Perubahan basis

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi $n$ dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan $n$-skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen $v$ atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, namun atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.

Ruang vektor pada yang dibangun dari basis berisi vektor-vektor berwarna ungu, dapat dibangun pula dari basis berisi vektor-vektor berwarna merah. Dengan menyusun setiap vektor berwarna ungu menjadi kombinasi linear vektor-vektor berwarna merah (dan sebaliknya), pernyataan yang disampaikan menggunakan basis ungu juga dapat disampaikan menggunakan basis merah (dan sebaliknya).

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

$\mathbf {x} _{\mathrm {lama} }=\mathbf {A} \,\mathbf {x} _{\mathrm {baru} },$

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, $\mathbf {x} _{\mathrm {lama} }$ dan $\mathbf {x} _{\mathrm {baru} }$ adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan $\mathbf {A}$ adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

Contoh

Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides $\mathbb {R} ^{2},$ yang dihasilkan dari rotasi sebesar $t.$ Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar $\mathbf {v} _{1}=(1,0)$ dan $\mathbf {v} _{2}=(0,1);$ sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi $\mathbf {w} _{1}=(\cos t,\,\sin t)$ dan $\mathbf {w} _{2}=(-\sin t,\,\cos t);$ sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai

$${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.$$

Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat $(x_{1},\,x_{2}),$ maka

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.$

Sehingga,

$x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{dan}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.$

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan $(x_{1},\,x_{2})$ dan ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ merujuk pada objek yang sama,

${\begin{aligned}x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)\mathbf {v} _{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)\mathbf {v} _{2}\\&=y_{1}(\cos(t)\mathbf {v} _{1}+\sin(t)\mathbf {v} _{2})+y_{2}(-\sin(t)\mathbf {v} _{1}+\cos(t)\mathbf {v} _{2})\\&=y_{1}\mathbf {w} _{1}+y_{2}\mathbf {w} _{2}.\end{aligned}}$

Rumus perubahan basis

Misalkan $B_{\mathrm {lama} }=(\mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{n})$ adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga V atas suatu lapangan F. Seorang dapat mendefinisikan $n$ elemen baru $\mathbf {w} _{j}$ (dengan $j=1,\,\dots ,\,n$) berdasarkan koordinat vektor tersebut $a_{i,j}$, atas $B_{\mathrm {lama} }\colon$

$\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.$

Misalkan

$\mathbf {A} =\left(a_{i,j}\right)_{i,j}$

sebagai matriks yang kolom ke-j-nya dibentuk dari koordinat $\mathbf {w} _{j}$. (Di bagian ini dan seterusnya, indeks i selalu digunakan untuk merujuk baris di $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {v} _{i},$ sedangkan indeks j selalu digunakan untuk merujuk kolom di $\mathbf {A}$ dan $\mathbf {w} _{j};$ konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut $B_{\mathrm {baru} }=(\mathbf {w} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {w} _{n})$ disebut basis dari V jika dan hanya jika matriks $\mathbf {A}$ terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, $\mathbf {A}$ disebut matriks perubahan basis dari basis $B_{\mathrm {lama} }$ ke basis $B_{\mathrm {baru} }$.

Untuk sebarang elemen $\mathbf {z} \in V,$ misalkan $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ adalah koordinat $\mathbf {z}$ atas $B_{\mathrm {lama} }$, dan $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ adalah koordinatnya atas $B_{\mathrm {baru} }$, kita memiliki hubungan

$$\mathbf {z} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}.$$

Dengan menjabarkan hubungan tersebut,

$${\begin{aligned}\mathbf {z} &=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)\mathbf {v} _{i}.\end{aligned}}$$

kita dapatkan

$$x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{untuk }}i=1,\,\ldots ,\,n.$$

Dalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalah

$$\mathbf {x} =\mathbf {A} \,\mathbf {y} ,$$

dengan $\mathbf {x}$ dan $\mathbf {y}$ masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat $\mathbf {z}$ atas s $B_{\mathrm {lama} }$ dan atas $B_{\mathrm {baru} }$.

Daftar pustaka

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (edisi ke-5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X 

• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (edisi ke-2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646 

Pranala luar

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis oleh MIT OpenCourseWare

• Khan Academy Lecture on Change of Basis oleh Khan Academy