Rentang linear
Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di [1] Rentang linear dari umum disimbolkan dengan [2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung maupun sebagai subruang yang mengandung Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.
Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor adalah rentang linear dari subset beberapa pernyataan berikut umum digunakan: merentang adalah himpunan merentang dari direntang/dibangkitkan oleh atau adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari
Definisi
suntingUntuk sebarang ruang vektor atas lapangan rentang dari suatu himpunan yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan dari semua subruang dari yang mengandung Irisan disebut sebagai subruang yang direntang oleh atau oleh vektor-vektor di Kebalikannya, disebut himpunan merentang dari , dan kita katakan merentang
Rentang dari juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di [3][4][5][6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai Pada kasus berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
Contoh
suntingRuang vektor riil dapat direntang oleh himpunan . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari . Jika digantikan dengan , himpunan tersebut merupakan basis standar dari . Contoh himpunan pembangkit lain dari adalah , namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.
Himpunan bukan himpunan merentang dari , karena rentangnya adalah subruang semua vektor di yang komponen terakhirnya bernilai Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan karena adalah kombinasi linear dari dan
Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di dan adalah irisan dari semua subruang tersebut.
Himpunan semua monomial dengan adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.
Teorema
suntingKesetaraan antar definisi
suntingUntuk sebarang ruang vektor atas lapangan himpunan semua kombinasi linear dari subset dari adalah subruang terkecil dari yang mengandung
- Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa adalah subruang dari Karena adalah subset dari kita cukup membuktikan bahwa vektor anggota dari bahwa dibawah penjumlahan, dan bahwa tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan , mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di ada di karena Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari akan menghasilkan kombinasi linear dari dengan semua , dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari dengan sebarang skalar akan menghasilkan kombinasi linear dari Alhasil, adalah subruang dari
- Misalkan adalah subruang yang mengandung Perhatikan bahwa karena semua merupakan kombinasi linear dari (secara langsung). Karena tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear harus berada di Akibatnya, terkandung di semua subruang dari yang mengandung Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari
Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear
suntingSebarang himpunan yang merentang ruang vektor harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari
- Bukti. Misalkan adalah suatu himpunan merentang dan adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di Kita akan menunjukkan bahwa
- Karena merentang maka juga harus merentang dan harus merupakan hasil kombinasi linear dari Akibatnya bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota lainnya. Vektor ini tidak mungkin karena bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah yang merupakan himpunan merentang bagi Kita ulangi proses ini sebanyak kali, yang tahap ke- -nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan dan vektor dari
- Dapat dipastikan sampai tahap ke- akan selalu ada suatu untuk dibuang dari , akibatnya setidaknya sama banyaknya dengan ; dengan kata lain, Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap Saat tahap ke- , kita memiliki himpunan dan kita dapat menambahkan vektor baru Tapi karena adalah himpunan merentang dari vektor adalah kombinasi linear dari . Ini adalah kontradiksi, karena bersifat bebas linear.
Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis
suntingMisalkan adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika berdimensi hingga.
Catatan kaki
sunting- ^ (Axler 2015) p. 29, § 2.7
- ^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ (Hefferon 2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
- ^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ (Roman 2005) pp. 41-42
- ^ (MathWorld 2021) Vector Space Span.
Daftar pustaka
suntingBuku
sunting- Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (edisi ke-4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
- Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
- Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
- Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
- Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
Situs web
sunting- Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011.
- Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
- "Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
Pranala luar
sunting- Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
- Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11 – via YouTube.