Polinomial karakteristik

sebuah polinomial yang invarian di bawah kesebangunan matriks dan memiliki eigennilai sebagai akar

Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah suatu polinomial yang invarian di bawah kesebangunan matriks dan memiliki eigennilai sebagai akar. Polinomial karakteristik dari matriks persegi memiliki determinan dan teras dari matriks di antara koefisiennya. Polinomial karakteristik dari endomorfisma ruang vektor dimensi terhingga merupakan polinomial karakteristik dari matriks endomorfisma atas sebarang basis, yang berarti tidak bergantung pada pilihan basis. Persamaan karakteristik atau juga dikenal sebagai persamaan determinan,[1][2][3] adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik graf merupakan polinomial karakteristik dari matriks kedampingan.[4]

MotivasiSunting

Dalam aljabar linear, nilai dan vektor eigen memainkan peran dasar, sebab eigenvektor adalah suatu vektor yang arahnya tidak dapat diubah melalui transformasi, serta nilai eigen yang sama adalah ukuran dari hasil besar perubahan vektor. Dalam penjelasan yang lebih presisi, jika transformasi dinyatakan dengan matriks persegi   maka vektor eigen   dan nilai eigen   harus memenuhi persamaan berikut

 
atau
 
dengan   menyatakan matriks identitas, dan   (vektor nol tetap tidak dianggap sebagai vektor eigen, walaupun sudah memenuhi persamaan tersebut untuk setiap  ). Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa matriks   harus singular, serta determinan-nya bernilai nol, ditulis sebagai
 
Dengan kata lain, nilai eigen dari A merupakan akar dari   yaitu polinomial monik di x dengan derajat n, jika A adalah matriks n×n. Polinomial ini merupakan karakteristik polinomial dari A.

Definisi formalSunting

Misalkan   adalah suatu matriks dengan ukuran  . Polinomial karakterisitik  , yang diberi notasi  , adalah suatu polinomial yang didefinisikan dengan[5]

 

dengan   melambangkan matriks identitas dengan ukuran  .

Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik menjadi  . Polinomial tersebut berbeda dengan polinomial yang didefinisikan disini dengan sebuah tanda  , jadi tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti memiliki nilai eigen sebagai akar dari  . Akan tetapi, definisi di atas selalu memberikan suatu polinomial monik, sedangkan definisi lainnya hanya memberikan monik ketika   genap.

Contoh-contohSunting

Misalkan ingin menghitung polinomial karakteristik dari matriks

 
Maka diperlukan untuk menghitung determinan dari matriks tersebut
 

sehingga diperoleh suatu polinomial karakteristik dari matriks  , yaitu  .

Contoh lainnya adalah dengan menggunakan fungsi hiperbolik dari sudut hiperbolik  . Untuk suatu matriks

 
maka polinomial karakteristik dari matriks tersebut adalah
 .

Sifat-sifatSunting

Polinomial karakteristik   dari sebuah matriks   adalah monik (koefisien yang ditujunya adalah 1) dan derajatnya adalah  . Fakta yang paling terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah dibahas di bagian sebelumnya: nilai eigen   tepatnya merupakan akar dari   (ini juga berlaku untuk polinomial minimal  , tetapi derajatnya dapat lebih kecil dari  ). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi polinomial dalam entri matriks. Secara khusus, koefisien konstan   adalah  , koefisien   bernilai satu, dan koefisien   adalah  , dengan   melambangkan teras  . (Tanda yang diberikan tersebut sama dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya.[6] Untuk definisi yang lain, masing-masing koefisien tersebut dapat diganti sebagai   dan  .[7])

Untuk suatu matriks   dengan ukuran  , polinomial karakterisitiknya dirumuskan dengan

 

Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, karakteristik polinomial dari   dengan ukuran   dapat dinyatakan sebagai

 
dengan   menyatakan teras dari kuasa eksterior  , yang memiliki dimensi  . Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama   dari ukuran  . Algoritme Faddeev–LeVerrier rekursif menghitung koefisien-koefisien ini agar semakin lebih efisien. Saat karakteristik dari medan dari koefisien bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai suatu determinan tunggal dari matriks  ,
 

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa menggantikan   oleh   dalam polinomial karakteristik (dengan memandang hasil kuasa sebagai kuasa matriks, dan suku konstan   sebagai perkalian   dan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik tersendiri. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal   membagi polinomial karakteristik  .

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: matrks dengan polinomial karakteristik tidaklah harus serupa.

Matriks   beserta transposnya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks   serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor linear atas   (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal ketimbang polinomial karakteristik). Dalam kasus ini,   serupa dengan matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari darab dua matriksSunting

Jika   dan   adalah dua matriks persegi  , maka polinomial karakteristik   dan   adalah sama. Dengan kata lain,

 
Ketika   adalah matriks tak singular (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan bahwa   dan   adalah serupa:
 

Untuk kasus   dan   yang merupakan matriks singular, identitas yang diinginkan adalah persamaan di antara polinomial dalam   dan koefisien dari matriks. Dengan demikian, untuk memperlihatkan persamaan tersebut, cukup buktikan bahwa matriks tersebut valid pada subhimpunan buka tak kosong (untuk topologi biasa, atau lebih umumnya untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan yang bukan dari ruang semua matriks, maka hasil tersebut sudah dibuktikan.

Lebih umumnya, jika   adalah suatu matriks ordo   dan   adalah matriks ordo  , maka   adalah matriks   dan   adalah matriks  , sehingga memiliki

 

Untuk membuktikan hal tersebut, misalkan   dengan menukarkan   dan  , kalaupun diperlukan. Dengan membatasi bagian bawah di matriks   oleh baris nol  , dan membatasi bagian kanan di matriks   oleh kolom nol  , maka didapatkan dua matriks  , yaitu   dan  , sehingga   dan   sama dengan   yang dibatasi oleh baris dan kolom nol  . Dengan demikian, didapatkan hasil tersebut untuk kasus matriks persegi, dengan membandingkan polinomial karakteristik   dan  .

Polinomial karakteristik dari AkSunting

Jika   adalah nilai eigen dari matriks persegi   dengan vektor eigen  , maka jelas bahwa   adalah nilai eigen dari  , sebab

 

Perkalian tersebut dapat ditunjukkan, dan memperumum untuk setiap polinomial selain  :[8]

Teorema — Misalkan   adalah matriks persegi  , dan misalkan   adalah suatu polinomial. Jika polinomial karakteristik dari   memiliki faktorisasi

 
maka polinomial karakteristik dari matriks   dirumuskan sebagai
 

Ini berarti bahwa perkalian aljabar   di   sama dengan jumlah perkalian aljabar   di   atas   sehingga  . Secara khusus,  dan  . Sebagai contoh, polinomial   dievaluasi pada matriks  , yang disederhanakan sebagai  .

Teorema di atas berlaku untuk matriks dan polinomial atas setiap medan atau gelanggang komutatif.[9] Akan tetapi, terdapat asumsi bahwa   memiliki faktorisasi ke dalam faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti

Bukti ini hanya berlaku dengan matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau suatu medan tertutup secara aljabar. Dalam kasus ini, polinomial karakteristik suatu matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai

 

dimana   adalah eigennilai dari  , kemungkinan berulang. Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa suatu matriks persegi   dapat diuraikan sebagai  , dimana   adalah sebuah matriks terbalik dan   adalah matriks segitiga atas dengan   pada diagonal (dengan setiap eigennili berulang menurut perkalian aljabarnya). (Bentuk normal Jordan memiliki sifat-sifat yang kuat, tetapi ini sudah cukup; secara alternatif penguraian Schur dapat digunakan, yang kurang populer tetapi agak lebih mudah untuk membuktikan).

Misalkan  . Maka

 .

Ini mudah diperiksa untuk sebuah matriks segitiga atas   dengan diagonal  , matriks   adalah segitiga atas dengan diagonal   dalam  , dan karena itu   merupakan matriks segitiga atas dengan diagonal  . Oleh karena itu, eigennilai dari   adalah  . Karena   serupa dengan  , ini memiliki eigennilai yang sama, dengan perkalian aljabar yang sama.

Fungsi sekuler dan persamaan sekulerSunting

Fungsi sekulerSunting

Istilah fungsi sekuler telah digunakan untuk apa yang sekarang disebut polinomial karakteristik (dalam beberapa sastra istilah fungsi sekuler masih digunakan). Istilahnya datang dari polinomial karakteristik digunakan untuk menghitung usikan sekuler (pada sebuah skala waktu mengenai sebuah abad, yaitu, dibandingkan dengan perlahan untuk gerakan tahunan) mengenai orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

Persamaan sekulerSunting

Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

  • Dalam aljabar linear, ini terkadang digunakan dalam tempat persamaan karakteristik.
  • Dalam astronomi, ini adalah ekspresi aljabar atau numerik dari besaran mengenai pertidaksamaan dalam sebuah gerakan planet yang tetap setelah pertidaksamaan mengenai sebuah kala pendek telah dimungkinkan untuk.[10]
  • Dalam perhitungan orbital molekul mengaitkan dengan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya juga digunakan sebagai gantinya dari persamaan karakteristik.

Untuk aljabar asosiatif umumSunting

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik mengenai sebuah matriks   dengan entri-entri dalam sebuah medan   merampat tanpa suatu perubahan dengan kasus ketika   hanyalah sebuah gelanggang komutatif. (Garibaldi 2004) mendefinisikan polinomial karakteristik untuk aljabar berdimensi hingga sembarang (asosiatif, tetapi tidak perlu komutatif) atas sebuah medan   dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

Lihat pulaSunting

ReferensiSunting

  1. ^ Guillemin, Ernst (1953). Introductory Circuit Theory. Wiley. hlm. 366, 541. ISBN 0471330663. Ringkasan. 
  2. ^ Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952). "An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations" (PDF). American Mathematical Society – Mathematics of Computation. 6 (37): 18–34. doi:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0. Diakses tanggal 3 October 2020. 
  3. ^ Frank, Evelyn (1946). "On the zeros of polynomials with complex coefficients". Bulletin of the American Mathematical Society. 52 (2): 144–157. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 . Diakses tanggal 3 October 2020. Ringkasan. 
  4. ^ "Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld". Diakses tanggal August 26, 2011. 
  5. ^ Steven Roman (1992). Advanced linear algebra (edisi ke-2). Springer. hlm. 137. ISBN 3540978372. 
  6. ^ Dalil 28 dalam catatan kuliah ini.[pranala nonaktif permanen]
  7. ^ Teorema 4 dalam catatan kuliah ini.
  8. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. pp. 108–109, Section 2.4.2. ISBN 978-0-521-54823-6. 
  9. ^ Lang, Serge (1993). Algebra. New York: Springer. p.567, Theorem 3.10. ISBN 978-1-4613-0041-0. OCLC 852792828. 
  10. ^ "secular equation". Diakses tanggal January 21, 2010.