil tanpa ada dua siklus yang panjangnya sama, dimana siklus dengan panjang satu dimasukkan ke dalam tipe siklus, maka tepat ada dua kelas konjugasi untuk bentuk siklus ini (Scott 1987, §11.1, p299).

Contoh:

  • Kedua permutasi   dan   tidak sekawan dalam  , meskipun mereka memiliki bentuk siklus yang sama, dan oleh karena itu sekawan di   .
  • Permutasi (123) (45678) tidak sekawan dengan kebalikannya   pada   , meskipun kedua permutasi tersebut memiliki bentuk siklus yang sama, sehingga keduanya sekawan dalam  .

Hubungan dengan grup simetrikSunting

Lihat Grup simetris.

Pembangkit dan relasiSunting

  dihasilkan oleh siklus-3, karena siklus-3 dapat diperoleh dengan menggabungkan pasangan transposisi. Himpunan pembangkit ini sering digunakan untuk membuktikan bahwa   adalah sederhana untuk  .

Grup automorfismeSunting

     
     
     
     
     

Untuk  , kecuali untuk  , grup automorfisme dari   adalah grup simetris  , dengan grup automorfisme dalam   dan grup automorfisme luar  ; automorfisme luar berasal dari konjugasi oleh permutasi ganjil.

Untuk   dan  , grup automorfisme adalah trivial. Untuk   grup automorfisme adalah  , dengan grup automorfisme dalam dan grup automorfisme luar trivial  .

Grup automorfisme luar   adalah grup empat Klein  , dan terkait dengan automorfisme luar  . Automorfisme luar ekstra di   menukar siklus-3 (seperti  ) dengan elemen bentuk   (seperti  ).

Isomorfisme istimewaSunting

Terdapat beberapa isomorfisme istimewa antara beberapa grup kecil bergantian dan grup tipe Lie kecil, khususnya grup linear khusus proyektif. Ini adalah:

  •   isomorfik untuk  [1] and grup simetrik
  • dari simetri tetrahedrai kiral
  •   isomorfik untuk  ,  , dan kelompok simetri kiral simetri ikosahedral. (Lihat[1] untuk isomorfisme taklangsung dari   menggunakan klasifikasi grup sederhana berorde 60, dan di sini untuk bukti langsung).
  •   isomorfik untuk   dan  .
  •   isomorfik untuk  .

Lebih jelasnya,   isomorfik bagi grup siklik  , dan  ,  , dan   isomorfik ke grup trivial (yang juga   untuk  ).

Contoh dan Sunting

 
Tabel Cayley dari grup simetrik  

Permutasi ganjil diberi warna:
Transposisi dalam warna hijau dan siklus-4 dalam warna jingga
 
Tabel Cayley dari grup simetrik  

Permutasi ganjil diberi warna:
Transposisi dalam warna hijau dan siklus-4 dalam warna jingga Subgrup:
 
       
Grafik siklus
 
  (urutan 3)
 
  (urutan 12)
 
  (urutan 24)
 
  (urutan 6)
 
  (urutan 24)
 
  di   di kiri

Contoh sebagai subgrup rotasi ruang-3Sunting

 
 
  bola – jari-jari  ruang homogen prinsip dari  
  ikosidodehahedron – jari-jari   – kelas sekawan siklus-2-2
  ikosahedron – jari jari   – setengah dari membagi kelas sekawan siklus-5
  dodekahedron – jari-jari   – kelas sekawan siklus-3
  ikosahedron – jari jari   – setengah detik dari pembagian siklus-5
 
Senyawa lima tetrahedra.   bekerja pada dodekahedron dengan mengubah 5 tetrahedra yang tertulis. Bahkan permutasi tetrahedra ini adalah persis rotasi simetrik dari dodekahedron dan mencirikan pemadanan  .

  adalah grup isometri dodekahedron dalam 3 ruang, jadi ada wakilan  

Dalam gambar ini verteks polihedra mewakili elemen grup, dengan pusat bola mewakili elemen identitas. Setiap verteks mewakili rotasi pada sumbu yang menunjuk dari pusat ke verteks tersebut, dengan sudut yang sama dengan jarak dari titik asal, dalam radian. Verteks dalam polihedron yang sama berada dalam kelas sekawan yang sama. Karena persamaan kelas sekawan untuk   adalah  , kita mendapatkan empat polihedra (taktrivial) berbeda.

Simpul dari setiap polihedron berada dalam korespondensi bijektif dengan elemen kelas sekawannya, dengan pengecualian kelas sekawan siklus- , yang diwakili oleh sebuah ikosidodekahedron di permukaan luar, dengan verteks antipodal yang diidentifikasi satu sama lain. Alasan redundansi ini adalah bahwa rotasi terkait oleh   radian, sehingga dapat diwakili oleh vektor dengan panjang   di salah satu dari dua arah. Jadi kelas dari siklus-  mengandung 15 elemen, sedangkan ikosidodekahedron memiliki 30 verteks.

Dua kelas sekawan dari dua belas siklus-5 dalam   diwakili oleh dua ikosahedra, dari jari-jari berturut-turut,   dan  . Automorfisme luar taktrivial pada   mempertukarkan kedua kelas ini dan ikosahedra berpadanan.

CatatanSunting

  1. ^ a b Robinson (1996), [//books.google.com/books?id=lqyCjUFY6WAC&pg=PA78&dq=%22PSL%22 p. 78]

ReferensiSunting

Pranala luarSunting