Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di [1] Rentang linear dari umum disimbolkan dengan [2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung maupun sebagai subruang yang mengandung Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Bidang yang direntang oleh vektor u dan v di R3.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor adalah rentang linear dari subset beberapa pernyataan berikut umum digunakan: merentang adalah himpunan merentang dari direntang/dibangkitkan oleh atau adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari

Definisi

sunting

Untuk sebarang ruang vektor   atas lapangan   rentang dari suatu himpunan   yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan   dari semua subruang dari   yang mengandung   Irisan   disebut sebagai subruang yang direntang oleh   atau oleh vektor-vektor di   Kebalikannya,   disebut himpunan merentang dari  , dan kita katakan   merentang  

Rentang dari   juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di  [3][4][5][6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai Pada kasus   berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh

sunting

Ruang vektor riil   dapat direntang oleh himpunan  . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari  . Jika   digantikan dengan  , himpunan tersebut merupakan basis standar dari  . Contoh himpunan pembangkit lain dari   adalah  , namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan   bukan himpunan merentang dari  , karena rentangnya adalah subruang semua vektor di   yang komponen terakhirnya bernilai   Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan   karena   adalah kombinasi linear dari   dan  

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari   karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di   dan   adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial   dengan   adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema

sunting

Kesetaraan antar definisi

sunting

Untuk sebarang ruang vektor   atas lapangan   himpunan semua kombinasi linear dari subset   dari   adalah subruang terkecil dari   yang mengandung  

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa   adalah subruang dari   Karena   adalah subset dari   kita cukup membuktikan bahwa vektor   anggota dari   bahwa   dibawah penjumlahan, dan bahwa   tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan  , mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di   ada di   karena   Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari   akan menghasilkan kombinasi linear dari   dengan semua  , dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari   dengan sebarang skalar   akan menghasilkan kombinasi linear dari    Alhasil,   adalah subruang dari  
Misalkan   adalah subruang   yang mengandung   Perhatikan bahwa   karena semua   merupakan kombinasi linear dari   (secara langsung). Karena   tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear   harus berada di   Akibatnya,   terkandung di semua subruang dari   yang mengandung   Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari  

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

sunting

Sebarang himpunan   yang merentang ruang vektor   harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari  

Bukti. Misalkan   adalah suatu himpunan merentang dan   adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di   Kita akan menunjukkan bahwa  
Karena   merentang   maka   juga harus merentang   dan   harus merupakan hasil kombinasi linear dari   Akibatnya   bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari   yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota   lainnya. Vektor ini tidak mungkin   karena   bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah   yang merupakan himpunan merentang bagi   Kita ulangi proses ini sebanyak   kali, yang tahap ke- -nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan   dan   vektor dari  
Dapat dipastikan sampai tahap ke-  akan selalu ada suatu   untuk dibuang dari  , akibatnya   setidaknya sama banyaknya dengan  ; dengan kata lain,   Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap   Saat tahap ke- , kita memiliki himpunan   dan kita dapat menambahkan vektor baru   Tapi karena   adalah himpunan merentang dari   vektor   adalah kombinasi linear dari  . Ini adalah kontradiksi, karena   bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

sunting

Misalkan   adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang   dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi   dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus   berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika   berdimensi hingga.

Catatan kaki

sunting
  1. ^ (Axler 2015) p. 29, § 2.7
  2. ^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  3. ^ (Hefferon 2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
  4. ^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  5. ^ (Roman 2005) pp. 41-42
  6. ^ (MathWorld 2021) Vector Space Span.

Daftar pustaka

sunting

Situs web

sunting

Pranala luar

sunting